//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 1. Komplex számok

1.5. Szorzás, hatványozás és osztás trigonometrikus alakban

Tanulási cél: A szorzás, a hatványozás és az osztás begyakorlása trigonometrikus alakban adott komplex számok esetén.

Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.3. és 2.4.

Elméleti összefoglaló:

Ha z 1 = r 1 ( cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) , és z 2 = r 2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) , akkor

z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin ( ϕ 1 + ϕ 2 ) ) ,

azaz a szorzat trigonometrikus alakját a tényezők trigonometrikus alakjából a következőképp kapjuk: a szorzat hossza a tényezők hosszának szorzata, a szorzat szöge a tényezők szögének összege;

z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin ( ϕ 1 ϕ 2 ) ) ,

azaz a hányados trigonometrikus alakját a tényezők trigonometrikus alakjából a következőképp kapjuk: a hányados hossza a számláló hossza osztva a nevező hosszával, a hányados szöge a számláló szöge mínusz a nevező szöge.

A szorzásra vonatkozó képletből következik, hogy a z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) komplex szám n -edik hatványa, ahol n pozitív egész szám,

z n = r n ( cos n ϕ + i sin n ϕ ) .

Mindhárom képlettel kapcsolatban fontos, hogy egy komplex szám szöge 0 o és 360 o közé eső forgásszög. Ezért a fenti képletekben a szögekre vonatkozó műveletek modulo 360 o értendők, azaz csak a 360 o -al vett osztási maradék számít.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Legyen z 1 = 2 ( cos 120 o + i sin 120 o ) , z 2 = 3 ( cos 80 o + i sin 80 o ) . Végezzük el a z 1 z 2 szorzást és a z 1 z 2 osztást trigonometrikus alakban.

Megoldás:

Alkalmazva a fenti képleteket azt kapjuk, hogy

z 1 z 2 = 6 ( cos ( 120 o + 80 o ) + i sin ( 120 o + 80 o ) ) = 6 ( cos 200 o + i sin 200 o ) ,

és

z 1 z 2 = 2 3 ( cos ( 120 o 80 o ) + i sin ( 120 o 80 o ) ) = 2 3 ( cos 40 o + i sin 40 o ) .
2. feladat Legyen z 1 = 4 ( cos 280 o + i sin 280 o ) , z 2 = 8 ( cos 310 o + i sin 310 o ) . Végezzük el a z 1 z 2 szorzást és a z 1 z 2 osztást trigonometrikus alakban.

Megoldás: Alkalmazuk a szorzásra vonatkozó képletet. Ekkor

z 1 z 2 = 32 ( cos ( 280 o + 310 o ) + i sin ( 280 o + 310 o ) ) = 32 ( cos 590 o + i sin 590 o ) ,

ez azonban még nem a végeredmény, hiszen az argumentum nem 0 o és 360 o közötti szög.

Mivel

590 o = 1 . 360 o + 230 o ,

a 360 o -al vett osztási maradék 230 o , ez lesz a szorzat szöge.

Vagyis

z 1 z 2 = 32 ( cos 230 o + i sin 230 o ) .

A második kérdés esetén alkalmazva az osztásra vonatkozó képletet, azt kapjuk, hogy

z 1 z 2 = 4 8 ( cos ( 280 o 310 o ) + i sin ( 280 o 310 o ) ) = 1 2 ( cos ( 30 o ) + i sin ( 30 o ) ) ,

ez azonban még nem a végeredmény, mert az argumentum negatív.

Az argumentum forgásszög, és az óramutató járásával ellentétes forgásirány a pozitív forgásirány. A negatív forgásirány azt jelenti, hogy az óramutató járásával megeggyező irányba mérjük fel a negatív szög abszolút értékét.

Az így kapott forgásszöget úgy is megkaphatjuk, hogy a pozitív forgásirányban mérünk fel

360 o + a negatív szög

nagyságú forgásszöget, ahogyan az a következő ábrán is látható.



A mi esetünkben tehát 360 o 30 o = 330 o lesz az argumentum. Vagyis

z 1 z 2 = 1 2 ( cos 330 o + i sin 330 o ) .
3. feladat Számítsuk ki ( 2 i ) 32 trigonometrikus alakját.

Megoldás: Felírjuk 2 i trigonometrikus alakját. A hossz r = 2 2 + ( 1 ) 2 = 5 , a segédszögre tg δ = | 1 | | 2 | = 1 2 , amiből δ = 26.57 o . Mivel 2 i a negyedik negyedbe esik ϕ = 360 o δ = 360 o 26.57 o = 333.43 o . Tehát a trigonometrikus alak:

2 i = 5 ( cos 333.43 o + i sin 333.43 o ) .

Ezt felhasználva

( 2 i ) 32 = ( 5 ) 32 ( cos ( 32 . 333.43 o ) + i sin ( 32 . 333.43 o ) ) = 5 16 ( cos 10669,76 o + i sin 10669.76 o ) .

Mivel

10669.76 o = 29 . 360 o + 229.76 o ,

a végeredmény

( 2 i ) 32 = 5 16 ( cos 229.76 o + i sin 229.76 o ) .
4. feladat Legyen z = 2 ( cos 225 o + i sin 225 o ) . Számítsuk ki 3 z , 2 z és i z trigonometrikus alakját.

Megoldás: Úgy járunk el, hogy trigonometrikus alakban végezzük el a szorzásokat, így egyből megkapjuk trigonometrikus alakban a végeredményeket. Először felírjuk a 3 , a 2 és az i trigonometrikus alakját.

3 = 3 ( cos 0 o + i sin 0 o ) ,

2 = 2 ( cos 180 o + i sin 180 o ) ,

i = cos 90 o + i sin 90 o .

Ezeket felhasználva

3 z = 6 ( cos 225 o + i sin 225 o ) ,

2 z = 4 ( cos 405 o + i sin 405 o ) = 4 ( cos 45 o + i sin 45 o ) ,

i z = 2 ( cos 315 o + i sin 315 o ) .

Érdemes megjegyezni, hogy ezek szerint pozitív valós számmal úgy szorzunk trigonometrikus alakban lévő számot, hogy csak a hosszt szorozzuk.

Az i -vel való szorzás kilencven fokkal elforgatja a komplex számot ábrázoló vektort az óramutató járásával ellentétes irányban.

Tanácsoljuk, hogy a negatív valós számmal való szorzás hatását fogalmazza meg az olvasó magának.
5. feladat Tekintsük a z 1 = 3 i , a z 2 = 2 ( cos 45 o + i sin 45 o ) és a z 3 = 3 ( cos 300 o + i sin 300 o ) komplex számokat. Mi lesz z 1 z 2 z 3 trigonometrikus alakja?

Megoldás: Először is felírjuk z 1 trigonometrikus alakját.

z 1 = 3 ( cos 270 o + i sin 270 o ) .

Szorzáskor a hosszak összeszorzódnak, az argumentumok összeadódnak. Ez több tényező esetén is igaz. Így

z 1 z 2 z 3 = 6 3 ( cos 615 o + i sin 615 o ) = 6 3 ( cos 255 o + i sin 255 o ) .
6. feladat Legyen z 1 = 4 ( cos 60 o + i sin 60 o ) és z 2 = 2 ( cos 110 o + i sin 110 o ) . Számítsuk ki

z 1 3 z 2 2

trigonometrikus alakját.

Megoldás: Mivel

z 1 3 = 64 ( cos 180 o + i sin 180 o ) ,

és

z 2 2 = 2 ( cos 220 o + i sin 220 o ) ,

ezért

z 1 3 z 2 2 = 32 ( cos ( 40 o ) + i sin ( 40 o ) ) = 32 ( cos 320 o + i sin 320 o ) .
7. feladat Számítsuk ki 1 2 2 i trigonometrikus alakját.

Megoldás: Felhasználva, hogy

1 = cos 180 o + i sin 180 o

és

2 2 i = 8 ( cos 225 o + i sin 225 o ) ,

1 2 2 i = 1 8 ( cos ( 45 o ) + i sin ( 45 o ) ) = 1 8 ( cos 315 o + i sin 315 o ) .
8. feladat Tekintsük a következő komplex számokat: z 1 = 4 ( cos 45 o + i sin 45 o ) , z 2 = 4 ( cos 135 o + i sin 135 o ) , z 3 = 2 ( cos 110 o + i sin 110 o ) . Számítsuk ki z 1 + z 2 z 3 trigonometrikus alakját.

Megoldás: A számlálóban az összeadást csak algebrai alakban tudjuk elvégezni, így meg kell határoznunk z 1 és z 2 algebrai alakját.

z 1 = 4 ( 2 2 + 2 2 i ) = 2 2 + 2 2 i ,

z 2 = 4 ( 2 2 + 2 2 i ) = 2 2 + 2 2 i .

Ebből

z 1 + z 2 = 4 2 i = 4 2 ( cos 90 o + i sin 90 o ) .

Egyből felírtuk a számláló trigonometrikus alakját, mert a hátralévő osztást célszerű ebben az alakban elvégezni. Végül is

z 1 + z 2 z 3 = 2 2 ( cos ( 20 o ) + i sin ( 20 o ) ) = 2 2 ( cos 340 o + i sin 340 o ) .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Írjuk fel 4 ( cos 12345 o + i sin 12345 o ) trigonometrikus alakját. Ez
 
4 ( cos 105 o + i sin 105 o ) .
 
4 ( cos 145 o + i sin 145 o ) .
 
4 ( cos 265 o + i sin 265 o ) .
 
4 ( cos 285 o + i sin 285 o ) .
 

2. kérdés: 2 ( cos ( 54321 o ) + i sin ( 54321 o ) ) trigonometrikus alakjában a szög
 
321 o .
 
39 o .
 
219 o .
 
129 o .
 

3. kérdés: ( 1 i ) 50 =
 
33554432 i .
 
33554432 .
 
33554432 i .
 
33554432 .
 

4. kérdés: ( 1 i ) 10 ( 1 + i ) 20 =
 
32768 i .
 
32768 i .
 
32768 .
 
32768
 

5. kérdés: Ha z = 3 ( cos 75 o + i sin 75 o ) , akkor 1 z trigonometrikus alakja
 
1 3 ( cos 285 o + i sin 285 o ) .
 
3 ( cos 285 o + i sin 285 o ) .
 
1 3 ( cos 75 o + i sin 75 o ) .
 
3 ( cos 345 o + i sin 345 o ) .
 

6. kérdés: Ha z = 2 ( cos 10 o + i sin 10 o ) , akkor z 3 trigonometrikus alakja
 
1 2 ( cos 330 o + i sin 330 o ) .
 
1 8 ( cos 30 o + i sin 30 o ) .
 
1 8 ( cos 330 o + i sin 330 o ) .
 
8 ( cos 330 o + i sin 330 o ) .
 

7. kérdés: Legyen z 1 = 2 ( cos 111 o + i sin 111 o ) és z 2 = 2 ( cos 11 o + i sin 11 o ) . Ekkor z 1 3 z 2 6 trigonometrikus alakja
 
16 ( cos 129 o + i sin 129 o ) .
 
64 ( cos 321 o + i sin 321 o ) .
 
64 ( cos 309 o + i sin 309 o ) .
 
64 ( cos 39 o + i sin 39 o ) .
 

8. kérdés: Legyen z 1 = 3 ( cos 70 o + i sin 70 o ) , z 2 = 2 ( cos 60 o + i sin 60 o ) . Ekkor ( z 1 ( i z 2 2 ) ) 3 trigonometrikus alakja
 
1728 ( cos 120 o + i sin 120 o ) .
 
1728 ( cos 240 o + i sin 240 o ) .
 
20736 ( cos 150 o + i sin 150 o ) .
 
1728 ( cos 300 o + i sin 300 o ) .