//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.8. Deriválási szabályok (2), magasbbrendű deriváltak

Tanulási cél: Az összetett függvény deriválási szabályának begyakorlása. Elsajátítani a logaritmikus deriválás módszerét, s megismerkedni a magasabbrendű deriváltakkal.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.2.-6.4.

Elméleti összefoglaló:

A legfontosabb deriválási szabály az összetett függvény láncszabálynak is nevezett deriválási szabálya.

Két tagú kompozíció esetén ez a következő:

( g ( f ( x ) ) ) ' = g ( f ( x ) ) . f ( x ) .

Három tagú kompozíció esetén pedig:

( h ( g ( f ( x ) ) ) ) ' = h ( g ( f ( x ) ) ) . g ( f ( x ) ) . f ( x ) .

Többtagú kompozíciókra hasonló formula igaz.

A képletek sikeres alkalmazásához az összetett függvényt fel kell tudni bontani alkalmas függvények kompozíciójára.
A h ( x ) = f ( x ) g ( x ) típusú hatvány függvények alapja és kitevője is változó. Az ilyen függvények deriváltja a logaritmikus deriválással kapható meg. Ennek képlete

h ( x ) = f ( x ) g ( x ) [ g ( x ) ln ( f ( x ) ) + g ( x ) f ( x ) f ( x ) ] ,

de ehelyett a formula helyett talán célszerűbb magát azt - a kidolgozott feladatokban megmutatott - eljárást használni, amivel a fenti képlet is megkapható.

Az f ( x ) függvény derivált függvényének a derivált függvényét f ( x ) második deriváltjának hívjuk és f ( x ) -el jelöljük. A harmad- és magasabb rendű deriváltak fogalma hasonló. Ha a deriválás rendje háromnál nagyobb, nem vesszővel jelöljük, hanem a deriválás rendjét zárójelben az f kitevőjébe írjuk. Pl. a tizedik deriváltat f ( 10 ) ( x ) jelöli. A magasabb rendű deriváltak a későbbiekben fontos szerepet fognak kapni.
Kidolgozott feladatok:

1.feladat Határozzuk meg a h ( x ) = ( x 3 + 3 x ) 6 függvény derivált függvényét.

Megoldás: Egy polinommal van dolgunk, de a magas fokszám miatt a hatványozás elvégzése fáradságos lenne. Az öszzetett fügvény deriválási szabályát fogjuk alkalmazni.

Ennek érdekében felírjuk a függvényünket

h ( x ) = g ( f ( x ) )

alakban.

Most nyilván az

f ( x ) = x 3 + 3 x

és a

g ( x ) = x 6

választással célszerű élni. Ekkor valóban

h ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x 3 + 3 x ) = ( x 3 + 3 x ) 6 .

Mivel

f ( x ) = 3 x 2 + 3 ,

és

g ( x ) = 6 x 5 ,

az összetett függvény deriválási szabálya alapján

h ( x ) = g ( f ( x ) ) . f ( x ) = g ( x 3 + 3 x ) . ( 3 x 2 + 3 ) = 6 ( x 3 + 3 x ) 5 ( 3 x 2 + 3 ) .
2. feladat Deriváljuk a h ( x ) = 1 ( x 2 x + 1 ) 2 függvényt.

Megoldás: Alkalmazhatnánk a tört deriválási szabályát is, de most máshogy járunk el.

Felírjuk a függvényt

h ( x ) = ( x 2 x + 1 ) 2

alakban.

Most az eredeti függvény

h ( x ) = g ( f ( x ) )

alakban írható fel az f ( x ) = x 2 x + 1 és a g ( x ) = x 2 választással.

Miután

f ( x ) = 2 x 1 ,

és

g ( x ) = 2 x 3 = 2 x 3 ,

kapjuk, hogy

h ( x ) = g ( f ( x ) ) . f ( x ) = g ( x 2 x + 1 ) . ( 2 x 1 ) = 2 ( x 2 x + 1 ) 3 ( 2 x 1 ) = 4 x 2 ( x 2 x + 1 ) 3 .

Általában is igaz, hogy

( 1 f ( x ) ) ' = f ( x ) f 2 ( x ) .
3. feladat Határozzuk meg a h ( x ) = x + 2 x függvény derivált függvényét.

Megoldás: Függvényünk a h ( x ) = g ( f ( x ) ) alakba írható az

f ( x ) = x + 2 x

és a g ( x ) = x választással.

Mivel

f ( x ) = 1 + 2 1 2 x = 1 + 1 x

g ( x ) = 1 2 x ,

ezért

h ( x ) = g ( f ( x ) ) . f ( x ) = g ( x + 2 x ) . ( 1 + 1 x ) = 1 2 x + 2 x ( 1 + 1 x ) .
4. feladat Mivel egyenlő a h ( x ) = e x 2 + x függvény derivált függvénye?

Megoldás: Most a h ( x ) = e x 2 + x függvény az f ( x ) = x 2 + x , g ( x ) = e x választással

h ( x ) = g ( f ( x ) )

alakba írható. Mivel f ( x ) = 2 x + 1 2 x és g ( x ) = e x , kapjuk, hogy

h ( x ) = g ( f ( x ) ) . f ( x ) = g ( x 2 + x ) ( 2 x + 1 2 x ) = e x 2 + x ( 2 x + 1 2 x ) .

Gyakran előfordul, érdemes általában is megjegyezni, hogy

( e f ( x ) ) ' = e f ( x ) . f ( x ) .
5. feladat ( ln ( 3 x 1 x ) ) ' = ?

Megoldás: Jelöljük a deriválandó függvényt h -val. Ekkor az f ( x ) = 3 x 1 x és a g ( x ) = ln x választással

h ( x ) = g ( f ( x ) ) .

Most

f ( x ) = 3 ( 1 x ) + 3 x ( 1 x ) 2 = 3 ( 1 x ) 2 ,

g ( x ) = 1 x .

Ezek segítségével

h ( x ) = g ( f ( x ) ) . f ( x ) = g ( 3 x 1 x ) 3 ( 1 x ) 2 = 1 3 x 1 x ( 3 ( 1 x ) 2 ) = 1 x 3 x 3 ( 1 x ) 2 = 1 x ( 1 x ) .

Máshogy is megoldhattuk volna a feladatot. Ha felhasználjuk a logaritmus azonosságait, azt írhatjuk, hogy

h ( x ) = ln ( 3 x 1 x ) = ln ( 3 x ) ln ( 1 x ) = ln 3 + ln x ln ( 1 x ) ,

amiből

h ( x ) = 1 x ( 1 1 x ) = 1 x + 1 1 x = 1 x ( 1 x ) .
6. feladat Deriváljuk a h ( x ) = arcsin ( 1 x ) függvényt.

Megoldás: Ha bevezetjük az

f ( x ) = 1 x ,

g ( x ) = arcsin ( x )

függvényeket, akkor

h ( x ) = g ( f ( x ) ) .

Miután

f ( x ) = 1 x 2 ,


g ( x ) = 1 1 x 2 ,

azt kapjuk, hogy

h ( x ) = g ( f ( x ) ) . f ( x ) = g ( 1 x ) . ( 1 x 2 ) = 1 1 ( 1 x ) 2 ( 1 x 2 ) .
7. feladat Deriváljuk a h ( x ) = arctg ( 2 x 1 x + 2 ) függvényt.

Megoldás: Ha a részletes kiírással már jól begyakorolta az olvasó az összetett függvény  deriválási szabályának alkalmazását némileg kevesebb képlet leírásával is megkapható az eredmény.

Így okoskodhatunk:

A külső függvény most az arctg ( x ) , ennek deriváltja 1 1 + x 2 .

Ezt kell venni a "belső függvény helyen", azaz a 2 x 1 x + 2 helyen, ami 1 1 + ( 2 x 1 x + 2 ) 2 .

Végül ezt kell még szorozni a belső függvény deriváltjával, ami

( 2 x 1 x + 2 ) ' = 2 ( x + 2 ) ( 2 x 1 ) ( x + 2 ) 2 = 5 ( x + 2 ) 2 .

Ezeket felhasználva tehát

h ( x ) = 1 1 + ( 2 x 1 x + 2 ) 2 . 5 ( x + 2 ) 2 .

(Javasoljuk, hogy az olvasó próbálja egyszerűbb alakra hozni az eredményt.)
8. feladat Deriváljuk a h ( x ) = 3 x + 2 2 x 2 x függvényt.

Megoldás: Mellőzve most a részletes kiírást, és a magyarázatokat azt kapjuk, hogy

h ( x ) = 1 2 3 x + 2 2 x 2 x . 3 ( 2 x 2 x ) ( 3 x + 2 ) ( 4 x 1 ) ( 2 x 2 x ) 2 .

Tanácsoljuk, hogy az olvasó addig gyakorolja a deriválási szábályokat, amíg ilyen módon is biztonsággal meg nem tudja oldani a feladatokat.
9. feladat Deriváljuk az u ( x ) = sin ( 2 3 x + 2 ) függvényt.

Megoldás: Az u függvény egy többszörösen összetett függvény.

Bevezetve az f ( x ) = 2 3 x + 2 , a g ( x ) = sin x és a h ( x ) = x függvényeket

u ( x ) = h ( g ( f ( x ) ) ) .

Ezek deriváltjai rendre

f ( x ) = 2 1 2 3 x + 2 3 = 3 3 x + 2 ,

g ( x ) = cos x ,

h ( x ) = 1 2 x .

Ezek felhasználásával

u ( x ) = h ( g ( f ( x ) ) ) . g ( f ( x ) ) . f ( x ) = 1 2 sin ( 2 3 x + 2 ) . cos ( 2 3 x + 2 ) 3 3 x + 2 .
10. feladat Deriváljuk az u ( x ) = tg ( x cos x ) függvényt.

Megoldás:

u ( x ) = 1 cos 2 ( x cos x ) ( cos x + x 1 2 cos x ( sin x ) ) .

A negatív előjelet tartalmazó szorzótényezőket zárójelbe kell tenni, mint itt a sin x -et.
11. feladat Deriváljuk a h ( x ) = x sin x függvényt.

Megoldás: Olyan hatványfüggvénnyel van dolgunk, ahol az alap és a kitevő is változik, tehát a logaritmikus deriválást kell alkalmaznunk.

A hatványozás definíciója alapján a fenti függvény mindenütt, ahol értelmezve van, pozitív. Vehetjük tehát mindkét oldal természetes alapú logaritmusát:

ln ( h ( x ) ) = ln ( x sin x ) .

A logaritmusra vonatkozó log a ( b β ) = β log a b azonosság alapján ebből

ln ( h ( x ) ) = sin x . ln x

adódik.

Azonos függvények deriváltja is azonos. Ezért vehetjük mindkét oldal deriváltját. A bal oldalon összetett függvény áll, a jobb oldalon egy szorzat. Vagyis azt kapjuk, hogy

( ln ( h ( x ) ) ) ' = ( sin x . ln x ) ' ,

1 h ( x ) h ( x ) = cos x . ln x + sin x . 1 x .

Ebből átszorzással

h ( x ) = h ( x ) ( cos x . ln x + sin x x ) = x sin x . ( cos x . ln x + sin x x ) .

Ezt az eredményt kapnánk persze a fenti képlet direkt alkalmazásával is.
12. feladat Deriváljuk a h ( x ) = ( x ) e x függvényt.

Megoldás: Az előző feladatban alkalmazott módszert használjuk. Ekkor

ln ( h ( x ) ) = ln ( ( x ) e x ) = e x ln ( x ) ,

( ln ( h ( x ) ) ) ' = ( e x ln x ) ' ,

1 h ( x ) h ( x ) = e x ln x + e x 1 x 1 2 x ,

amiből rendezéssel

h ( x ) = ( x ) e x [ e x ln x + e x 2 x ] .
13. feladat Deriváljuk a h ( x ) = ( x + 1 ) x 1 függvényt.

Megoldás: Használjuk most a fenti közvetlen képletet az f ( x ) = x + 1 , g ( x ) = x 1 választással.
Ekkor

h ( x ) = f ( x ) g ( x ) [ g ( x ) ln ( f ( x ) ) + g ( x ) f ( x ) f ( x ) ] = ( x + 1 ) x 1 [ ln ( x + 1 ) + x 1 x + 1 ] ,

hiszen f ( x ) = g ( x ) = 1 .
14. feladat Deriváljuk az f ( x ) = a x 2 + b x + c függvényt.

Megoldás: Egy függvény megadásakor az argumentum mondja meg, hogy a definiáló képletben mit tekintünk független változónak. Most az x -et. Minden más konstansnak, úgynevezett paraméternek tekintendő. A feladatunkban tehát a , b és c paraméterek, amelyek deriváláskor úgy viselkednek, mint a konstansok.

Ezért

f ( x ) = 2 a x + b .
15. feladat Deriváljuk az f ( x ) = a x + x a + a b függvényt.

Megoldás: Az a és a b most is paraméter, és a b konstans, ezért

f ( x ) = a x ln a + a x a 1 .
16. feladat Készítsük el az f ( t ) = t 2 + 2 x 2 + t x függvény derivált függvényét.

Megoldás: Az f függvény argumentuma most t , tehát a feladatban ez a változó. Minden más, most például az x , konstansnak számít.

Persze attól, hogy t -vel jelöljük a változót a deriválási szabályok még ugyanazok maradnak ( x helyett t -vel).

Ezek alapján tehát

f ( t ) = 2 t + x .
17. feladat Készítsük el az f ( x ) = x 2 + t 3 x 3 + t 2 és a g ( t ) = x 2 + t 3 x 3 + t 2 függvények derivált függvényeit.

Megoldás:

f ( x ) = 2 x ( x 3 + t 2 ) ( x 2 + t 3 ) 3 x 2 ( x 3 + t 2 ) 2 = x ( x 3 2 t 2 + 3 x t 3 ) ( x 3 + t 2 ) 2 ,

g ( t ) = 3 t 2 ( x 3 + t 2 ) ( x 2 + t 3 ) 2 t ( x 3 + t 2 ) 2 = t ( 3 t x 3 + t 3 2 x 2 ) ( x 3 + t 2 ) 2 .
18. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x e x függvény második és harmadik deriváltját.

Megoldás: Használva a szorzatfüggvény deriválási szabályát a deriváltak rendre:

f ( x ) = e x + x e x ,

f " ( x ) = ( f ( x ) ) ' = e x + e x + x e x = 2 e x + x e x ,

f ' ' ' ( x ) = ( f " ( x ) ) ' = 2 e x + e x + x e x = 3 e x + x e x .

Ebből meg lehet sejteni, hogy - mondjuk a századik derivált - f ( 100 ) ( x ) = 100 e x + x e x , amit teljes indukcióval be is lehet bizonyítani. Ha az olvasó ismeri ezt a módszert próbálkozzon meg vele.  
19. feladat Készítsük el az f ( x ) = 1 x függvény harmadik deriváltját.

Megoldás: Érdemes átírni függvényünket az f ( x ) = x 1 alakba, és hatvány függvényként, nem tört függvényként, deriválni őt. Ekkor

f ( x ) = ( 1 ) x 2 ,

f ( x ) = ( 1 ) ( 2 ) x 3 = 1 . 2 x 3 ,

f ' ' ' ( x ) = 1 . 2 ( 3 ) . x 4 = ( 1 . 2 . 3 ) x 4 .

Az olvasó próbálja felismerni a kibontakozó szabályszerűséget, és írja fel a tizedik deriváltat.
20. feladat Igazoljuk, hogy ( f ( x ) g ( x ) ) " = f " ( x ) g ( x ) + 2 f ' ( x ) g ' ( x ) + f ( x ) g " ( x ) .

Megoldás: Tudjuk, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján

( f ( x ) g ( x ) ) ' = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) .

Deriváljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát. Ekkor

( f ( x ) g ( x ) ) " = ( f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) ) ' = f " ( x ) g ( x ) + f ' ( x ) g ' ( x ) + f ' ( x ) g ' ( x ) + f ( x ) g " ( x ) =

= f " ( x ) g ( x ) + 2 f ' ( x ) g ' ( x ) + f ( x ) g " ( x ) .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés : ( ( 1 2 x 2 ) 5 ) ' =
 
20 ( 1 2 x 2 ) 4 .
 
20 x ( 1 2 x 2 ) 4 .
 
5 ( 4 x ) 4 .
 
5 ( 1 4 x ) 4
 

2. kérdés : ( 1 ( x 3 + 1 ) 3 ) ' =
 
9 x 2 ( x 3 + 1 ) 4 .
 
18 x ( x 3 + 1 ) 4 .
 
9 x 2 ( x 3 + 1 ) 4 .
 
3 x 2 ( x 3 + 1 ) 6 .
 

3. kérdés : ( x 2 x ) ' =
 
1 2 x 2 2 x 2 x .
 
1 2 1 2 x 2 .
 
1 4 x 3 4 2 1 2 x .
 
1 2 x 1 x
 

4. kérdés : ( 3 x x 3 ) ' =
 
( x x 3 ) 3 x x 3 1 .
 
3 1 3 x 3 ln 3 .
 
3 x ln 3 3 x 2 3 x 3 ln 3 .
 
3 x x 3 ( 1 3 x 2 ) ln 3 .
 

5. kérdés : ( lg ( x + 1 x 1 ) ) ' =
 
2 ( x 2 1 ) ln 10 .
 
x 1 x + 1 ln 10 .
 
2 x 2 1 ln 10 .
 
( 1 x + 1 1 x 1 ) ln 10 .
 

6. kérdés : ( arccos ( e x x ) ) ' =
 
arcsin ( e x x ) e x .
 
e x + x e x x 2 1 ( e x x ) 2 .
 
x e x e x x 2 1 ( e x x ) 2 .
 
arcsin ( e x x ) ( e x x e x x 2 ) .
 

7. kérdés : ( ln ( cos x 1 ) ) ' =
 
1 2 tg x 1 1 x 1 .
 
sin x 1 2 x 2 cos x 1 .
 
1 x cos x 1 2 x 1 .
 
1 sin ( 1 2 x 1 ) .
 

8. kérdés : ( e e e x ) ' =
 
e e e x e e x e x .
 
e x e x e x .
 
e e e x 1 e x 1 .
 
( e 3 ) x ln e 3 .
 

9. kérdés: Az f ( x ) = ( x 1 ) x függvény derivált függvénye
 
( x 1 ) x [ ln ( x 1 ) + 1 1 x ] .
 
( x 1 ) x ( 1 x 1 + x . ln ( x 1 ) ) .
 
( x 1 ) x [ ln ( x 1 ) + x x 1 ] .
 
( x 1 ) x ( 1 x 1 ) .
 

10. kérdés: Az f ( x ) = ( e x ) e x függvény derivált függvénye
 
( e x ) e x ( e x x + e x ) .
 
( e x ) e x [ e x ln ( e x ) + 1 ] .
 
( e x ) e x [ e x x + e 2 x ] .
 
( e x ) e x [ ln ( x e x ) + e x ] .
 

11. kérdés: Az f ( x ) = ( sin x ) cos x függvény derivált függvénye
 
cos x . sin x cos x 1 .
 
cos x sin x .
 
sin x cos x [ sin x . ln ( sin x ) cos 2 x sin x ] .
 
sin x cos x [ sin x . ln ( sin x ) + cos 2 x sin x ] .
 

12. kérdés: Az f ( x ) = x 4 függvény negyedik deriváltja
 
24.
 
24x.
 
24 x .
 
0.
 

13. kérdés: A sin x ötödik deriváltja
 
cos x .
 
cos x .
 
sin x .
 
sin x .
 

14. kérdés: Az f ( x ) = 1 1 x függény harmadik deriváltja
 
6 ( 1 x ) 4 .
 
6 ( 1 x ) 4 .
 
5 ( x 1 ) 4 .
 
6 1 x 4 .
 

15. kérdés: Az f ( x ) = x e x függvény harmadik deriváltja
 
3 e x e x .
 
3 e x x e x .
 
1 e x .
 
3 x 1 e 2 x .