 |  | Tanulási cél: A résztörtekre bontás módszerének megismerése, s a különböző típusú résztörtek integrálásának elsajátítása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.8.
Elméleti összefoglaló:
Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük.
Egy racionális törtfüggvényt valódi törtnek mondunk, ha a számláló alacsonyabb fokú mint a nevező, és nemvalódinak, ha a számláló fokszáma legalább annyi, mint a nevezőé.
Minden nemvalódi racionális törtfüggvény egyértelműen felbontható egy polinom és egy valódi racionális tört összegére. A felbontás polinomosztással történik. Az eredeti tört egyenlő az osztás hányadosaként kapott polinom és azon tört összegével, melyben az osztás maradékát az eredeti tört nevezőjével osztjuk.
Minden valós együtthatós polinom egyértelműen felbontható legfeljebb másodfokú, valós együtthatós, tovább már nem bontható polinomok szorzatára. A felbontást kiemeléssel, vagy a gyöktényezős alak felírásával valósítjuk meg. Ennek lényege, hogy ha egy polinomnak gyöke az
a
szám, akkor a polinom osztható
( x − a )
-val.
Ha ismerjük egy racionális törtfüggvény nevezőjének szorzattá bontott alakját, akkor a tört úgynevezett résztörtek összegére bontható a következők szerint:
Ha a nevezőben szerepel az
( x − a ) n
a szorzat tényezői között, akkor hozzá az
A 1 x − a , A 2 ( x − a ) 2 . . . A n ( x − a ) n
résztörtek tartoznak, melyekben
A 1 , A 2 . . . A n
később meghatározandó valós számok.
Ha a nevezőben szerepel az
( x 2 + a x + b )
tovább nem bontható, másodfokú tényező, akkor hozzá az
A x + B x 2 + a x + b
résztört tartozik, melyben
A , B
később meghatározandó valós számok.
Miután felírtuk a résztörtek paraméteres alakját, a számlálókban levő valós számokat úgy határozzuk meg, hogy közös nevezőre hozzuk őket. A közös nevező mindig az eredeti tört nevezője, ebből következően a közös nevezőre hozás utáni számláló és az eredeti tört számlálója egyenlő. Mivel mindkét számláló polinom, csak úgy lehetnek egyenlőek, ha a megfelelő fokszámú tagok együtthatói külön-külön is egyenlőek. Így egy egyenletrendszert kapunk, melynek megoldásával kapjuk a résztörtekben szereplő számokat.
Miután egy racionális törtfüggvényt felbontottunk résztörtekre, azokat külön-külön integráljuk.
A kapott résztörtek integrálási szempontból három típusba sorolhatók.
( 1. ) A x − a , ( 2. ) A ( x − a ) n , ( 3. ) A x + B x 2 + a x + b
(A harmadik típusú törtek nevezője nem bontható szorzattá.)
Az első két típus integrálása a következő:
( 1. ) ∫ A x − a d x = A ∫ 1 x − a d x = A . ln | x − a | + c
( 2. ) ∫ A ( x − a ) n d x = A ∫ ( x − a ) − n d x = A . ( x − a ) − n + 1 − n + 1 + c = A ( 1 − n ) . ( x − a ) n − 1 + c
A harmadik típusú törtek integrálását majd konkrét feladatokban mutatjuk be.
Kidolgozott feladatok:
|
|
|