 |  | Kidolgozott feladatok:
1. feladat Egy téglalap kerülete 20 cm. Milyen oldalméretek esetén lesz a terület maximális?
Megoldás:
Jelöljük a téglalap oldalait
x
-el és
y
-al. Ekkor a terület persze
T = x y
.
Ebben a felírásban azonban két változó szerepel. De a feladat feltételei szerint a két változó között kapcsolat van, ugyanis tudjuk, hogy a kerület 20 cm. Felírva a kerületet az oldalakkal, kapjuk, hogy
K = 20 = 2 x + 2 y = 2 ( x + y )
,
azaz
x + y = 10
,
amiből kifejezhetjük, például az
y
változót az
x
-szel, s ezt visszaírva a területképletbe, azt az
x
változó függvényében kapjuk meg. Tehát
y = 10 − x
,
és
T ( x ) = x ( 10 − x ) = 10 x − x 2
.
Ez a függvény írja le a terület változását az egyik oldal függvényében.
Most a feladat szövegéből az a feltétel adódik, hogy
0 < x < 10
, hiszen az
x
pozitív, mert hosszúság, és
2 x
-nek kisebbnek kell lenni mint a kerület, azaz kisebbnek mint 20, de azért a
2 x
a 20-hoz bármilyen közel is lehet egy igen keskeny téglalap esetén.
Keressük tehát a fenti
T ( x )
függvénynek azt a lokális maximum helyét, amely a
( 0, 10 )
intervallumba esik.
Miután
T ′ ( x ) = 10 − 2 x
,
T ′ ( x ) = 0
akkor és csak akkor teljesül, ha
x = 5
. Az 5 benne van a
( 0, 10 )
intervallumban, ezért ő az egyetlen lokális maximum hely jelölt. A szokásos táblázat elkészítésével döntsük el, valóban maximum hely-e. |
|
|