//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.6. A differenciálhányados és az érintő

Tanulási cél: A differenciálhányados és a derivált függvény fogalmának megismerése, a legegyszerűbb deriválási szabályok begyakorlása, és a függvénygörbe adott pontjában húzható érintő egyenletére vonatkozó képlet megismerése.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.1.1., 6.1.2.

Elméleti összefoglaló: Az f függvény az x 0 D f pontban differenciálható, ha a

lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0

határérték létezik, és értéke egy véges szám. Ilyenkor ezt a határértéket hívjuk az f függvény x 0 -beli differenciálhányadosának. Ezt f ' ( x 0 ) jelöli, azaz

lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 = f ' ( x 0 ) .

Adott f függvény esetén azt a függvényt, amely ott van értelmezve, ahol az f függvény differenciálható, és minden ilyen számhoz az f függvény itteni differenciálhányadosát rendeli, az f függvény derivált függvényének hívjuk. Ezt a függvényt f ' jelöli.

A derivált függvény a későbbiekben rendkívül fontosnak fog bizonyulni, és alapvető, hogy minnél több függvénynek meg tudjuk határozni a derivált függvényét. A következő néhány lecke ennek a begyakorlásában kíván segítséget nyújtani.

A derivált függvény meghatározását az elemi alapfüggvények, az úgynevezett alapderiváltak, és a deriválási szabályok ismeretében lehet elvégezni. Nyomatékkal felhívjuk ezek biztos ismeretére az olvasó figyelmét.

A két legegyszerűbb deriválási szabály az összegre és a számszorosra vonatkozó. Ezek

( f ( x ) + g ( x ) ) ' = f ' ( x ) + g ' ( x ) ,

( c . f ( x ) ) ' = c . f ' ( x ) .

Szavakban: összeget tagonként lehet deriválni, és deriváláskor a konstans szorzó változatlan marad.

Ezekből következik, hogy

( f ( x ) g ( x ) ) ' = f ' ( x ) g ' ( x ) .

Fontos szabály, hogy a konstans függvény deriváltja a konstans nulla függvény, azaz

ha f ( x ) = c , akkor f ( x ) = 0 .

Megjegyezzük még, hogy az összegre és a különbségre vonatkozó szabály kettő helyett több tagra is érvényes.

Az f függvény grafikonjának az x 0 abszcisszájú ( x 0 , f ( x 0 ) ) koordinátájú pontjában húzható érintő egyenlete a

y f ( x 0 ) x x 0 = f ' ( x 0 )

formulából határozható meg.

Az érintő egy egyenes, ami egy függvény grafikonjának is tekinthető. Ez a függvény felírható a következő alakban:

g ( x ) = f ( x 0 ) ( x x 0 ) + f ( x 0 ) .

Ezt a függvényt hívják az f függvény x 0 -beli linearizáltjának. A linearizált két legfontosabb tulajdonsága, hogy az x 0 , az érintési pont, közelében nagyon jól közelíti az eredeti f függvényt, és az, hogy a képlete egyszerű, (elsőfokú polinom). Ezek a tulajdonságok alkalmassá teszik őt ("bonyolult") függvények helyettesítési értékének közelítő meghatározására.

A további feladatokban feltételezzük, hogy a feladatokban szereplő függvények a szóbanforgó helyeken a kellő számban differenciálhatók, és nem vizsgáljuk, hogy az adott függvények derivált függvényeinek mi az értelmezési tartománya.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 1 x 2 függvény derivált függvényét és számoljuk ki a differenciálhányados értékét az x 0 = 2 -ben.

Megoldás: Az f függvény elemi alapfüggvény és felírhatjuk f ( x ) = 1 x 2 = x 2 alakban. Így az ( x α ) ' = α . x α 1 deriválási szabály alkalmazható az α = 2 választással:

f ' ( x ) = ( x 2 ) ' = ( 2 ) x 2 1 = 2 x 3 = 2 x 3 .

Ez tehát a derivált függvény.

Ennek az x 0 = 2 -ben vett helyettesítési értéke adja a keresett differenciálhányadost, azaz

f ( x 0 ) = f ( 2 ) = 2 2 3 = 1 4 .
2. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = sin x cos x függvény derivált függvényét.

Megoldás: A függvényünk egy összeg függvény, deriválásakor az erre vonatkozó deriválási szabályt kell alkalmaznunk, azaz tagonként deriválhatunk. Felhasználva a trigonometrikus alapderiváltakat is azt kapjuk, hogy

f ( x ) = ( sin x cos x ) ' = ( sin x ) ' ( cos x ) ' = cos x ( sin x ) = cos x + sin x .
3. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x 3 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Ha felírjuk f -et az f ( x ) = ( x ) 1 3 alakban, láthatjuk, hogy ismét az ( x α ) ' = α . x α 1 deriválási szabály alkalmazható az α = 1 3 választással. Ezért

f ( x ) = ( x 1 3 ) ' = 1 3 x ( 1 3 1 ) = 1 3 x ( 2 3 ) = 1 3 . 1 x 2 3 = 1 3 . 1 x 2 3 = 1 3 x 2 3 .
4. feladat Készítsük el az f ( x ) = 4 x 3 2 x 2 + 6 x 3 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Egy négy tagú összeggel van dolgunk, amelynek minden tagja elemi alapfüggvény számszorosa. Tagonként deriválunk, kiemelve a konstansokat, és alkalmazva az x α -ra vonatkozó deriválási szabályt:

f ( x ) = ( 4 x 3 ) ' ( 2 x 2 ) ' + ( 6 x ) ' ( 3 ) ' = 4 ( x 3 ) ' 2 ( x 2 ) ' + 6 ( x ) ' ( 3 ) ' =

= 4 ( 3 x 2 ) 2 ( 2 x ) + 6 ( 1 ) 0 = 12 x 2 4 x + 6 .

Látható az eddigiekből, hogy a derivált függvény elkészítésekor az első lépésben csak kijelöljük az elvégzendő deriválásokat, majd ezután végezzük el azokat. Ezzel a kijelöléssel lényegében minden függvény deriválását az elemi alapfüggvények deriválására vezetjük vissza .
Tanácsoljuk, hogy a deriválási szabályok alapos begyakorlása érdekében az olvasó is így járjon el.
5. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 5 x + 3 x 6 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Felhasználva a x = x 1 2 , illetve az 1 x = x 1 átalakításokat, továbbá az összeget tagonként deriválva azt kapjuk, hogy

f ( x ) = ( 5 x ) ' + ( 3 x ) ' ( 6 ) ' = 5 ( x 1 2 ) ' + 3 ( x 1 ) ' 0 = 5 . 1 2 x 1 2 + 3 ( 1 ) x 2 =

= 5 . 1 2 . 1 x 1 2 3 1 x 2 = 5 2 x 3 x 2 .

Mivel gyakran van rájuk szükség, érdemes megjegyezni, hogy

( x ) ' = 1 2 x ,

és

( 1 x ) ' = 1 x 2 .
6. feladat Deriváljuk az f ( x ) = 3 x + x 3 függvényt.

Megoldás: Persze tagonként fogunk deriválni, felhasználva az ( a x ) ' = a x . ln a deriválási szabályt is. Ekkor

f ( x ) = ( 3 x ) ' + ( x 3 ) ' = 3 x ln 3 + 3 x 2 .
7. feladat Deriváljuk az f ( x ) = 10 ln x π tg x + cos ( 10 ) függvényt.

Megoldás: A cos ( 10 ) egy konstans, tehát deriváltja nulla, így

f ( x ) = ( 10 ln x ) ' ( π tg x ) ' + ( cos ( 10 ) ) ' = 10 ( ln x ) ' π ( tg x ) ' = 10 x π cos 2 x ,

ahol felhasználtuk az ( ln x ) ' = 1 x és a ( tg x ) ' = 1 cos 2 x alapderiváltakat is.
8. feladat Írjuk fel az f ( x ) = x 2 2 x 2 függvény x 0 = 2 -beli érintőjének egyenletét.

Megoldás: Kezdjük az érintési pont második koordinátájának meghatározásával:

f ( x 0 ) = f ( 2 ) = 2 2 2 . 2 2 = 4 4 2 = 2 .

Az érintő egyenes tehát átmegy a ( 2, 2 ) koordinátájú ponton.

Hátra van még a meredekség kiszámolása. Ehhez először a derivált függvényre van szükség. Most

f ( x ) = ( x 2 ) ' ( 2 x ) ' ( 2 ) ' = 2 x 2 .

Ezt felhasználva a meredekség:

m = f ( x 0 ) = f ( 2 ) = 2 . 2 2 = 2 .

Így az érintő egyenlete az

y f ( x 0 ) x x 0 = f ( x 0 ) ,

y ( 2 ) x 2 = 2 ,

y + 2 x 2 = 2

formulából átrendezéssel

y + 2 = 2 ( x 2 ) ,

y = 2 x 6 .
9. feladat Írjuk fel az f ( x ) = x függvény m = 2 meredekségű érintőjének egyenletét.

Megoldás: Most az érintési pontot kell meghatározni. Keressük tehát először azt az x 0 számot, amelyre

f ( x 0 ) = 2 .

Mivel f ( x ) = 1 2 x az

1 2 x = 2

egyenlet kell megoldanunk.

Átrendezve azt kapjuk, hogy x = 1 4 , aminek a megoldása x = 1 16 ,

vagyis az x 0 = 1 16 -beli érintő egyenletét keressük.

Szükség van még az érintési pont második koordinátájára. Ez

f ( x 0 ) = f ( 1 16 ) = 1 16 = 1 4 .

Most már a keresett érintő egyenes egyenlete:

y 1 4 x 1 16 = 2 ,

y 1 4 = 2 ( x 1 16 ) ,

y = 2 ( x 1 16 ) + 1 4 = 2 x 1 8 + 1 4 = 2 x + 1 8 .
10. feladat A 8 körüli linearizáltat felhasználva számoljuk ki közelítöen 8.12 3 értékét.

Megoldás: Mivel egy köbgyököt kell közelítőn kiszámolni, ezért az f ( x ) = x 3 függvény linearizáltját fogjuk használni.

Felírjuk az x 0 = 8 körüli linearizált képletét. Először is f ( x 0 ) = f ( 8 ) = 8 3 = 2 .
Mivel

f ( x ) = 1 3 x 2 3 ,

f ( x 0 ) = f ( 8 ) = 1 3 8 2 3 = 1 3 64 3 = 1 12 .

Ezért a 8 körüli linearizált:

g ( x ) = f ( x 0 ) ( x x 0 ) + f ( x 0 ) = 1 12 ( x 8 ) + 2 = x 12 + 4 3 .

Ennek 8.12-ben vett helyettesítési értékével közelíthetjük 8.12 3 . Vagyis

8.12 3 g ( 8.12 ) = 8.12 12 + 4 3 = 2.01 .

A pontos érték egyébként 2.009950413, tehát elég jó közelítést kaptunk.
11. feladat Alkalmas linearizáltat használva számoljuk ki közelítően sin ( 33 o ) értékét.

Megoldás: A függvénytanban a trigonometrikus függvények argumentumát radiánban mérjük. Átszámoljuk a 360 o = 2 π rad formulát használva a 33 0 -ot radiánra:

30 o = π 6 , 3 o = π 60 , tehát

33 o = 30 o + 3 o = π 6 + π 60 = 11 π 60 .

sin ( 11 π 60 ) közelítő értékét keressük tehát.

Mivel a 30 o = π 6 közel van a 33 o = 11 π 60 -hoz, az f ( x ) = sin x függvény x 0 = π 6 -beli linearizáltját fogjuk használni.

Felírjuk a linearizált egyenletét. Mert

f ( x 0 ) = f ( π 6 ) = 1 2 ,

és

f ( x ) = ( sin x ) ' = cos x ,

továbbá

f ( x 0 ) = cos ( x 0 ) = cos ( π 6 ) = 3 2 ,

a linearizált képlete:

g ( x ) = f ( x 0 ) ( x x 0 ) + f ( x 0 ) = 3 2 ( x π 6 ) + 1 2 = 3 x 2 3 π 12 + 1 2 .

Most már a keresett közelítő érték:

g ( 11 π 60 ) = 3 11 π 60 2 3 π 12 + 1 2 0.5453449841 .

Kalkulátorral közvetlenül számolva a sin ( 33 o ) 0.544639035 értéket kapjuk, tehát a közelítésünk most is elég jó.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés : Mi az f ( x ) = 1 x 3 függvény derivált függvénye?
 
f ( x ) = 1 3 x 2 .
 
f ( x ) = 3 x 4 .
 
f ( x ) = 3 1 x 2 .
 
f ( x ) = 3 x 4 .
 

2. kérdés : Legyen f ( x ) = 3 x ctg x . Ekkor f ( x ) =
 
3 x ln 3 + 1 sin 2 x .
 
3 x ln 3 1 sin 2 x .
 
3 xln 3 + 1 cos 2 x .
 
x . 3 x 1 + tg x .
 

3. kérdés : Ha f ( x ) = 1 x , akkor
 
f ( x ) = 1 2 x .
 
f ( x ) = 1 2 x 2 .
 
f ( x ) = 1 3 x 2 .
 
f ( x ) = 1 2 x 3 .
 

4. kérdés : ( 1 3 x 4 x 3 ) ' =
 
3 12 x .
 
3 12 x 2 .
 
3 12 x 2 .
 
3 43 x 2 .
 

5. kérdés : ( lg x 10 x ) ' =
 
ln 10 x 10 x . ln 10 .
 
1 x 10 x ln 10 .
 
1 10 x 10 x . ln 10 .
 
1 x . ln 10 10 x . ln 10 .
 

6. kérdés : ( 3 x 2 + ln 10 tg x ) ' =
 
6 x 3 1 cos 2 x .
 
3 2 x 3 1 cos 2 x .
 
3 2 . 1 x 2 + 1 10 1 cos 2 x .
 
3 2 x ctg x .
 

7. kérdés : ( 2 cos x log 1 2 x + x 3 16 ) ' =
 
2 sin x 1 x . ln ( 1 2 ) + 3 x 2 .
 
2 sin x + 1 x . ln 2 + 3 x 2 .
 
2 sin x 1 x . ln 2 + 3 x 2 .
 
2 sin x 1 x . ln ( 1 2 ) + 3 x 2 .
 

8. kérdés : Az f ( x ) = 3 x függvény x 0 = 2 -beli érintőjének egyenlete
 
y = 3 2 x + 3 .
 
y = 3 4 x + 3 .
 
y = 3 4 x + 3 .
 
y = 3 4 x + 3 4 .
 

9. kérdés : Az f ( x ) = e x + x függvény x 0 = 0 -beli érintőjének egyenlete
 
y = 2 x + 1 .
 
y = x + 2 .
 
y = 2 x 1 .
 
y = e x + 1 .