 |  | 10. feladat Deriváljuk az
f ( x ) = x x + x x + 1 x
függvényt.
Megoldás: Ha ebben a formában deriválnánk a függvényt legalább kétszer alkalmazni kéne a tört deriválási szabályát, ez elég bonyolult képletet eredményezne. Inkább deriválás előtt átalakítjuk a függvényt.
f ( x ) = x x + x x + 1 x = x x + x x 2 + 1 x = x x + x 2 x 2 + 1 = x x 3 + x + x 2 x 2 + 1 = x 3 + x x 3 + x 2 + x = x 2 + 1 x 2 + x + 1
.
A figyelmes olvasó itt közbevetheti, hogy amikor az utolsó lépésben egyszerűsítünk az
x
-el, akkor a kapott függvény nem az eredeti függvény, (az nincs értelmezve a nullában, az egyszerűsítés után kapott igen). Erre azt válaszolhatjuk, hogy a két függvény csak ebben az egy pontban különbözik, az értelmezési tartomány egyébbként is csak bővült, ahol mindkét függvény deriválható, ott a deriváltak egyenlők. Az egyszerűsítésnek van annyi haszna, hogy megérje megtenni.
Most már a derivált függvény:
f ′ ( x ) = ( x 2 + 1 ) ' ( x 2 + x + 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ' ( x 2 + x + 1 ) 2 = 2 x ( x 2 + x + 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 2 =
= ( 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x ) − ( 2 x 3 + x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 2 = x 2 − 1 ( x 2 + x + 1 ) 2
.
Megjegyezzük, hogy, különösen bonyolultabb függvények esetén, gyakran több úton is elkészíthetjük a derivált függvényt. Iyenkor a kapott képletek látszólag nagyon különbözők lehetnek. Annak kell ekkor teljesülni, hogy a képletek azonosságok felhasználásával egymásba alakíthatók legyenek.
Ellenőrző kérdések: |
|
|