//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.4. Integrálási módszerek (3)

Tanulási cél: Az f ( x ) f ( x ) típusú függvények integrálási módszerének megismerése, s alkalmzása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.3.

Elméleti összefoglaló:
Ha az integrandus olyan tört, melynek számlálójában a nevező deriváltja áll, akkor az integrálás eredménye a nevező abszolút értékének logaritmusa.
Jelölésben:

f ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + c .

Kidolgozott feladatok:
1. feladat 3 x 2 2 x 3 2 x + 6 d x =

Megoldás: Legyen f ( x ) = x 3 2 x + 6 . Ekkor f ( x ) = 3 x 2 2 . Az integrandus tehát f ( x ) f ( x ) típusú.

3 x 2 2 x 3 2 x + 6 d x = ( x 3 2 x + 6 ) x 3 2 x + 6 d x = ln | x 3 2 x + 6 | + c
2. feladat e x e x + 5 d x =

Megoldás: Most f ( x ) = e x + 5 , s így f ( x ) = e x .

e x e x + 5 d x = ( e x + 5 ) e x + 5 d x = ln | e x + 5 | + c

Mivel e x + 5 > 0 minden x R esetén, ezért az abszolút érték jele elhagyható. (Persze, ha kitesszük, nem hiba.)

Megjegyzés: Ha felismertük, hogy az integrandus f ( x ) f ( x ) típusú, akkor az integrálás már könnyű. A típus felismeréséhez azonban jól kell ismerni az alapderiváltakat, s ha az integrandus tört, célszerű megvizsgálni, nem tartozik-e ebbe a típusba.
3. feladat x x 2 + 4 d x =

Megoldás: Azt kell megvizsgálnunk, hogy a nevezőben lévő, f ( x ) = x 2 + 4 függvény deriváltja áll-e a számlálóban. Mivel f ( x ) = 2 x , ez most nem teljesül, de a számláló ettől csak a konstans 2 szorzóban tér el. Célszerű az integrandust 2 -vel szorozni és osztani, s az osztást az integrál előtt szorzásként írni 1 2 -del.

x x 2 + 4 d x = 2 x 2 ( x 2 + 4 ) d x = 1 2 2 x x 2 + 4 d x = 1 2 ( x 2 + 4 ) x 2 + 4 d x = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + c

Megjegyzés: Hasonlóan mint az előző leckében, most sem baj ha nem pontosan a derivált szerepel, hanem annak valamilyen számszorosa. Ilyenkor beírjuk az integrandusba a hiányzó szorzót, az integrál elé pedig annak reciprokát, s így kapunk f ( x ) f ( x ) típusú integrált.
Az abszolút értéket most is elhagyhattuk, hiszen x 2 + 4 minden x R esetén pozitív.
4. feladat tg x d x =

Megoldás: Mivel ebben a leckében bizonyos típusú törtek integrálásával foglalkozunk, nyilvánvaló, hogy írjunk tg x helyett sin x cos x -et. Legyen f ( x ) = cos x , ekkor f ( x ) = sin x . A számláló most sem pontosan a nevező deriváltja, hanem annak 1 -szerese. Szorozzuk meg az integrandust ezért 1 -gyel, és az integrál elé is írjunk egy negatív előjelet.

tg x d x = sin x cos x d x = sin x cos x d x = ( cos x ) cos x d x = ln | cos x | + c
5. feladat 1 ( 1 + x 2 ) . arctg x d x =

Megoldás: Az integrandus ezen alakjában nem igaz, hogy a számláló a nevező deriváltjának valamilyen számszorosa. De mivel olyan törtet kell integrálnunk, melynek nevezőjében szorzat áll, a függvény átalakítható emeletes törtté. Ez kétféle módon is megtehető, mert 1 a . b = 1 a b = 1 b a , azaz jelen esetben 1 ( 1 + x 2 ) . arctg x = 1 1 + x 2 arctg x = 1 arctg x 1 + x 2 . Mivel az f ( x ) = arctg x függvény deriváltja f ( x ) = 1 1 + x 2 , most az első átalakítás célszerű, hiszen így alakul ki az f ( x ) f ( x ) típusú integrandus.

1 ( 1 + x 2 ) . arctg x d x = 1 1 + x 2 arctg x d x = ( arctg x ) arctg x d x = ln | arctg x | + c
6. feladat 1 x 2 1 . arch x d x =

Megoldás: A számláló most sem számszorosa a nevező deriváltjának, de ismét próbálkozhatunk az emeletes törtté alakítással. Mivel az f ( x ) = arch x függvénx deriváltja f ( x ) = 1 x 2 1 , az a célszerű, ha a nevezőbe arch x kerül.

1 x 2 1 . arch x d x = 1 x 2 1 arch x d x = ( arch x ) arch x d x = ln | arch x | + c

Megjegyzés: Az arch x függvény nem vesz fel negatív értéket, az abszolút érték elhagyható.
7. feladat 1 x . ln x d x =

Megoldás: Mint az előző két feladatban, most is az emeletes törtté alakítással próbálkozhatunk. Mivel az f ( x ) = ln x függvény deriváltja f ( x ) = 1 x , ezért az a jó ha a nevezőbe ln x kerül.

1 x . ln x d x = 1 x ln x d x = ( ln x ) ln x d x = ln | ln x | + c
8. feladat e 5 x e 5 x 3 d x =

Megoldás: Határozzuk meg először a nevezőben álló f ( x ) = e 5 x 3 függvény deriváltját.

f ( x ) = 5 . e 5 x

Ez nem azonos az integrandus számlálójával, de attól csak a 5 konstans szorzóban tér el. Szorozzunk tehát 5 -tel, az integrál elé pedig írjunk 1 5 -öt.

e 5 x e 5 x 3 d x = 1 5 5 . e 5 x e 5 x 3 d x = 1 5 ( e 5 x 3 ) e 5 x 3 d x = 1 5 ln | e 5 x 3 | + c
9. feladat sh 2 x 1 sh 2 x d x =

Megoldás: Induljunk most is nevezőben levő f ( x ) = 1 sh 2 x függvény deriváltjának meghatározásával.

f ( x ) = 2 sh x . ch x = sh 2 x

Ez csak egy előjelben tér el a tört számlálójától, ezért most az integrandust szorozzuk meg 1 -gyel, s írjunk az integrál elé is egy negatív előjelet.

sh 2 x 1 sh 2 x d x = sh 2 x 1 sh 2 x d x = ( 1 sh 2 x ) 1 sh 2 x d x = ln | 1 sh 2 x | + c
10. feladat x . sin x 2 cos x 2 d x =

Megoldás: Deriváljuk itt is a nevezőben álló f ( x ) = cos x 2 függvényt.

f ( x ) = sin x 2 . 2 x = 2 x . sin x 2

Az integrálandó függvény számlálója ettől csak a 2 szorzóban különbözik, tehát szorozzuk meg az integrandust 2 -vel, az integrál elé pedig írjunk 1 2 -et.

x . sin x 2 cos x 2 d x = 1 2 2 x . sin x 2 cos x 2 d x = 1 2 ( cos x 2 ) cos x 2 d x = 1 2 ln | cos x 2 | + c

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: sh x ch x + 9 d x =
 
ln | sh x + 9 | + c
 
ln | sh x + 9 | + c
 
ln | ch x + 9 | + c
 
ln | ch x + 9 | + c
 

2. kérdés: x 2 4 x 3 12 x d x =
 
ln | x 3 12 x | + c
 
1 3 ln | x 3 12 x | + c
 
3 ln | x 3 12 x | + c
 
ln | x 2 4 | + c
 

3. kérdés: 1 sin 2 x . ctg x d x =
 
ln | ctg x | + c
 
ln | ctg x | + c
 
ln | sin 2 x | + c
 
ln | sin 2 x | + c
 

4. kérdés: 1 1 + x 2 . arsh x d x =
 
ln 1 + x 2 + c
 
ln 1 + x 2 + c
 
ln | arsh x | + c
 
ln | arsh x | + c
 

5. kérdés: e 2 x e 2 x + 8 d x =
 
1 2 ln ( e 2 x + 8 ) + c
 
ln ( e 2 x + 8 ) + c
 
2 ln ( e 2 x + 8 ) + c
 
1 e 2 x ln ( e 2 x + 8 ) + c
 

6. kérdés: x 2 . ch x 3 sh x 3 d x =
 
1 3 ln | sh x 3 | + c
 
ln | sh x 3 | + c
 
1 3 ln | ch x 3 | + c
 
ln | ch x 3 | + c