 |  | Tanulási cél: A határozatlan alakú határértékek újabb típusainál alkalmazható megoldási módszerek megismerése és begyakorlása, valamint nevezetes határértékekre visszavezethető
0 0
típusú határértékek meghatározására alkalmazható eljárások elsajátítása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 5.2., 5.3. és 5.5.
Elméleti összefoglaló: A
∞ − ∞
típusú határértékek egyik fajtája az, amikor azonos kitevőjű gyökök különbsége miatt alakul ki az azonos előjelű végtelenek különbsége.
Ilyenkor a gyöktelenítésnek nevezett eljárás használható. Ennek lényege, hogy (maradva a négyzetgyökök különbségének eseténél), felhasználva a
A − B = A − B A + B
azonosságot, a gyökök különbségét lecseréljük a jobb oldalon álló törtre. Ezután, esetleg további kiemeléseket is felhasználva, kiszámolható a szóbanforgó határérték. Emlékeztetünk arra, hogy gyökös kifejezésekből való kiemelés a
A 2 B = A B
képlet alapján végezhető (pozitív
A
esetén, a mi esetünkben mindig ez lesz a helyzet).
Az
1 ∞
típusú határértékek közül azokkal fogunk foglalkozni, amelyek azonosságok felhasználásával átalakíthatók úgy, hogy az alábbi tételek felhasználásával a határérték kiszámolható:
lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e
.
Ennek általánosítása a következő.
Ha
lim x → ∞ r ( x ) = ∞
, akkor tetszőleges
k
egész szám esetén
lim x → ∞ ( 1 + k r ( x ) ) r ( x ) = e k
.
Ha
lim x → ∞ f ( x ) = A
és
lim x → ∞ g ( x ) = B
, akkor
lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = A B
,
feltéve, hogy az itt szereplő hatványozások értelmesek.
A differenciálszámításban is fontos a következő két nevezetes határérték:
lim x → 0 sin x x = 1
és
lim x → 0 1 − cos x x = 0
.
|
|
|