 |  | Tanulási cél: A többfajta határérték fogalom megismerése, a határértékszámítás legfontosabb tételeinek elsajátítása, valamint a
∞ ∞
és
0 0
típusú határozatlan határértékek legfontosabb kiszámítási módszereinek megismerése és begyakorlása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 5.2. és 5.3.
Elméleti összefoglaló: A
lim x → α f ( x ) = β
határétékben a
β
lehet valós szám, a
∞
és a
− ∞
, ez tehát három lehetőség. Az
α
lehet valós szám,
∞
,
− ∞
, és egyoldali határérték esetén
a +
vagy
a −
. Ez öt újabb lehetőség. Mivel bármelyik bármelyikkel társulhat, összesen 15 fajta határérték fogalom (definíció van) van.
Mindegyik definíció intuitív tartalma az, hogy ha az
x
független változóval elég közel vagyunk
α
-hoz, akkor az
f ( x )
függvényérték elég közel lesz
β
-hoz.
Erre a sokféle határértékre persze számos tétel vonatkozik, ezek közül itt csak a leggyakrabban alkalmazásra kerülőket említjük meg.
Legyen
a , A , B
valós szám, és tegyük fel, hogy
lim x → a f ( x ) = A
, és
lim x → a g ( x ) = B
. Ekkor
lim x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = A + B
,
lim x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = A − B
,
lim x → a f ( x ) g ( x ) = A B
,
lim x → a k . f ( x ) = k . lim x → a f ( x )
, ahol
k
tetszőleges konstans,
lim x → a f ( x ) g ( x ) = A B
, ha
B ≠ 0
.
Ha
lim x → a f ( x ) = ∞
vagy
lim x → a f ( x ) = − ∞
, akkor
lim x → a 1 f ( x ) = 0
.
A
lim x → α f ( x )
kétoldali hatérérték akkor és csak akkor létezik, ha létezik külön a
lim x → α − f ( x )
bal oldali, és külön a
lim x → α + f ( x )
jobb oldali határérték, és egyenlők egymással. Ekkor a kétoldali limesz is ezzel a közös értékkel egyenlő.
|
|
|