 |  | 3. feladat
∫ sin x . cos x d x =
Megoldás: Az előző két feladatban nyilvánvaló volt, mit érdemes
f ( x )
-nek tekinteni, mert a kitevő egyértelműen mutatta. Most ilyen segítségünk nincs, de mivel
( sin x ) ′ = cos x
, célszerű az
f ( x ) = sin x
elnevezéssel élnünk. Így az integrandus
f ( x ) . f ′ ( x )
alakú, azaz ebben az esetben egy függvény első hatványát szorozzuk a függvény deriváltjával.
∫ sin x . cos x d x = ∫ sin x . ( sin x ) ′ d x = sin 2 x 2 + c
A feladatot ezzel megoldottuk, azonban még időzzünk el még egy kicsit ennél a példánál, mert az integrálás máshogy is könnyen elvégezhető. Ha abból indulunk ki, hogy
( cos x ) ′ = − sin x
, akkor célszerű az
f ( x ) = cos x
elnevezéssel élni, s az integrál elé, valamint az integrálba egy
− 1
-es szorzót beírni.
∫ sin x . cos x d x = − 1 . ∫ cos x . ( − sin x ) d x = − ∫ cos x . ( cos x ) ′ d x =
Az integrandus ismét
f ( x ) . f ′ ( x )
alakú. Alkalmazzuk most is a módszert, kapjuk:
∫ sin x . cos x d x = − cos 2 x 2 + c
.
A feladatot tehát így is megoldottuk, a furcsa csak az, hogy nem ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az előző esetben. Ez azonban csak látszólag van így. Mindkét megoldás során ugyanazt kaptuk, mert a megoldások átalakíthatóak. Induljunk el például a második eredményből, s használjuk fel az
1 = sin 2 x + cos 2 x
azonosságot.
− cos 2 x 2 + c = − 1 − sin 2 x 2 + c = − ( 1 2 − sin 2 x 2 ) + c = sin 2 x 2 − 1 2 + c
Mivel itt
c
bármilyen valós szám lehet, ezért
− 1 2 + c
is bármilyen valós szám lehet. Úgy is mondhatnánk, hogy
− 1 2 + c = c ∗
, ahol
c ∗ ∈ R
, s ezen
c ∗
azonos az első eredményben szereplő
c
-vel.
Megjegyzés: Ha egy integrálási feladatot többféle módon is meg tudunk oldani, akkor nem biztos, hogy mindegyik esetben ugyanolyan alakban kapjuk meg az eredményt. Mivel a határozott integrál eredménye nem egy függvény, hanem függvények olyan halmaza, melynek elemei csak konstansban különböznek egymástól, ezért úgy adjuk meg, hogy kiválasztunk a halmazból egy függvényt, s ehhez bármilyen konstanst hozzáadhatunk. A halmazból azonban bármelyik másik függvényt is választhatjuk, s ekkor az eredményt más alakban kaphatjuk meg. Ilyenkor az eredményekben szereplő függvények különbsége konstans.
|
|
|