 |  | Tanulási cél: A majoráns és minoráns kritérium megismerése, és alkalmazása feladatokban.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.2.
Elméleti összefoglaló:
Azt mondjuk, hogy a
∑ k = 1 ∞ b k
sor a
∑ k = 1 ∞ a k
sornak majoráns sora, ha
| a k | ≤ b k
teljesül minden
k
index esetén.
Majoráns kritérium:
Ha a
∑ k = 1 ∞ a k
sorhoz található konvergens
∑ k = 1 ∞ b k
majoráns sor, akkor az eredeti
∑ k = 1 ∞ a k
sor is konvergens. (Konyhanyelven azt mondhatjuk, ha a nagyobb
b k
számok összege nem éri el a végtelent, akkor a kisebb
| a k |
számok összege sem lehet végtelen, s így a sor abszolút konvergens.)
Azt mondjuk, hogy a
∑ k = 1 ∞ b k
sor a
∑ k = 1 ∞ a k
sornak minoráns sora, ha
a k ≥ b k ≥ 0
teljesül minden
k
index esetén.
Minoráns kritérium:
Ha a
∑ k = 1 ∞ a k
sorhoz található divergens
∑ k = 1 ∞ b k
minoráns sor, akkor az eredeti
∑ k = 1 ∞ a k
sor is divergens. (Konyhanyelven úgy fogalmazhatunk, ha a kisebb
b k
számok összege végtelen, akkor a náluk nagyobb
a k
számok összege is végtelen, s így a sor divergens.)
Ha ezen két kritérium valamelyikét szeretnénk alkalmazni, akkor először sejtést kell felállítanunk, hogy a sor konvergens, vagy divergens. Ha azt sejtük, a sor konvergens, akkor majoráns kritériumot kell alkalmaznunk, és majoráns sort kell találnunk. Ha azt sejtjük, a sor divergens, akkor minoráns kritériumot kell alkalmaznunk, azaz minoráns sort kell találnunk. A megfelelő majoráns illetve minoráns sor keresése során általában a sor tagjait megadó képletet módosítjuk úgy, hogy a tagok növekedjenek illetve csökkenjenek. Gyakori módosítások, amikor pozitív számlálójú és nevezőjű tört számlálóját növelve a tört nő, iletve a számlálót csökkentve a tört csökken. Ha a nevezőt növeljük akkor a tört csökken, ha pedig csökkentjük, de továbbra is pozitív marad, akkor pedig nő. A módosítást addig folytatjuk, míg olyan kifejezéshez jutunk, melynek összegzésével egy ismert konvergens vagy divergens sort kapunk.
Majorálásra leggyakrabban a
∑ k = 1 ∞ 1 k 2
, valamint a
∑ k = 1 ∞ q k , | q | < 1
konvergens sorokat, illetve ezek számszorosait használjuk.
Minorálásra leggyakrabban a
∑ k = 1 ∞ 1 k
, és
∑ k = 1 ∞ q k , | q | ≥ 1
divergens sorokat, illetve ezek számszorosait használjuk.
|
|
|