//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.6. Racionális törtfüggvények integrálása

Tanulási cél: A résztörtekre bontás módszerének megismerése, s a különböző típusú résztörtek integrálásának elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.8.

Elméleti összefoglaló:
Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük.

Egy racionális törtfüggvényt valódi törtnek mondunk, ha a számláló alacsonyabb fokú mint a nevező, és nemvalódinak, ha a számláló fokszáma legalább annyi, mint a nevezőé.

Minden nemvalódi racionális törtfüggvény egyértelműen felbontható egy polinom és egy valódi racionális tört összegére. A felbontás polinomosztással történik. Az eredeti tört egyenlő az osztás hányadosaként kapott polinom és azon tört összegével, melyben az osztás maradékát az eredeti tört nevezőjével osztjuk.

Minden valós együtthatós polinom egyértelműen felbontható legfeljebb másodfokú, valós együtthatós, tovább már nem bontható polinomok szorzatára. A felbontást kiemeléssel, vagy a gyöktényezős alak felírásával valósítjuk meg. Ennek lényege, hogy ha egy polinomnak gyöke az a szám, akkor a polinom osztható ( x a ) -val.

Ha ismerjük egy racionális törtfüggvény nevezőjének szorzattá bontott alakját, akkor a tört úgynevezett résztörtek összegére bontható a következők szerint:

Ha a nevezőben szerepel az ( x a ) n a szorzat tényezői között, akkor hozzá az A 1 x a , A 2 ( x a ) 2 . . . A n ( x a ) n résztörtek tartoznak, melyekben A 1 , A 2 . . . A n később meghatározandó valós számok.

Ha a nevezőben szerepel az ( x 2 + a x + b ) tovább nem bontható, másodfokú tényező, akkor hozzá az A x + B x 2 + a x + b résztört tartozik, melyben A , B később meghatározandó valós számok.

Miután felírtuk a résztörtek paraméteres alakját, a számlálókban levő valós számokat úgy határozzuk meg, hogy közös nevezőre hozzuk őket. A közös nevező mindig az eredeti tört nevezője, ebből következően a közös nevezőre hozás utáni számláló és az eredeti tört számlálója egyenlő. Mivel mindkét számláló polinom, csak úgy lehetnek egyenlőek, ha a megfelelő fokszámú tagok együtthatói külön-külön is egyenlőek. Így egy egyenletrendszert kapunk, melynek megoldásával kapjuk a résztörtekben szereplő számokat.

Miután egy racionális törtfüggvényt felbontottunk résztörtekre, azokat külön-külön integráljuk.
A kapott résztörtek integrálási szempontból három típusba sorolhatók.

( 1. ) A x a , ( 2. ) A ( x a ) n , ( 3. ) A x + B x 2 + a x + b

(A harmadik típusú törtek nevezője nem bontható szorzattá.)

Az első két típus integrálása a következő:

( 1. ) A x a d x = A 1 x a d x = A . ln | x a | + c

( 2. ) A ( x a ) n d x = A ( x a ) n d x = A . ( x a ) n + 1 n + 1 + c = A ( 1 n ) . ( x a ) n 1 + c

A harmadik típusú törtek integrálását majd konkrét feladatokban mutatjuk be.

Kidolgozott feladatok:
1. feladat 3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 x + 2 d x =

Megoldás: Először vizsgáljuk meg, hogy a tört valódi vagy sem. Mivel a számláló harmadfokú, a nevező pedig csak elsőfokú, ezért ez nemvalódi tört. Polinomosztással fel kell bontanunk egy polinom és egy valódi tört össszegére. Ehhez a törtet ezután célszerűbb a következőképpen írni:

( 3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 ) : ( x + 2 ) = .

Tekintsük az osztandó legmagasabb fokszámú tagját, ez 3 x 3 , és az osztó legmagasabb fokú tagját, ez x . Vegyük ezeknek a hányadosát, ez 3 x 2 , mely a hányados első tagja lesz. Írjuk le ezt az egyenlőségjel után, majd az osztót szorozzuk meg vele, és az eredményt írjuk le az osztandó alá. Vonjuk ki a szorzás eredményét az osztandóból.

( 3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 ) : ( x + 2 ) = 3 x 2 3 x 3 + 6 x 2 2 x 2 + x + 6

A kivonás után olyan polinomot kapunk, melynek fokszáma legalább eggyel kevesebb, mint amennyi az osztandó fokszáma volt. Az eljárás következő lépésében ezzel a polinommal hajtjuk végre ugyanazt, mint az előbb az osztandóval. Tehát most a 2 x 2 -et osztjuk az x -szel, s kapjuk a hányados következő tagját, a 2 x -et. Ezzel szorozzuk az osztót, s a szorzás eredményét kivonjuk, mint az előbb.

( 3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 ) : ( x + 2 ) = 3 x 2 2 x 3 x 3 + 6 x 2 2 x 2 + x + 6 2 x 2 4 x 5 x + 6

A kivonás eredményével ismételjük meg újra az eljárást egészen addig, amíg nem kapunk az osztónál alacsonyabb fokszámú polinomot. Most 5 x -et kell osztanunk x -szel, s így a hányados következő tagja 5 lesz. Ismét szorozzuk az osztót, majd hajtsuk végre a kivonást.

( 3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 ) : ( x + 2 ) = 3 x 2 2 x + 5 3 x 3 + 6 x 2 2 x 2 + x + 6 2 x 2 4 x 5 x + 6 5 x + 10 4

Az osztás itt végetért. Hányadosként kaptunk egy polinomot, ez 3 x 2 2 x + 5 , s a maradék 4 . Az eredeti tört a következőképpen írható:

3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 x + 2 = 3 x 2 2 x + 5 + 4 x + 2

Térjünk vissza ezután az integráláshoz.

3 x 3 + 4 x 2 + x + 6 x + 2 d x = ( 3 x 2 2 x + 5 + 4 x + 2 ) d x = 3 x 2 d x 2 x d x + 5 1 d x 4 1 x + 2 d x =

Az első három rész alapintegrál, a negyedik pedig olyan összetett függvény, amelynek belső függvénye lineáris. Végrehajtva az integrálást a következő eredményt kapjuk:

3 x 3 3 2 x 2 2 + 5 x 4 ln | x + 2 | + c = x 3 x 2 + 5 x 4 ln | x + 2 | + c .
2. feladat 2 x 3 3 x 7 x 2 + 2 x + 2 d x =

Megoldás: Az integrandus most sem valódi tört, hiszen a számláló harmadfokú, a nevező pedig csak másodfokú. Hajtsuk végre most is a polinomosztást, de ezt már nem írjuk ki lépésenként.

( 2 x 3 3 x 7 ) : ( x 2 + 2 x + 2 ) = 2 x 4 2 x 3 + 4 x 2 + 4 x 4 x 2 7 x 7 4 x 2 8 x 8 x + 1

A hányados tehát 2 x 4 , a mardék pedig x + 1 lett, melyet még osztanunk kell az eredeti tört nevezőjével. A felbontott alakot írjuk egyből az integrálba.

2 x 3 3 x 7 x 2 + 2 x + 2 d x = ( 2 x 4 + x + 1 x 2 + 2 x + 2 ) d x =

Mivel olyan törtünk maradt, melynek nevezője másodfokú, meg kell vizsgálnunk, hogy van-e valós gyöke a nevezőnek, mert ha igen, akkor szorzattá lehet alakítani, s az egész törtet pedig résztörtek összegére lehet bontani. Írjuk fel a nevezőben levő polinom diszkriminánsát.

D = b 2 4 a c = 2 2 4 . 1 . 2 = 4

A diszkrimináns negatív, tehát a nevezőnek nincs valós gyöke, a tört nem bontható fel résztörtekre.
Észrevehető, hogy a számláló éppen fele a nevező deriváltjának. Célszerű ezért a számlálót szorozni 2 -vel, s a tört elé pedig egy 1 2 -et írni, mert így f ( x ) f ( x ) típusú integrált kapunk.

2 x 3 3 x 7 x 2 + 2 x + 2 d x = ( 2 x 4 + 1 2 . 2 x + 2 x 2 + 2 x + 2 ) d x = ( 2 x 4 + 1 2 . ( x 2 + 2 x + 2 ) " x 2 + 2 x + 2 ) d x =

Hajtsuk végre az integrálást, eredményül a következőt kapjuk:

2 x 2 2 4 x + 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + c = x 2 4 x + 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + c .

Megjegyzés: Mivel az x 2 + 2 x + 2 kifejezés csak pozitív értékeket vesz fel, az abszolút érték elhagyható.
3. feladat 5 x 6 x 2 3 x d x =

Megoldás: Az integrandus most valódi tört, a számláló elsőfokú, a nevező pedig másodfokú. A nevező kiemeléssel szorzattá alakítható, tehát a tört felbontható résztörtekre. Első lépésként írjuk fel a nevezőt szorzat alakban.

x 2 3 x = x ( x 3 )

Mivel két elsőfokú tényezőnk van, két olyan résztörtet kell felírnunk, melyek számlálója konstans, a nevezőkben pedig a két tényező áll.

5 x 6 x ( x 3 ) = A x + B x 3

A számlálókban álló A és B számok meghatározásához, hozzuk közös nevezőre a két törtet.

5 x 6 x ( x 3 ) = A ( x 3 ) + B x x ( x 3 ) = ( A + B ) x 3 A x ( x 3 )

Mivel a nevezők megegyeznek, ezért a számlálóknak is egyenlőeknek kell lenniük. Ez csak úgy lehetséges, ha a megfelelő fokszámú tagok együtthatói megegyeznek. Így egy egyenletrendszert kapunk.

5 = A + B (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

6 = 3 A (a konstans tagok egyenlőségéből)

A második egyenletből A = 2 , melyet visszahelyettesítünk az első egyenletbe, ahonnan B = 3 -at kapunk. Ebből következik:

5 x 6 x ( x 3 ) = 2 x + 3 x 3

Térjünk vissza az integráláshoz. Írjuk be, hogy az eredeti tört, milyen résztörtek összegeként kapható meg, s a résztörteket integráljuk.

5 x 6 x 2 3 x d x = ( 2 x + 3 x 3 ) d x = 2 ln | x | + 3 ln | x 3 | + c
4. feladat 13 x + 12 3 x 2 x 2 d x =

Megoldás: Az integrandus valódi tört, polinomosztást nem kell végeznünk. Vizsgáljuk meg, van-e gyöke a nevezőnek. Mivel másodfokú, felírjuk a megoldóképletet.

x 1,2 = 1 + ( 1 ) 2 4 . 3 . ( 2 ) 2 . 3 = { 1 2 3

Írjuk fel a nevező gyöktényezős alakját.

3 x 2 x 2 = 3 ( x 1 ) ( x + 2 3 ) = ( x 1 ) ( 3 x + 2 )

Két elsőfokú tényezőnk van, így a résztörtek számlálója egyszerűen egy-egy konstans lesz.

13 x + 12 ( x 1 ) ( 3 x + 2 ) = A x 1 + B 3 x + 2

Hozzuk közös nevezőre a két törtet.

13 x + 12 ( x 1 ) ( 3 x + 2 ) = A ( 3 x + 2 ) + B ( x 1 ) ( x 1 ) ( 3 x + 2 ) = ( 3 A + B ) x + ( 2 A B ) ( x 1 ) ( 3 x + 2 )

A két tört csak úgy lehet egyenlő, ha a számlálókban az azonos fokszámú tagok együtthatói külön külön egyenlőek.

13 = 3 A + B (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

12 = 2 A B (a konstansok egyenlőségéből)

Célszerű összeadni a két egyenletet.

25 = 5 A A = 5

Helyettesítsük ezt be például az első egyenletbe, s kapjuk B = 2 . Ezek ismeretében felírhatjuk:

13 x + 12 3 x 2 x 2 = 5 x 1 + 2 3 x + 2 = 5 x 1 2 3 x + 2

Helyettesítsük be ezt az integrálba, s a résztörteket integráljuk külön-külön.

13 x + 12 3 x 2 x 2 d x = ( 5 x 1 2 3 x + 2 ) d x = 5 ln | x 1 | 2 ln | 3 x + 2 | 3 + c

Az utolsó lépésnél figyeljünk, mert a nevezőben lévő 3 x miatt az integrálás során osztanunk kell 3 -mal, hiszen a lineáris belső függvényben 3 az x együtthatója.
5. feladat 2 x 2 + 10 x 2 2 x 3 + 3 x 2 2 x d x =

Megoldás: Ismét valódi törtet kell integrálnunk, mert a számláló másodfokú, a nevező pedig harmadfokú. A nevezőből x kiemelhető.

2 x 3 + 3 x 2 2 x = x ( 2 x 2 + 3 x 2 )

A szorzat második tényezője másodfokú. Nézzük meg van-e valós gyöke, s szorzattá bontható-e. Írjuk fel a megoldóképletet.

x 1,2 = 3 + 3 2 4 . 2 . ( 2 ) 2 . 2 = { 1 2 2

Írjuk fel a gyöktényezős alakot.

2 x 2 + 3 x 2 = ( x + 2 ) ( 2 x 1 )

Ebből a nevező szorzattá bontott alakja.

2 x 3 + 3 x 2 2 x = x ( x + 2 ) ( 2 x 1 )

A nevezőben három tényező van, de mindegyik elsőfokú, ezért a résztörtek számlálója most is csak egy-egy konstans lesz.

2 x 2 + 10 x 2 x ( x + 2 ) ( 2 x 1 ) = A x + B x + 2 + C 2 x 1

Hozzuk közös nevezőre a törteket.

2 x 2 + 10 x 2 x ( x + 2 ) ( 2 x 1 ) = A ( x + 2 ) ( 2 x 1 ) + B x ( 2 x 1 ) + C x ( x + 2 ) x ( x + 2 ) ( 2 x 1 ) = ( 2 A + 2 B + C ) x 2 + ( 3 A B + 2 C ) x + ( 2 A ) x ( x + 2 ) ( 2 x 1 )

Most a számlálók egyenlőségéből három egyenletet kapunk, mert van négyzetes, elsőfokú és konstans tag is.

2 = 2 A + 2 B + C (a négyzetes tagok egyenlőségéből)

10 = 3 A B + 2 C (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

2 = 2 A (a konstansok egyenlőségéből)

A harmadik egyenletből A = 1 . Helyettesítsük ezt be az első két egyenletbe.

4 = 2 B + C , 7 = B + 2 C

A második egyenlet kétszeresét adjuk hozzá az első egyenlethez.

10 = 5 C C = 2

Helyettesítsük ezt is vissza valamelyik egyenletbe, B = 3 -at kapunk.

Írjuk be ezután egyből az integrálba a konkrét résztörteket, s hajtsuk végre az integrálást.

2 x 2 + 10 x 2 2 x 3 + 3 x 2 2 x d x = ( 1 x 3 x + 2 + 2 2 x 1 ) d x = ln | x | 3 ln | x + 2 | + 2 ln | 2 x 1 | 2 + c =

= ln | x | 3 ln | x + 2 | + ln | 2 x 1 | + c
6. feladat 2 x 4 13 x 3 + 27 x 2 18 x 6 x 3 5 x 2 + 6 x d x =

Megoldás: Az integrandus nemvalódi tört, hiszen a számláló negyedfokú, a nevező harmadfokú, ezért polinomosztással kell kezdenünk.

( 2 x 4 13 x 3 + 27 x 2 18 x 6 ) : ( x 3 5 x 2 + 6 x ) = 2 x 3 2 x 4 10 x 3 + 12 x 2 3 x 3 + 15 x 2 18 x 6 3 x 3 + 15 x 2 18 x 6

Ebből a következő egyenlőség írható fel.

2 x 4 13 x 3 + 27 x 2 18 x 6 x 3 5 x 2 + 6 x = 2 x 3 6 x 3 5 x 2 + 6 x

A megmaradt törtet bontsuk fel résztörtekre. Ehhez a nevezőt alakítsuk szorzattá. Első lépésben emeljünk ki x -et.

x 3 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 5 x + 6 )

A második tényező felbontásához írjuk fel a megoldóképletet.

x 1,2 = 5 + ( 5 ) 2 4 . 1 . 6 2 = { 3 2

Ebből a második tényező gyöktényezős alakja:

x 2 5 x + 6 = ( x 2 ) ( x 3 ) .

Ezután az egész nevező szorzattá bontott alakja a következő:

x 3 5 x 2 + 6 x = x ( x 2 ) ( x 3 )

Ennek alapján írjuk fel,hogy a megmaradt tört miként bontható résztörtekre. Mivel három elsőfokú tényező van a nevezőben, három résztört lesz, melyek számlálója konstans.

6 x ( x 2 ) ( x 3 ) = A x + B x 2 + C x 3

Hozzuk közös nevezőre a résztörteket.

6 x ( x 2 ) ( x 3 ) = A ( x 2 ) ( x 3 ) + B x ( x 3 ) + C x ( x 2 ) x ( x 2 ) ( x 3 ) = ( A + B + C ) x 2 + ( 5 A 3 B 2 C ) x + 6 A x ( x 2 ) ( x 3 )

A számlálókban álló azonos fokszámú tagok egyenlőségéből írjuk fel az egyenletrendszert.

0 = A + B + C (a másodfokú tagok egyenlőségéből)

0 = 5 A 3 B 2 C (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

6 = 6 A (a konstansok egyenlőségéből)

Az utolsó egyenletből A = 1 , melyet behelyettesítünk a másik két egyenletbe.

1 = B + C

5 = 3 B 2 C

Adjuk hozzá az első egyenlet kétszeresét a második egyenlethez, így B = 3 -at kapunk. Ezt visszahelyettesítjük valamelyik egyenletbe, s a C = 2 érték adódik.

Írjuk fel a résztörtekre bontott alakot.

6 x ( x 2 ) ( x 3 ) = 1 x + 3 x 2 + 2 x 3

Térjünk vissza az integrálhoz.

2 x 4 13 x 3 + 27 x 2 18 x 6 x 3 5 x 2 + 6 x d x = ( 2 x 3 ( 1 x 3 x 2 + 2 x 3 ) ) d x = ( 2 x 3 1 x + 3 x 2 2 x 3 ) d x =

= 2 x 2 2 3 x ln | x | + 3 ln | x 2 | 2 ln | x 3 | + c = x 2 3 x ln | x | + 3 ln | x 2 | 2 ln | x 3 | + c
7. feladat 4 x 2 + 18 x + 15 ( x + 2 ) 3 d x =

Megoldás: Az integrálandó függvény ismét valódi tört, a számláló másodfokú, a nevező pedig harmadfokú, polinomosztást nem kell végeznünk. A nevező ráadásul rögtön szorzatként van megadva, így a szorzattá alakítással sem kell foglalkoznunk, hanem egyből résztörtekre tudunk bontani. Most azonban nem több elsőfokú tényező szorzata szerepel, hanem egy tényező van magasabb hatványon. Ilyenkor annyi résztörtet kell felírnunk, amennyi a nevezőben levő tényező kitevője, s a résztörtek nevezőiben ez a tényező szerepel az első, második stb. hatványon.

4 x 2 + 18 x + 15 ( x + 2 ) 3 = A x + 2 + B ( x + 2 ) 2 + C ( x + 2 ) 3

Hozzunk közös nevezőre. Figyelem, a közös nevező nem mindig a nevezők szorzata! Most sem kell szorozni a nevezőket, mert ( x + 2 ) 3 osztható a másik két nevezővel, így a közös nevező ( x + 2 ) 3 lesz. Általánosan is kimondható, hogy amikor résztörtekre bontunk, akkor a közös nevező az eredeti tört nevezője.

4 x 2 + 18 x + 15 ( x + 2 ) 3 = A ( x + 2 ) 2 + B ( x + 2 ) + C ( x + 2 ) 3 = A ( x 2 + 4 x + 4 ) + B ( x + 2 ) + C ( x + 2 ) 3 =

= A x 2 + ( 4 A + B ) x + ( 4 A + 2 B + C ) ( x + 2 ) 3

Az azonos fokszámú tagok együtthatóinak egyenlőségéből írjuk fel az egyenletrendszert.

4 = A (a négyzetes tagok egyenlőségéből)

18 = 4 A + B (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

15 = 4 A + 2 B + C (a konstansok egyenlőségéből)

Az első egyenletből A = 4 behelyettesíthető a második és harmadik egyenletbe. Ekkor a második egyenletből kapjuk, hogy B = 2 . Ezt is behelyettesítjük a harmadik egyenletbe, s így C = 5 adódik.

Ezután helyettesítsük be a kapott eredményt az integrandusba, majd hajtsuk is végre a részek integrálását.

4 x 2 + 18 x + 15 ( x + 2 ) 3 d x = ( 4 x + 2 + 2 ( x + 2 ) 2 5 ( x + 2 ) 3 ) d x = ( 4 x + 2 + 2 . ( x + 2 ) 2 5 . ( x + 2 ) 3 ) d x =

= 4 ln | x + 2 | + 2 ( x + 2 ) 1 1 5 ( x + 2 ) 2 2 + c = 4 ln | x + 2 | 2 ( x + 2 ) + 5 2 . ( x + 2 ) 2 + c
8. feladat 6 x 2 35 x + 32 x 3 8 x 2 + 16 x d x =

Megoldás: Valódi törttel van dolgunk, polinomosztással nem kell foglalkozni, hanem a nevezőt kell szorzattá alakítani. Nyilvánvaló, hogy x kiemelhető.

x 3 8 x 2 + 16 x = x ( x 2 8 x + 16 )

Felismerhető, hogy második tényező teljes négyzet.

x 3 8 x 2 + 16 x = x ( x 4 ) 2

A nevező tehát olyan szorzat, melyben szerepel egy elsőfokú tényező, és egy elsőfokú tényező négyzete. Az egyszerű elsőfokú tényezőhöz egy résztört tartozik, nevezőben az elsőfokú tényező, a számláló pedig konstans. A másikhoz azonban két tört tartozik, mindegyik számlálója konstans, s az egyik nevezőjében az elsőfokú tényező áll, a másikban pedig annak négyzete.

6 x 2 35 x + 32 x ( x 4 ) 2 = A x + B x 4 + C ( x 4 ) 2

A közös nevezőre hozásnál nem kell összeszorozni a nevezőket, elég az eredeti tört nevezőjét írnunk.

6 x 2 35 x + 32 x ( x 4 ) 2 = A ( x 4 ) 2 + B x ( x 4 ) + C x x ( x 4 ) 2 = ( A + B ) x 2 + ( 8 A 4 B + C ) x + 16 A x ( x 4 ) 2

Az egyenletrendszer most a következő:

6 = A + B (a másodfokú tagok egyenlőségéből)

35 = 8 A 4 B + C (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

32 = 16 A (a konstansok egyenlőségéből)

Az utolsó egyenletből A = 2 , melyet az elsőbe helyettesítve kapjuk, hogy B = 4 . Mindkettőt helyettesítsük a középső egyenletbe, így C = 3 adódik.

Írjuk be az integrálba a résztörteket, s hajtsuk végre az integrálást.

6 x 2 35 x + 32 x 3 8 x 2 + 16 x d x = ( 2 x + 4 x 4 3 ( x 4 ) 2 ) d x = ( 2 x + 4 x 4 3 . ( x 4 ) 2 ) d x =

= 2 ln | x | + 4 ln | x 4 | 3 ( x 4 ) 1 1 + c = 2 ln | x | + 4 ln | x 4 | + 3 x 4 + c
9. feladat 5 x 2 + 3 x + 20 x 3 + 4 x d x =

Megoldás: Valódi törtet kell integrálnunk, a nevező szorzattá alakításával kezdünk, x kiemelhető.

x 3 + 4 x = x ( x 2 + 4 )

A második tényezőnek nincs valós gyöke, hiszen x 2 0 , s ha ehhez még 4 -et adunk, akkor nem kaphatunk zérust. Most tehát van olyan másodfokú tényező a nevezőben, mely tovább már nem bontható szorzattá.
Írjuk fel, milyen résztörtekre kell bontanunk az integrandust. Az elsőfokú tényezőhöz olyan tört tartozik, melynek számlálója konstans, a másodfokúhoz pedig olyan, melynek számlálója elsőfokú kifejezés.

5 x 2 + 3 x + 20 x ( x 2 + 4 ) = A x + B x + C x 2 + 4

Hozzunk közös nevezőre.

5 x 2 + 3 x + 20 x ( x 2 + 4 ) = A ( x 2 + 4 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 4 ) = ( A + B ) x 2 + C x + 4 A x ( x 2 + 4 )

Írjuk fel az egyenletrendszert az azonos fokszámú tagok egyenlőségéből.

5 = A + B

3 = C

20 = 4 A

Két ismeretlen értéke rögtön megvan, A = 5 és C = 3 . Az első egyenletbe behelyettesítve megkapjuk a harmadik ismeretlent is, B = 0 .

Térjünk vissza az integrálhoz, s írjuk be a kapott résztörteket.

5 x 2 + 3 x + 20 x 3 + 4 x d x = ( 5 x + 0 . x + 3 x 2 + 4 ) d x = ( 5 x + 3 x 2 + 4 ) d x =

Az első tört integrálása könnyű, hiszen

5 x d x = 5 ln | x | + c .

A második kicsit érdekesebb, de a második integrálási leckében már találkoztunk ilyen feladattal. Emeljünk ki a számlálóból 3 -at, a nevezőből pedig 4 -et az integrál elé. A nevezőben megjelenő x 2 4 -et írjuk inkább ( x 2 ) 2 alakban. Ezután már tudunk majd integrálni.

3 x 2 + 4 d x = 3 4 1 x 2 4 + 1 d x = 3 4 1 ( x 2 ) 2 + 1 d x = 3 4 . arctg x 2 1 2 + c = 3 2 . arctg x 2 + c

A részekből rakjuk össze a végeredményt.

5 x 2 + 3 x + 20 x 3 + 4 x d x = 5 x d x + 3 x 2 + 4 d x = 5 ln | x | + 3 2 . arctg x 2 + c
10. feladat x 2 + 10 x + 26 x 3 + 6 x 2 + 13 x d x =

Megoldás: A nevező magasabb fokú, mint a számláló, polinomosztásra nincs szükség, mert a tört valódi. Alakítsuk szorzattá a nevezőt. Ezt x kiemelésével kezdhetjük.

x 3 + 6 x 2 + 13 x = x ( x 2 + 6 x + 13 )

El kell döntenünk, hogy a második tényező bontható-e tovább. Ehhez vegyük a másodfokú kifejezés diszkriminánsát.

D = 6 2 4 . 1 . 13 = 16

Mivel a diszkrimináns negatív, ez a tényező tovább már nem bontható.

Írjuk fel a résztörteket. Mint az előző feladatban, most is egy elsőfokú és egy másodfokú tényező van a nevezőben, ezért a felbontás a következő:

x 2 + 10 x + 26 x ( x 2 + 6 x + 13 ) = A x + B x + C x 2 + 6 x + 13

Szokás szerint hozzunk közös nevezőre.

x 2 + 10 x + 26 x ( x 2 + 6 x + 13 ) = A ( x 2 + 6 x + 13 ) + ( B x + C ) x x ( x 2 + 6 x + 13 ) = ( A + B ) x 2 + ( 6 A + C ) x + 13 A x ( x 2 + 6 x + 13 )

Írjuk fel az egyenletrendszert.

1 = A + B

10 = 6 A + C

26 = 13 A

Az utolsó egyenletből A = 2 , amit behelyettesítünk a másik két egyenletbe, melyekből B = 1 , valamint C = 2 adódik.

A kapott eredményt írjuk be az integrandusba.

x 2 + 10 x + 26 x 3 + 6 x 2 + 13 x d x = ( 2 x + 1 . x 2 x 2 + 6 x + 13 ) d x = ( 2 x x + 2 x 2 + 6 x + 13 ) d x =

A két résztörtet külön integráljuk. Az első az egyszerűbb.

2 x d x = 2 ln | x | + c

A második törtet bontsuk tovább két részre. Ehhez határozzuk meg a nevező deriváltját.

( x 2 + 6 x + 13 ) = 2 x + 6

A számlálót írjuk fel úgy összegként, hogy az első rész a nevező deriváltjának számszorosa legyen. Mivel a deriváltban 2 x szerepel, a nevezőben pedig csak x , ezért a számlálóban a nevező deriváltjának fele, azaz x + 3 alakítható ki. Miután a számláló így össszeg lett, a törtet írjuk inkább két tört összegeként.

x + 2 x 2 + 6 x + 13 d x = x + 3 1 x 2 + 6 x + 13 d x = x + 3 x 2 + 6 x + 13 d x 1 x 2 + 6 x + 13 d x =

Az első részből egy f ( x ) f ( x ) típusú integrál alakítható. Ehhez szorozzuk 2 -vel, az integrál elé pedig írjunk 1 2 -et. A második részben a nevezőt alakítsuk teljes négyzetté.

1 2 2 ( x + 3 ) x 2 + 6 x + 13 d x 1 ( x + 3 ) 2 + 4 d x =

Az első rész már integrálható, a második nevezőjéből emeljünk ki 4 -et, s a nevezőben kialakuló ( x + 3 ) 2 4 -et írjuk inkább ( x + 3 2 ) 2 alakban.

1 2 2 x + 6 x 2 + 6 x + 13 d x 1 4 1 ( x + 3 ) 2 4 + 1 d x = 1 2 ( x 2 + 6 x + 13 ) x 2 + 6 x + 13 d x 1 4 1 ( x + 3 2 ) 2 + 1 d x =

= 1 2 ln | x 2 + 6 x + 13 | + 1 4 . arctg x + 3 2 1 2 + c = 1 2 ln | x 2 + 6 x + 13 | + 1 2 arctg x + 3 2 + c

Utolsó lépésként a részekből állítsuk össze az eredeti feladat eredményét.

x 2 + 10 x + 26 x 3 + 6 x 2 + 13 x d x = 2 ln | x | + 1 2 ln | x 2 + 6 x + 13 | + 1 2 . arctg x + 3 2 + c
11. feladat 21 x 3 38 x 2 + 28 x 15 9 x 4 6 x 3 + 5 x 2 d x =

Megoldás: Valódi törtünk van, tehát rögtön szorzattá alakíthatjuk a nevezőt. Első lépésként kiemelhetünk x 2 -et.

9 x 4 6 x 3 + 5 x 2 = x 2 ( 9 x 2 6 x + 5 )

Vegyük a második tényező diszkriminánsát, hogy eldöntsük, bontható-e még tovább.

D = ( 6 ) 2 4 . 9 . 5 = 144

Negatív értéket kaptunk, tehát a második tényező már nem bontható tovább.

Írjuk fel a résztörteket. Az x 2 miatt két résztört lesz, melyek számlálója konstans, s az egyik nevezője x , a másiké pedig x 2 . A tovább nem bontható másodfokú tényezőhöz pedig olyan tört tartozik, amelynek számlálója elsőfokú.

21 x 3 38 x 2 + 28 x 15 x 2 ( 9 x 2 6 x + 5 ) = A x + B x 2 + C x + D 9 x 2 6 x + 5

A résztörteket hozzuk közös nevezőre.

21 x 3 38 x 2 + 28 x 15 x 2 ( 9 x 2 6 x + 5 ) = A x ( 9 x 2 6 x + 5 ) + B ( 9 x 2 6 x + 5 ) + ( C x + D ) x 2 x 2 ( 9 x 2 6 x + 5 ) =

= ( 9 A + C ) x 3 + ( 6 A + 9 B + D ) x 2 + ( 5 A 6 B ) x + 5 B x 2 ( 9 x 2 6 x + 5 )

Írjuk fel az egyenletrendszert. Most van harmadfokú tag is, tehát négy egyenletünk lesz.

21 = 9 A + C

38 = 6 A + 9 B + D

28 = 5 A 6 B

15 = 5 B

Az utolsó egyenletből B = 3 , amit behelyettesítünk a második és harmadik egyenletbe. A harmadikból kapjuk, A = 2 . Ezt helyettesítjük az első és második egyenletbe, melyekből C = 3 és D = 1 adódik.

Térjünk vissza az integrálhoz, írjuk be a kapott résztörteket.

21 x 3 38 x 2 + 28 x 15 9 x 4 6 x 3 + 5 x 2 d x = ( 2 x 3 x 2 + 3 x + 1 9 x 2 6 x + 5 ) d x =

A résztörtek integrálását külön-külön végezzük el. Az első kettő egyszerű.

2 x d x = 2 ln | x | + c

3 x 2 d x = 3 x 2 d x = 3 . x 1 1 + c = 3 x + c

A harmadik törtet ugyanúgy két részre kell bontanunk, mint az előző feladatban. Állítsuk elő a nevező deriváltját.

( 9 x 2 6 x + 5 ) = 18 x 6

Mivel a számlálóban csak 3 x van, ezért a nevező deriváltjának 1 6 -át lehet kialakítani, ami 3 x 1 .

3 x + 1 9 x 2 6 x + 5 d x = 3 x 1 + 2 9 x 2 6 x + 5 d x = 3 x 1 9 x 2 6 x + 5 d x + 2 9 x 2 6 x + 5 d x =

Az első részt szorozzuk meg 6 -tal, s az integrál elé írjunk 1 6 -ot. A második rész nevezőjét alakítsuk teljes négyzetté.

1 6 6 ( 3 x 1 ) 9 x 2 6 x + 5 d x + 2 ( 3 x 1 ) 2 + 4 d x = 1 6 18 x 6 9 x 2 6 x + 5 d x + 2 4 1 ( 3 x 1 ) 2 4 + 1 d x =

A második rész számlálójából emeljük ki a 2 -t, a nevezőből pedig 4 -et, s a nevezőben megjelenő ( 3 x 1 ) 2 4 helyett, írjunk inkább ( 3 x 1 2 ) 2 -t.

1 6 18 x 6 9 x 2 6 x + 5 d x + 2 4 1 ( 3 x 1 ) 2 4 + 1 d x = 1 6 ( 9 x 2 6 x + 5 ) 9 x 2 6 x + 5 d x + 1 2 1 ( 3 x 1 2 ) 2 + 1 d x =

= 1 6 ln | 9 x 2 6 x + 5 | + 1 2 . arctg 3 x 1 2 3 2 + c = 1 6 ln | 9 x 2 6 x + 5 | + 1 3 . arctg 3 x 1 2 + c

Végül a részeredményekből írjuk fel az eredeti feladat végeredményét.

21 x 3 38 x 2 + 28 x 15 9 x 4 6 x 3 + 5 x 2 d x = 2 ln | x | + 3 x + 1 6 ln | 9 x 2 6 x + 5 | + 1 3 . arctg 3 x 1 2 + c

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: A 6 x 2 + 13 x 9 3 x 1 nemvalódi törtet felbontjuk egy polinom és egy valódi tört összegére. Mit kapunk?
 
2 x + 3 6 3 x 1
 
2 x + 4 5 3 x 1
 
2 x + 5 4 3 x 1
 
2 x + 6 3 3 x 1
 

2. kérdés: A 4 x 4 12 x 3 + 9 x 2 + 2 x 5 x 2 3 x + 2 nemvalódi törtet egy polinom és egy valódi tört összegére bontjuk. Mit kapunk?
 
4 x 2 + 2 + 5 x 7 x 2 3 x + 2
 
4 x 2 + 1 + 5 x 7 x 2 3 x + 2
 
4 x 2 + 2 + x 3 x 2 3 x + 2
 
4 x 2 + 1 + x 3 x 2 3 x + 2
 

3. kérdés: Az 5 x 3 x 3 2 x 2 törtet résztörtekre akarjuk bontani. Mi a helyes felbontás?
 
A x + B x 2 + C x 2
 
A x + B x + C x 2 2 x
 
A x 2 + B x 2
 
A x 3 B 2 x 2
 

4. kérdés: Az 1 x 3 + 4 x törtet bontjuk résztörtekre. Mi a helyes felbontás?
 
A x 3 + B 4 x
 
A x + B x 2 + C x + 2
 
A x + B x 2 + 4
 
A x + B x + C x 2 + 4
 

5. kérdés: 5 x 2 3 x 4 d x =
 
5 ln | x 2 3 x 4 | + c
 
10 3 . arctg 3 x 1 2 + c
 
5 ln | x 2 | 5 ln | x + 2 | + c
 
ln | x 4 | ln | x + 1 | + c
 

6. kérdés: 3 x + 1 ( x + 2 ) 2 d x =
 
3 ln | x + 2 | + 5 x + 2 + c
 
3 ln | x + 2 | 5 x + 2 + c
 
3 ln | x + 2 | 7 x + 2 + c
 
3 ln | x + 2 | + 7 x + 2 + c
 

7. kérdés: 3 x 2 + 4 x + 4 x 3 + 2 x 2 + x d x =
 
4 ln | x | + ln | x + 1 | 3 x + 1 + c
 
4 ln | x | ln | x + 1 | + 3 x + 1 + c
 
4 ln | x | ln | x + 1 | 3 x + 1 + c
 
4 ln | x | + ln | x + 1 | + 3 x + 1 + c
 

8. kérdés:   2 x 2 7 x + 18 x 3 + 9 x d x =
 
2 ln | x | + 7 ln | x + 3 | 7 ln | x 3 | + c
 
2 ln | x | 7 ln | x 2 + 9 | + c
 
2 ln | x | 7 9 arctg x 3 + c
 
2 ln | x | 7 3 arctg x 3 + c
 

9. kérdés: x + 1 x 2 6 x + 10 d x =
 
1 2 ln | x 2 6 x + 10 | + 4 arctg ( x 3 ) + c
 
1 2 ln | x 2 6 x + 10 | + 7 arctg ( x 3 ) + c
 
1 2 ln | x 2 6 x + 10 | 4 arctg ( x 3 ) + c
 
1 2 ln | x 2 6 x + 10 | 7 arctg ( x 3 ) + c
 

10. kérdés: x 3 + 2 x 2 + x + 1 x 4 + x 2 d x =
 
ln | x | 1 x + ln | x 2 + 1 | + c
 
ln | x | + 1 x + ln | x 2 + 1 | + c
 
ln | x | 1 x + arctg x + c
 
ln | x | + 1 x + arctg x + c