//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.6. Számsor fogalma, sorösszeg, mértani sor

Tanulási cél: A számsor, a részletösszeg és a sorösszeg fogalmának megismerése, valamint a mértani sorok összegére vonatkozó összefüggés elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.1.

Elméleti összefoglaló:
Legyen { a n } egy tetszőleges sorozat. A belőle képezett k = 1 a k végtelen sok tagú összeget végtelen sornak nevezzük. (Végtelen sort tehát úgy kapunk, hogy egy sorozat elemeit összeadjuk.)

Az S n = a 1 + a 2 + . . . + a n = k = 1 n a k összeget a sor n -edik részletösszegének nevezzük. A részletösszegek egy új sorozatot alkotnak.

Ha az { S n } sorozatnak létezik véges határértéke ( S ) , akkor azt a sor összegének nevezzük, és k = 1 a k = S -sel jelöljük. Ilyenkor a sort konvergensnek mondjuk. Ha a részletösszegek sorozatának nincs véges határértéke, akkor a numerikus sort divergensnek mondjuk.

Ha a k = 1 a k sor konvergens és összege A , akkor minden c R esetén a k = 1 c . a k sor is konvergens, és k = 1 c . a k = c . k = 1 a k = c . A .

Ha a k = 1 a k és k = 1 b k sorok konvergensek és összegük A illetve B , akkor a k = 1 ( a k + b k ) sor is konvergens, és k = 1 ( a k + b k ) = k = 1 a k + k = 1 b k = A + B .

A k = 0 q k sort mértani sornak nevezzük. Ha | q | < 1 , akkor a sor konvergens és összege 1 1 q , ha | q | 1 , akkor pedig divergens.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat A k = 1 1 ( 2 k 1 ) ( 2 k + 1 ) sor esetében számoljuk ki az S 1 , S 2 , S 3 részletösszegeket, és határozzuk meg a sor összegét!

Megoldás: A részletösszegekben a sor annyi tagját adjuk össze, ahányadik részletösszegről van szó. Az első részletösszegben tehát csak az első tagot kell venni, azaz

S 1 = a 1 = 1 ( 2 . 1 1 ) ( 2 . 1 + 1 ) = 1 3 .

A második részletösszegben már az első két tagot adjuk össze, így

S 2 = a 1 + a 2 = 1 ( 2 . 1 1 ) ( 2 . 1 + 1 ) + 1 ( 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 + 1 ) = 1 3 + 1 15 = 2 5 .

A harmadik részletösszeget az első három tagból kapjuk, tehát

S 3 = a 1 + a 2 + a 3 = 1 ( 2 . 1 1 ) ( 2 . 1 + 1 ) + 1 ( 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 + 1 ) + 1 ( 2 . 3 1 ) ( 2 . 3 + 1 ) = 1 3 + 1 15 + 1 35 = 3 7 .

Látható, hogy az egymás utáni részletösszegekben, csak egy plusz tag szerepel. Ezért az n -edik részletösszegből az n + 1 -edik az S n + 1 = S n + a n + 1 összefüggésből is számolható. Most például a harmadik részletösszeget az S 3 = S 2 + a 3 formában is megkaphattuk volna.

Lássuk ezután a sor összegét! Mivel ez a részletösszegek sorozatának határértéke, ezért írjuk fel mit is jelent a részletösszegek sorozatának n -edik tagja, azaz S n .

S n = a 1 + a 2 + . . . + a n = 1 ( 2 . 1 1 ) ( 2 . 1 + 1 ) + 1 ( 2 . 2 1 ) ( 2 . 2 + 1 ) + . . . + 1 ( 2 n 1 ) ( 2 n + 1 )

Ebből az alakból nem tudjuk meghatározni a határértékét, ezért alakítsuk át. Foglalkozzunk először csak az összegben szereplő utolsó törttel. Ennek számlálója egy konstans, nevezőjében pedig két olyan elsőfokú kifejezés szorzata áll, amelyekben n együtthatója azonos. Az ilyen törtek mindig felírhatóak két olyan tört különbségeként, melyeknek számlálója ugyanaz a konstans, nevezőjeik pedig az eredeti tört nevezőjében levő tényezők, jelen esetben tehát

1 ( 2 n 1 ) ( 2 n + 1 ) = A 2 n 1 A 2 n + 1 .

A számlálókban álló konstanst meghatározhatjuk, ha a törteket közös nevezőre hozzuk, és a számlálóban elvégezzük a műveleteket.

1 ( 2 n 1 ) ( 2 n + 1 ) = A 2 n 1 A 2 n + 1 = A ( 2 n + 1 ) A ( 2 n 1 ) ( 2 n 1 ) ( 2 n + 1 ) = 2 A ( 2 n 1 ) ( 2 n + 1 )

A sor elején és végén álló két tört nevezője azonos, ezért csak úgy lehetnek egyenlők, ha számlálójuk is megegyezik.

1 = 2 A A = 1 2 1 ( 2 n 1 ) ( 2 n + 1 ) = 1 2 2 n 1 1 2 2 n + 1 = 1 2 ( 1 2 n 1 1 2 n + 1 )

Írjuk a részletösszegben szereplő többi törtet is ilyen formában.

S n = 1 2 ( 1 2 . 1 1 1 2 . 1 + 1 ) + 1 2 ( 1 2 . 2 1 1 2 . 2 + 1 ) + . . . + 1 2 ( 1 2 n 1 1 2 n + 1 ) =

= 1 2 ( 1 1 1 3 ) + 1 2 ( 1 3 1 5 ) + . . . + 1 2 ( 1 2 n 1 1 2 n + 1 )

Emeljünk ki 1 2 -et, s hagyjuk el a felesleges zárójeleket.

S n = 1 2 ( 1 1 1 3 + 1 3 1 5 + . . . + 1 2 n 1 1 2 n + 1 )

Sok olyan tört van, mely pozitív és negatív előjellel is szerepel, ilyenek az 1 3 , 1 5 . . . 1 2 n 1 , ezek elűnnek.

S n = 1 2 ( 1 1 2 n + 1 )

Ebből az alakból már meghatározható a határérték, hiszen 1 2 n + 1 0 .

A részletösszegek sorozatának határértéke így a következő: lim n S n = 1 2 .

Ez a sor összege, azaz k = 1 1 ( 2 k 1 ) ( 2 k + 1 ) = 1 2 .
2. feladat Tekintsük a k = 1 1 k 2 + 3 k sort. Határozzok meg az S 2 , S 4 részletösszegeket! Döntsük el konvergens-e a sor, s ha igen, adjuk meg a sorösszeget!

Megoldás: Az S 2 részletösszeg azt jelenti, hogy vesszük azon sorozat első két elemének az összegét, melyből a sort képeztük. Ez a sorozat most a n = 1 n 2 + 3 n . Így a következőt kapjuk:

S 2 = 1 1 2 + 3 . 1 + 1 2 2 + 3 . 2 = 1 4 + 1 10 = 7 20

Ugyanígy kapjuk S 4 értékét is, de ehhez már a sorozat első négy elemét kell összeadnunk.

S 4 = 1 1 2 + 3 . 1 + 1 2 2 + 3 . 2 + 1 3 2 + 3 . 3 + 1 4 2 + 3 . 4 = 1 4 + 1 10 + 1 18 + 1 28 = 139 315

Ez volt a feladat könnyebb része. A következő részhez írjuk fel mit is jelent S n .

S n = 1 1 2 + 3 . 1 + 1 2 2 + 3 . 2 + 1 3 2 + 3 . 3 + . . . + 1 n 2 + 3 . n

Sajnos ebből az alakból nem tudjuk meghatározni a lim n S n határértéket, ezért alakítsunk rajta úgy mint az előző feladatban. Nézzük először az utolsó törtet, és alakítsuk szorzattá a nevezőt.

1 n 2 + 3 . n = 1 n . ( n + 3 )

Bontsuk fel a törtet két tört különbségére.

1 n . ( n + 3 ) = A n A n + 3

Hozzuk közös nevezőre a két törtet, majd a számlálóban végezzük el a kivonást.

1 n . ( n + 3 ) = A n A n + 3 = A . ( n + 3 ) A . n n . ( n + 3 ) = 3 A n . ( n + 3 )

Mivel végig egyenlőség áll, ezért a sor elején és végén álló két tört egyenlő. Nevezőjük azonos, ezért a számlálóik is egyenlőek, azaz 1 = 3 A A = 1 3 . A részletösszegben szereplő utolsó tört ezért a következő módon alakítható át:

1 n 2 + 3 . n = 1 n . ( n + 3 ) = 1 3 n 1 3 n + 3 = 1 3 ( 1 n 1 n + 3 ) .

Ugyanilyen átalakítást végezhetünk azonban a többi törtön is, amikor n helyén valamilyen konkrét szám áll. A részletösszeg ezért így írható:

S n = 1 3 ( 1 1 1 4 ) + 1 3 ( 1 2 1 5 ) + 1 3 ( 1 3 1 6 ) + 1 3 ( 1 4 1 7 ) + . . . +

+ 1 3 ( 1 n 3 1 n ) + 1 3 ( 1 n 2 1 n + 1 ) + 1 3 ( 1 n 1 1 n + 2 ) + 1 3 ( 1 n 1 n + 3 ) .

A zárójelek előtti 1 3 kiemelhető, a törteket pedig összeadhatjuk. Nagyon sok  olyan tört van azonban, ami pozitív és negatív előjellel is szerepel, így ezek eltűnnek. Ilyenek az 1 4 , 1 5 , . . . 1 n . Az előző feladathoz viszonyítva az a különbség, hogy ezek a törtek nem közvetlenül egymás mellett állnak, és több tört marad meg az elején és a végén is.
A következő kifejezést kapjuk:

S n = 1 3 ( 1 1 + 1 2 + 1 3 1 n + 1 1 n + 2 1 n + 3 ) .

Ennek a kifejezésnek már meg tudjuk határozni a határértékét. Mivel 1 n + 1 , 1 n + 2 , 1 n + 3 mindegyike 0 -hoz tart, ezért

lim n S n = 1 3 ( 1 + 1 2 + 1 3 ) = 11 18 .

Ez lesz tehát a sorösszeg, azaz k = 1 1 k 2 + 3 k = 11 18 .
3. feladat Határozzuk meg a k = 1 1 k 2 + 5 k + 4 sor esetén S 3 értékét, majd döntsük el konvergens vagy divergens a sor, s ha konvergens, akkor adjuk meg a sorösszeget!

Megoldás: A 3. részletösszeg meghatározásához az a n = 1 n 2 + 5 n + 4 sorozat első három elemét kell összeadnunk.

S 3 = 1 1 2 + 5 . 1 + 4 + 1 2 2 + 5 . 2 + 4 + 1 3 2 + 5 . 3 + 4 = 1 10 + 1 18 + 1 28 = 241 1260

A konvergencia eldöntéséhez most elvileg úgy kellene eljárnunk, mint az előző feladatban, a részletösszegek sorozatánal határértékét kellene meghatároznunk. Ez általában nem könnyű feladat, így ha lehtőségünk van rá, akkor egy sort megpróbálunk visszavezetni olyan sorra, amelyet már ismerünk. Vegyük észre, hogy a részletösszegben szereplő tagok 1 10 , 1 18 , 1 28 az előző feladatban a 4. részletösszegében is előfordultak, de ott még egy tag, az 1 4 is előttük volt. Ezek alapján az sejthető, hogy ez a sor lényegében azonos az előző feladatban szereplővel, csak abból elhagytuk az első tagot. Ennek bizonyításához tekintsük az összegzett sorozatot definiáló kifejezést, és alakítsuk szorzattá a nevezőt.

A nevező gyökei: n 1,2 = 5 + 25 16 2 = { 1 4 .

Ebből k 2 + 5 k + 4 = ( k ( 1 ) ) ( k ( 4 ) ) = ( k + 1 ) ( k + 4 ) ,

illetve 1 k 2 + 5 k + 4 = 1 ( k + 1 ) ( k + 4 ) = 1 ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 3 ) .

A nevezőben szereplő tényezők tehát pontosan eggyel nagyobbak, mint az előző feladatban, azaz a sejtésünk igaz, az előző feladatban szereplő sor első tagját elhagyva kapjuk az ezen feladatban levő sort. (Formálisan azt tehetnénk, hogy k + 1 helyére k -t írunk, s az összegzést nem egytől hanem kettőtől indítjuk.)
Mivel véges sok tag elhagyása vagy hozzávétele nem befolyásolja egy sor konvergenciáját, ezért ezen sor is konvergens lesz, s az összeget az előző feladat eredményét felhasználva kapjuk.

k = 1 1 k 2 + 5 k + 4 = k = 2 1 k 2 + 3 k = k = 1 1 k 2 + 3 k 1 4 = 11 18 1 4 = 13 36

A sorösszeg tehát 13 36 .

Megjegyzés: A sorokban az összegzést általában 1-től indítjuk, de indíthatjuk máshonnan is. Mint a feladatból látható, ha 1-nél magasabbról indulunk, akkor tagokat kell elhagyni a sorból, ha 0-tól vagy negatív számtól indulunk, akkor pedig tagokat kell hozzávennünk a sorhoz.
4. feladat A k = 1 k esetén határozzuk meg S 3 és S 5 értékét, valamint döntsük el konvergens-e a sor, s ha igen adjuk meg a sorösszeget!

Megoldás: Most az a n = n sorozat elemeit kell összegezni.

S 3 = 1 + 2 + 3 = 6

S 5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

S n = 1 + 2 + 3 + . . . + n

Nyilvánvaló, hogy a részletösszegek sorozata végtelenhez tart, mert az összeg utolsó tagja, n is végtelenhez tart, és ehhez adunk még pozitív értékeket.

lim n S n = k = 1 k =

A sor divergens, nem létezik véges sorösszeg.
5. feladat Döntsük el konvergens-e a k = 0 1 2 k sor, s ha igen adjuk meg a sorösszeget!

Megoldás: Eljárhatnánk olyan módon, mint az előző feladatokban, tehát meghatározhatnánk a részletösszegek sorozatának határértékét, de ez elég fáradságos. Írjuk inkább a sort k = 0 ( 1 2 ) k alakban, s ekkor láthatóan egy mértani sort kapunk, melyben q = 1 2 . A konvergencia vizsgálatához így elegendő azt megnézni, hogy | q | < 1 vagy | q | 1 teljesül. Mivel | 1 2 | < 1 , ezért a sor konvergens lesz.

A mértani sor összegéről tudjuk: k = 0 q k = 1 1 q .

Ezért ennek a sornak az összege: k = 0 ( 1 2 ) k = 1 1 1 2 = 2 .
6. feladat Vizsgáljuk meg konvergens-e a k = 0 2 3 k 5 . 7 k sor, s ha igen adjuk meg a sorösszeget!

Megoldás: Alakítsuk át a sort.

k = 0 2 3 k 5 . 7 k = 1 5 . k = 0 2 3 k 7 k = 1 5 . k = 0 8 k 7 k = 1 5 . k = 0 ( 8 7 ) k

Egy olyan mértani sor 1 5 -szörösét kaptuk, melyben q = 8 7 . Mivel | 8 7 | 1 , ezért ez a mértani sor divergens, s ha pozitív számmal szorozzuk, akkor is divergens sort kapunk.

k = 0 2 3 k 5 . 7 k =
7. feladat Konvergens-e a k = 0 5 k + 1 + 3 2 k 1 11 k sor, s ha igen mi a sorösszeg?

Megoldás: Végezzünk most is átalakításokat.

k = 0 5 k + 1 + 3 2 k 1 11 k = k = 0 5 . 5 k + 1 3 . 3 2 k 11 k = k = 0 5 . 5 k + 1 3 . 9 k 11 k = k = 0 ( 5 . 5 k 11 k + 1 3 . 9 k 11 k ) =

= k = 0 5 . 5 k 11 k + k = 0 1 3 . 9 k 11 k = 5 . k = 0 5 k 11 k + 1 3 . k = 0 9 k 11 k = 5 . k = 0 ( 5 11 ) k + 1 3 . k = 0 ( 9 11 ) k

Most két mértani sor számszorosának összegére bontottuk a sort, melyekben q = 5 11 illetve q = 9 11 . Mivel | 5 11 | < 1 és | 9 11 | < 1 teljesül, ezért mindkét sor konvergens, s így számszorosaik összege is konvergens. A konvergens mértani sorokra vonatkozó k = 0 q k = 1 1 q összefüggés alapján a sorösszeg:

k = 0 5 k + 1 + 3 2 k 1 11 k = 5 . 1 1 5 11 + 1 3 . 1 1 9 11 = 11 .
8. feladat Vizsgáljuk meg milyen α értékek esetén konvergens a k = 0 ( tg α ) k sor. Amikor konvergens, mi a sorösszeg? ( α R és α π 2 + m . π , m Z )

Megoldás: Ismét mértani sorról van szó, q = tg α . A konvergencia eldöntéséhez az | tg α | < 1 egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Ez az egyenlőtlenség 1 < tg α < 1 formában is írható. Ennek megoldását a tangens függvény grafikonjáról olvassuk le. Az ábrán csak egy periódust tüntettünk fel, de vegyük figyelembe, hogy a függvény periodikus.



Az egyenlőtlenség megoldása: π 4 + m . π 2 < α < π 4 + m . π 2 , m Z . Ekkor a sor konvergens, és a

sorösszeg: k = 0 ( tg α ) k = 1 1 tg α .

A megengedett egyéb α értékek estén a sor divergens.
9. feladat Egy egységnyi oldalú négyzet belsejébe az ábrán látható módon 1 2 egység oldalú négyzetet írunk, majd annak belsejébe 1 4 egység oldalú négyzetet, s ezt így folytatjuk tovább. A négyzetek belsejét az ábrán látható módon kiszínezzük. Mekkora a fekete színű síkrészek területének összege?



Megoldás: A feladatot kétféle gondolatmenettel is megoldjuk.
1. gondolatmenet: A legnagyobb négyzet területe 1 egység, a következőé 1 4 , az utána következőé 1 16 stb. Induljunk el a legnagyobb négyzet területéből, és vonjunk le belőle 1 4 egységet, mintha a teljes jobb alsó negyed fehér lenne. Ez azonban nem igaz, ezért adjunk hozzá 1 16 egységet, mintha a következő négyzet teljesen fekete lenne. Ezután ismét vonjunk 1 64 egységet, mintha a következő négyzet teljesen fehér lenne, s folytassuk így tovább. Eszerint a területet a következő sor adja:

T fekete = 1 1 4 + 1 16 1 64 + 1 256 1 1024 + . . . = k = 0 ( 1 4 ) k .

Ez egy olyan mértani sor, melyben q = 1 4 . Mivel | 1 4 | < 1 , ezért a sor konvergens, és a sorösszeg, ami a fekete síkrészek területének összege, a következő:

T fekete = 1 1 ( 1 4 ) = 4 5 .

2. gondolatmenet: Foglalkozzunk most csak a fekete síkrészekkel, ezek nyilvánvalóan hasonlóak, s két egymást követő fekete síkrész között a hasonlóság aránya 1 4 . A hasonló alakzatok területének aránya a hasonlóság arányának négyzetével egyenlő, ezért két egymást követő fekete síkrész területének aránya 1 16 . Mivel a legnagyobb fekete síkrész területe 3 4 , ezért a következő területe 3 4 . 1 16 = 3 64 , a következőé pedig 3 64 . 1 16 = 3 1024 . A kérdéses terület ezért a következő sor összegeként kapható:

T fekete = 3 4 + 3 64 + 3 1024 + . . . = 3 4 ( 1 + 1 16 + 1 256 + . . . ) = 3 4 . k = 0 ( 1 16 ) k .

Ez egy mértani sor számszorosa, s most q = 1 16 . Az | q | < 1 egyenlőtlenség most is igaz, tehát a sor konvergens, s összege a következő:

T fekete = 3 4 . 1 1 1 16 = 4 5 .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő a k = 1 1 k 2 + 2 k sor negyedik részletösszege, azaz S 4 ?
 
61 120
 
17 30
 
53 60
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

2. kérdés: Az előző kérdésben szereplő sornak mennyi az összege?
 
4 3
 
3 4
 
17 12
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

3. kérdés: A k = 1 1 k 2 + 3 k + 2 sornak mennyi a sorösszege?
 
1 3
 
2 5
 
1 2
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

4. kérdés: Mi a k = 0 1 4 k sor összege?
 
4 3
 
3 2
 
7 8
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

5. kérdés: Konvergens-e a k = 0 3 2 k 1 2 3 k + 1 sor, s ha igen mi az összege?
 
8 5
 
3
 
4
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

6. kérdés: A k = 1 ( 5 ) k + 1 3 2 k 1 sornak mi az összege?
 
9 4
 
75 14
 
135 14
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

7. kérdés: Konvergens-e a k = 0 2 2 k 1 + 3 k + 1 5 k sor, s ha igen mi az összege?
 
15 2
 
10
 
5
 
a sor divergens, nincs véges sorösszeg
 

8. kérdés: Milyen α értékek esetén konvergens a k = 0 ( ctg α ) k sor? ( α R és α m . π , m Z )
 
π 4 + m . π < α < π 4 + m . π , m Z
 
m . π < α < π 2 + m . π , m Z
 
π 4 + m . π < α < 3 π 4 + m . π , m Z
 
π 2 + m . π < α < ( m + 1 ) . π , m Z
 

9. kérdés: Egy egységnyi oldalú négyzet mellé egy 1 2 egység oldalú, amellé egy 1 4 egység oldalú stb. négyzetet rajzolunk az ábrán látható módon.



Mekkora a négyzetek területének az összege?
 
4 3
 
3 2
 
7 4
 
11 8