//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.2. Számsorozat konvergenciája, küszöbindex

Tanulási cél: A határérték fogalmának megismerése, a küszöbindex kiszámolási módjának elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 3.

Elméleti összefoglaló:
Azt mondjuk, az { a n } sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármely ε > 0 értékhez megadható olyan N ( ε ) küszöbszám (függ ε értékétől), hogy ha n > N ( ε ) , akkor | a n A | < ε . Jelölésben: lim n a n = A

Ha egy sorozat nem konvergens, akkor divergensnek mondjuk.

Az { a n } sorozat tart + -hez, ha minden K szám esetén megadható olyan N ( K ) küszöbszám (függ K értékétől), hogy ha n > N ( K ) , akkor a n > K . Jelölésben: lim n a n =

Az { a n } sorozat tart -hez, ha minden k szám esetén megadható olyan N ( k ) küszöbszám (függ k értékétől), hogy ha n > N ( k ) , akkor a n < k . Jelölésben: lim n a n =

Ha egy sorozat -hez vagy -hez tart, akkor tágabb értelemben konvergensnek mondjuk, és használjuk a sorozat határértéke , kifejezéseket is.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Döntsük el, konvergens-e az a n = 1 2 n sorozat, adjuk meg a határértékét, és határozzuk meg az ε = 10 6 -hoz tartozó küszöbszámot!

Megoldás:
Fogalmazzuk meg a definíciót más szavakkal, közelebb hozva a köznapi nyelvhez.  
Akkor mondjuk, hogy egy sorozat határértéke A , ha bármilyen kicsi eltérést ( ε ) engedünk is meg A -tól, a sorozat kellően nagy indexű elemei még ennél is közelebb vannak A -hoz.
Azt kell tehát vizsgálnunk; van-e olyan szám, amelyhez egyre jobban közelítenek a sorozat elemei, ha az index nő.
Írjuk fel a sorozat néhány elemét, s próbáljunk ebből sejtést felállítani. ( Mivel most a nagy indexű elemek is fontosak, ne csak az első egymás utáni elemeket.)

a 1 = 1 2 1 = 1 2 , a 5 = 1 2 5 = 1 32 , a 10 = 1 2 10 = 1 1024 , a 20 = 1 2 20 = 1 1048576

A sorozat elemei olyan törtek, melyeknek számlálója mindig 1, a nevező pedig egyre nő. Így a tört értéke egyre közelebb kerül a 0-hoz. Sejthető tehát, hogy a sorozat konvergens, és határértéke 0. Bizonyítsuk ezt be! Azt kell igazolnunk, hogy az | 1 2 n 0 | < ε egyenlőtlenség minden ε > 0 esetén fennáll, ha n elég nagy. Ehhez oldjuk meg az egyenlőtlenséget! (Most n az ismeretlen, az ε pedig paraméter.)
Mivel az abszolút értéken belüli kifejezés minden természetes szám esetén pozitív, az abszolút érték elhagyható. Kapjuk

1 2 n < ε

Szorozzunk ezután 2 n -nel és osszunk ε -nal.

1 ε < 2 n

Vegyük mindkét oldal 2 alapú logaritmusát! (Mivel ε > 0 1 ε > 0 , létezik a logaritmus.)

log 2 1 ε < n

Eredményünk azt mutatja, hogy a sorozatnak azon elemei, melyeknek indexe log 2 1 ε -nál nagyobb, ε -nál kevesebbel térnek el 0-tól. Az egyenlőtlenség tehát minden ε > 0 esetén rendelkezik olyan megoldással, hogy n egy küszöbértéknél legyen nagyobb. Valóban konvergens tehát a sorozat, s a határértéke 0.

Jelölésben: lim n 1 2 n = 0

Ha például a feladatban megadott ε = 10 6 értéket vesszük, akkor az n > log 2 1 10 6 = log 2 10 6 19.93 egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Más szavakkal, a sorozat 20. és annál nagyobb indexű elemei már 1 milliomodnál is közelebb vannak 0-hoz. Így az ε = 10 6 -hoz tartozó küszöbszám például N ( ε ) = 19 is lehet a definíció szerint. (Persze minden ennél nagyobb szám is lehetne küszöbszám, azonban lehetőség szerint igyekszünk minél kisebb küszöbszámot adni.)

Megjegyzés:
Az egyenlőtlenség megoldásából látszik, hogy más ε érték esetén más lesz a küszöbszám. Ha például ε -t még kisebbre választjuk, akkor 1 ε nagyobb lesz, így log 2 1 ε is nagyobb lesz, tehát a küszöbszám is nagyobb lesz. A fontos azonban az, hogy minden ε > 0 esetén van küszöbszám.

2. feladat Vizsgáljuk meg, konvergens-e az a n = 5 n + 7 2 n 1 sorozat, s ha igen, mi a határértéke, valamint adjunk meg ε = 10 3 -hoz küszöbszámot!

Megoldás:

Írjuk fel a sorozat első, tizedik, századik és ezredik elemét.

a 1 = 5 . 1 + 7 2 . 1 1 = 12 1 = 12

a 10 = 5 . 10 + 7 2 . 10 1 = 57 19 = 3

a 100 = 5 . 100 + 7 2 . 100 1 = 507 199 2.55

a 1000 = 5 . 1000 + 7 2 . 1000 1 = 5007 1999 2.505

Látható, hogy a sorozat egyre negyobb indexű elemei esetén a számlálóban levő +7 és a nevezőben levő -1 egyre kevésbé jelentős az 5 n és a 2 n mellett. Azaz ha n nagy, akkor 5 n + 7 2 n 1 5 n 2 n = 5 2 = 2.5 . A sorozat tehát valószínűleg konvergens, és határértéke 2.5 .
(Természetesen nem arról van szó, hogy a sorozat elemei közül bármelyik is 2.5 lenne, csak egyre jobban megközelítik a 2.5-et.)
Bizonyítsuk be a sejtést! Induljunk el most is a definícióban levő egyenlőtlenségből | a n A | < ε ,
csak helyettesítsük be a konkrét sorozatot megadó képletet. Eszerint

| 5 n + 7 2 n 1 5 2 | < ε .

Most nem egyértelmű az abszolút értéken belül álló kifejezés előjele, s mivel ez az abszolút érték elhagyása szempontjából fontos, ezért először csak az abszolút értéken belül alakítunk, amíg az előjelet egyértelműen el tudjuk dönteni. Hozzunk közös nevezőre.

| 2 ( 5 n + 7 ) 5 ( 2 n 1 ) 2 ( 2 n 1 ) | = | 10 n + 14 10 n + 5 4 n 2 | = | 19 4 n 2 | < ε

Az utolsó törtről már látszik, hogy pozitív, hiszen a számláló egy pozitív szám, s a nevező is pozitív minden természetes szám esetén. Így az abszolút érték egyszerűen elhagyható.

19 4 n 2 < ε

Osszunk ε -nal és szorozzunk 4 n 2 -vel.

19 ε < 4 n 2

Adjunk mindkét oldalhoz 2-t, majd osszunk 4-gyel.

n > 19 ε + 2 4

Az eredményből látható, hogy ha n egy ε -tól függő küszöbértéknél nagyobb, akkor teljesül az egyenlőtlenség, s ez minden ε > 0 értékre teljesül. Valóban konvergens tehát a sorozat, és határértéke 2.5 .

Jelölésben: lim n 5 n + 7 2 n 1 = 5 2 = 2.5

Helyettesítsük be az eredmenybe a feladatban megadott ε értéket.

n > 19 10 3 + 2 4 = 19002 4 = 4750.5

Eszerint a sorozat 4751. és annál nagyobb indexű elemei, már közelebb vannak 2.5-hez mint 1 ezred, azaz a küszöbszám már 4750 is lehet.

3.feladat Vizsgáljuk  meg konvergens-e az a n = 3 n + 1 9 2 n sorozat! Ha igen, adjuk meg a határértékét, valamint ε = 10 2 -hoz számoljunk küszöbindexet!

Megoldás:
A feladat hasonló mint az előző, így haladjunk ugyanazon az úton.

a 1 = 3 . 1 + 1 9 2 . 1 = 4 7 , a 10 = 3 . 10 + 1 9 2 . 10 = 31 11

a 100 = 3 . 100 + 1 9 2 . 100 = 301 191 , a 1000 = 3 . 1000 + 1 9 2 . 1000 = 3001 1991

Ezen elemek alapján a sorozat konvergensnek tűnik, és határértéke valószínűleg -1.5 lesz.
Helyettesítsünk a definícióban szereplő egyenlőtlenségbe.

| 3 n + 1 9 2 n ( 3 2 ) | < ε

Hozzunk közös nevezőre.

| 2 ( 3 n + 1 ) + 3 ( 9 2 n ) 2 ( 9 2 n ) | = | 6 n + 2 + 27 6 n 18 4 n | = | 29 18 4 n | < ε

Az abszolút értéken belül olyan tört áll, melynek számlálója pozitív, nevezője pedig, ha n 4 , akkor pozitív, de ha n 5 , akkor negatív. Mivel a határérték szempontjából nem a sorozat elején levő elemek az érdekesek, ezért mondhatjuk azt, hogy az első négy elemtől eltekintünk, s így egyértelművé válik a tört előjele. (A sorozat elejéről véges sok elemtől nyugodtan eltekinthetünk, mert egy küszöb feletti indexű elemeknek kell a határértékhez közel lenniük.) Mivel az abszolút értéken belül így negatív kifejezés áll, az abszolút érték a -1-szerese lesz. (Nem az egyenlőtlenséget szorozzuk meg -1-gyel, hanem az abszolút értéket hagyjuk el, csak a törtet kell szoroznunk -1-gyel.)

29 18 4 n < ε

Szorozzunk 18 4 n -nel! Vigyázat, ez a kifejezés negatív, az egyenlőtlenség megfordul!

29 > ( 18 4 n ) ε

Osszunk ε -nal.

29 ε > 18 4 n

Vonjunk ki 18-at.

29 ε 18 > 4 n

Osszunk -4-gyel. Az egyenlőtlenség újra fordul.

n > 29 ε 18 4 = 29 ε + 18 4

Megint olyan erdeményt kaptunk, hogy n legyen egy ε -tól függő értéknél nagyobb. A sorozat tehát konvergens, és határértéke -1.5 .

Jelölésben: lim n 3 n + 1 9 2 n = 3 2 = 1.5

Ha vesszük a megadott ε = 10 2 értéket, akkor  

n > 29 10 2 + 18 4 = 2918 4 = 729.5

tehát a küszöbszám már 729 is lehet.
(A feladat megoldása lényegében azonos volt az előzőével, azonban több ponton is jobban figyelni kellett. Egyrészt az abszolút érték helyes elhagyásánál, másrészt pedig a negatív kifejezésekkel való szorzásnál és osztásnál.)
4. feladat Konvergens-e az a n = 2 n sorozat?

Megoldás:

a 1 = 2 1 = 2 , a 5 = 2 5 = 32 , a 10 = 2 10 = 1024 , a 20 = 2 20 = 1048576

Most azt látjuk, a sorozat elemei egyre nagyobbak, és nincs olyan véges érték ami felé közelítenének. Sejtésünk az lehet, hogy a sorozat a végtelenbe tart, azaz nem konvergens, csak tágabb értelemben. A bizonyításhoz azt kell belátnunk, hogy bármilyen nagy számot adunk is meg, van olyan küszöb, amelynél nagyobb indexű elemek még ennél is nagyobbak. Most a definícióban szereplő a n > K egyenlőtlenségből kell elindulnunk, de be kell helyettesítenünk a konkrét sorozatot megadó képletet.

2 n > K

Mint az előző feladatokban, most is n az ismeretlen, s most K lesz paraméter. Vegyük mindkét oldal 2 alapú logaritmusát. ( K -ról feltehetjük, hogy pozitív, hiszen bármilyen nagy is lehet, tehát létezik a logaritmus.)

n > log 2 K

Eredményünk olyan, mint amit vártunk, n legyen egy K -tól függő küszöbértéknél nagyobb. Ha K értékét növeljük, természetesen n -nek is nagyobbnak kell lennie ahhoz, hogy az egyenlőtlenség teljesüljön. Vegyünk most egy konkrét K értéket, pl. K = 10 8 . Behelyettesítve kapjuk

n > log 2 10 8 26.58 ,

azaz a sorozat 27. és annál nagyobb indexű elemei még 10 8 -nál is nagyobbak lesznek.
Tehát a sorozat sejtésünknek megfelelően divergens, csak tágabb értelemben konvergál a végtelenhez.

Jelölésben: lim n 2 n =
5. feladat Konvergens-e az a n = n sorozat?

Megoldás:

a 1 = 1 = 1 , a 9 = 9 = 3 , a 100 = 100 = 10 , a 1 000 000 = 1 000 000 = 1000

Most azt sejtjük, a sorozat mínusz végtelenbe tart, tehát nem konvergens. Az induló egyenlőtlenség ez esetben az a n < k lesz, amelyben k bármilyen kicsi szám is lehet. (Vigyázat, a kicsi nem valamilyen 0-hoz közeli pozitív értéket jelent, hanem nagy abszolút értékű negatív számokat, pl. 1000 -et!) Behelyettesítve a konkrét sorozatot

n < k

Szorozzunk -1-gyel. (Az egyenlőtlenség fordul.)

n > k

Emeljünk négyzetre. ( k -ról feltehetjük, hogy negatív, hiszen bármilyen kicsi is lehet, ekkor azonban k pozitív, ezért a négyzetre emelés nem változtatja meg az egyenlőtlenség irányát.)

n > ( k ) 2 = k 2

Az eredmény megint az elvárásunknak megfelelő, az egyenlőtlenség akkor teljesül, ha n egy k -tól függő küszöbnél nagyobb. Ha pl. k = 1000 , akkor

n > ( 1000 ) 2 = 1 000 000

azaz a sorozat 1 000 000 -nál nagyobb indexű elemei, még 1000 -nél is kisebbek. A sorozat tehát valóban divergens, a mínusz végtelen csak tágabb értelemben a határértéke.

Jelölésben: lim n ( n ) =
6. feladat Konvergens-e az a n = ( 1 ) n sorozat?

Megoldás:

a 1 = ( 1 ) 1 = 1 , a 2 = ( 1 ) 2 = 1 , a 3 = ( 1 ) 3 = 1 , a 4 = ( 1 ) 4 = 1

Mint látható, a sorozat páratlan indexű elemei -1-gyel, a páros indexűek pedig 1-gyel egyenlőek. Az index növelésével nem közelednek semmilyen véges értékhez a sorazat elemei, s nem növekszenek, vagy csökkennek minden határon túl. Ez a sorozat tehát divergens, és még tágabb értelemben sem konvergens.

Ellenőrző kérdések:

1.kérdés: Mi a határérétke az a n = 5 n sorozatnak?
 
0
 
1
 
a sorozat csak tágabb értelemben konvergens, és végtelenhez tart
 
a sorozat tágabb értelemben sem konvergens
 

2. kérdés: Mi ahatárértéke az a n = ( 2 ) n sorozatnak?
 
0
 
1
 
a sorozat csak tágabb értelemben konvergens, és tart a végtelenhez
 
a sorozat csak tágabb értelemben konvergens, és tart mínusz végtelenhez
 
a sorozat tágabb értelemben sem konvergens
 

3. kérdés: Mi a határértéke az a n = 3 n 2 1 4 n sorozatnak?
 
0.75
 
3
 
-2
 
-0.75
 
2
 

4. kérdés: Az a n = 2 n 1 5 n + 3 sorozat határértéke 2 5 . ε = 10 3 -hoz melyik a legkisebb küszöbszám?
 
436
 
437
 
438
 
439
 

5. kérdés: Az a n = 3 n sorozat végtelenhez tart. Melyik a sorozat legkisebb indexű eleme, mely nagyobb, mint 1 000 000?
 
12
 
13
 
14
 
15
 
16
 

6. kérdés: Az a n = n 2 sorozat minusz végtelenhez tart. Melyik a sorozat legkisebb indexű eleme, mely kisebb, mint -50 000?
 
222
 
223
 
224
 
225