 |  | Tanulási cél: A határozott integrál fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.5. és 8.6.
Elméleti összefoglaló:
Tekintsük az
[ a , b ]
-n értelmezett
f ( x )
függvényt, és bontsuk fel az
[ a , b ]
-t
n
részintervallumra. Az
f ( x )
függvényt az
[ a , b ]
-n Riemann-integrálhatónak mondjuk, ha létezik a
lim n → ∞ max Δ x i → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i ) . Δ x i
határérték, ahol
Δ x i
jelenti az
[ a , b ] i
-edik részintervallumának hosszát,
f ( ξ i )
pedig az
i
-edik részintervallum tettszőleges pontjához tartozó függvényértéket. A
lim n → ∞ max Δ x i → 0
azt jelenti, úgy vesszük az összeg határértékét, hogy
[ a , b ]
-t egyre több részintervallumra bontjuk oly módon, hogy a leghosszabb részintervallum hossza is közeledik
0
-hoz. Ha létezik ez a határérték, akkor ezt az
f ( x )
függvény
[ a , b ]
-n vett határozott integráljának nevezzük, és
∫ a b f ( x ) d x
-szel jelöljük. Mivel a határozott integrál egy határérték, ezért ez szám. Értéke az
f ( x )
függvény grafikonja és az
x
-tengely közti előjeles terület nagyságával egyenlő. Ha egy terület az
x
-tengely felett van, akkor pozitív, ha alatta, akkor negatív.
Ha az
f ( x )
függvény folytonos az
[ a , b ]
-n, akkor integrálható az
[ a , b ]
-n.
A határozott integrál néhány tuljdonsága:
1. A határok felcserélésére az integrál előjelet vált, azaz
∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x
.
2. Ha
f ( x )
integrálható
[ a , b ]
-n és
c
az
[ a , b ]
belső pontja, akkor
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x
,
azaz részintervallumokon vett integrálok összege megadja a teljes intervallumra vonatkozó integrált. A tétel akkor is igaz, ha
c
az
[ a , b ]
-n kívül helyezkedik el, és
f ( x )
integrálható az
[ a , c ]
és
[ c , b ]
intervallumokon.
3. A határozott integrál és a konstanssal szorzás sorrendje felcserélhető, azaz
∫ a b k . f ( x ) d x = k . ∫ a b f ( x ) d x
.
4. Függvények összegének határozott integrálja azonos a határozott integrálok összegével.
∫ a b ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x
A Newton-Leibniz formula:
∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a )
,
ahol
F ( x )
az
f ( x )
egy tetszőleges primitív függvénye, s
[ F ( x ) ] a b
azt jelenti, hogy
F ( x ) b
helyen vett helyettesítési értékéből ki kell vonni az a helyen vett helyettesítési értékét. A számolás szempontjából ez a tétel a legfontosabb, hiszen ez mondja ki, hogy a határozott integrálás két lépésből áll. Elsőként keresünk egy primitív függvényt, ami tulajdonképpen határozatlan integrálást jelent. Ezután behelyettesítjük a primitív függvénybe az integrálási határokat, és vesszük a helyettesítési értékek különbségét.
|
|
|