 |  | 3. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az
f ( x ) = e x x
függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
A nevezőbeli
x
miatt
D f = R − { 0 } = ( − ∞ , 0 ) U ( 0, ∞ )
.
2) Alaki tulajdonságok.
A függvény sehol sem nulla, hiszen a számláló semmilyen
x
-re sem nulla, a grafikon nem metszi a vízszintes tengelyt.
Mivel
0 ∉ D f
, a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt sem.
f ( − x ) = e − x − x = − e − x x
,
amiből látszik, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.
3) Limeszek a
D f
szélein.
Négy határértéket kell kiszámolnunk.
Alkalmazva a L'Hospital-szabályt az eredeti
∞ ∞
típusú limeszre:
lim x → − ∞ e x x = lim x → − ∞ e x 1 = 0
.
lim x → 0 − e x x = − ∞
,
hiszen a számláló 1-hez, a nevező pedig nullához tart, de mindig negatív.
lim x → 0 + e x x = ∞
,
mivel most a nevező a pozitív számokon keresztül tart nullához.
Végül, ismét felhasználva a L'Hospital-szabályt,
lim x → ∞ e x x = lim x → ∞ e x 1 = ∞
.
4) Lokális szélsőértékek.
f ′ ( x ) = x e x − e x x 2 = ( x − 1 ) e x x 2
.
f ′ ( x ) = 0
pontosan akkor, ha
x = 1
.
Figyeljünk most arra, hogy a jelölt a
D f
jobb oldali felébe esik, azt vágja ketté, ezért a fejléc az alábbi három darabot tartalmazza. |
|
|