 |  | Tanulási cél: Az improprius integrálok fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.7.
Elméleti összefoglaló:
1. Ha az integrálási intervallum nem korlátos:
Ha az
f ( x )
értelmezett az
[ a , ∞ )
intervallumon, és integrálható minden
b > a
esetben az
[ a , b ]
intervallumon, valamint létezik a
lim b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x
határérték, akkor ezt a határértéket az
f ( x )
függvény
[ a , ∞ )
intervallumra vett improprius integráljának nevezzük.
Jelölésben:
∫ a ∞ f ( x ) d x = lim b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x
Szemléletesen az
f ( x )
függvény grafikonja és az
x
-tengely közötti előjeles területet adja meg az
[ a , ∞ )
intervallumon.
Bár olyan síkidom előjeles területéről van szó, mely az egyik irányban nem véges, ha létezik a határérték, akkor létezik az előjeles terület is.
Hasonlóképpen járunk el, ha
( − ∞ , b ]
intervallumon kell integrálnunk.
Ekkor:
∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x
.
Ha pedig
( − ∞ , ∞ )
az integrálási intervallum, akkor:
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim a → − ∞ b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x
.
2. Ha a függvény az integrálási intervallumon nem korlátos:
Legyen az
f ( x )
függvény értelmezett az
( a , b ]
intervallumon és az
x = a
hely jobboldali környezetében nem korlátos. Ha a függvény integrálható minden
[ a + ε , b ]
intervallumon és létezik a
lim ε → 0 ∫ a + ε b f ( x ) d x
határérték, akkor ezt a határértéket az
f ( x )
függvény
( a , b ]
intervallumon vett improprius integráljának nevezzük.
( ε > 0 )
Jelölésben:
∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 ∫ a + ε b f ( x ) d x
Szemléletesen most olyan síkidom előjeles területéről van szó, mely az
y
-tengely irányában nem véges.
Hasonlóan járunk el, ha a függvény az
x = b
hely baloldali környezetében nem korlátos.
Ekkor:
∫ a b f ( x ) d x = lim δ → 0 ∫ a b − δ f ( x ) d x
.
( δ > 0 )
Ha a függvény nem korlátos sem az
x = a
hely jobboldali, sem az
x = b
hely baloldali környezetében, akkor:
∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 δ → 0 ∫ a + ε b − δ f ( x ) d x
.
Ha a függvény egy, az intervallum belsejében levő
x = c
hely környezetében nem korlátos, akkor:
∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = lim δ → 0 ∫ a c − δ f ( x ) d x + lim ε → 0 ∫ c + ε b f ( x ) d
.
Mint az eddigiekből látható, az improprius integrálokat határérték kiszámításával kapjuk meg. Ha nincsen véges határérték, akkor azt mondjuk, az improprius integrál divergens.
Felhívjuk a figyelmet arra, ha a függvény nem korlátos az integrálási intervallumon, akkor ez magának az integrál felírásának alakjából, nem egyértelmű. Csak ha megvizsgáljuk, milyen értékeket vesz fel a függvény, akkor derül ki, hogy improprius integrállal állunk szemben. Ha határozott integrál kiszámítása a feladat, akkor először mindig a függvény korlátosságát kell vizsgálnunk az integrálási intervallumon. Nagyon sok esetben azért improprius egy integrál, mert valamilyen tört az integrandus, és nevezőnek zérushelye van az integrálási intervallum belsejében vagy határán. Törtek integrálásakor tehát mindig vizsgáljuk meg, hol van a nevezőnek zérushelye.
|
|
|