//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 1. Komplex számok

1.3. Osztás a komplex számok körében

Tanulási cél: Az osztás műveletének megismerése. A négy algebrai alapművelet megismerése után az ezekkel való számolás alapos begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.1. és 2.2.

Elméleti összefoglaló:

Az osztás definíciója:

a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c d i ) c 2 + d 2 = a c + b d c 2 + d 2 + b c a d c 2 + d 2 i .

Ez a formula elég nehézkesen alkalmazható, célszerűbb a képlet helyett magát azt az eljárást használni, amivel a képlet is levezetésre került. Erre szoktunk úgy hivatkozni, hogy osztáskor bővítünk a nevező konjugáltjával.

Az osztás disztributív az összeadásra, azaz

z 1 + z 2 z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

A konjugálás és az osztás kapcsolatát fejezi ki az alábbi formula:

( z 1 z 2 ) ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯ .
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Végezzük el a 3 + 12 i 1.5 osztást.

Megoldás: Az osztás definíciója magában foglalja azt az esetet is, amikor valós számmal, mint speciális komplex számmal osztunk. Ilyenkor tehát d = 0 , és a fenti képlet arra egyszerűsödik, hogy

a + b i c = a c + b c i ,

azaz valós számmal úgy osztunk, hogy osztjuk a valós részt és a képzetes részt is.

Ezt felhasználva

3 + 12 i 1.5 = 3 1.5 + 12 1.5 i = 2 + 8 i .
2. feladat Mivel egyenlő 4 2 i 2 + i ?

Megoldás: Végezzük el az osztást úgy, hogy bővítünk a nevező konjugáltjával.

4 2 i 2 + i = 4 2 i 2 + i . 2 i 2 i = ( 4 2 i ) ( 2 i ) ( 2 + i ) ( 2 i ) .

A nevezőben egy komplex számnak és a konjugáltjának a szorzata áll, az

( a + b i ) ( a b i ) = a 2 + b 2

formula alapján a nevező:

( 2 + i ) ( 2 i ) = ( 2 ) 2 + 1 2 = 4 + 1 = 5 .

A számlálóban elvégezve a szorzást

( 4 2 i ) ( 2 i ) = 10 .

Ezeket felhasználva

( 4 2 i ) ( 2 i ) ( 2 + i ) ( 2 i ) = 10 5 = 2 ,

amit ki is találhattunk volna, hiszen látható, hogy az eredeti törtben a számláló a nevező 2 -szerese.
3. feladat Végezzük el a 7 + 5 i 4 3 i osztást.

Megoldás: Bővítve a nevező konjugáltjával a részletszámítások most a következők:

7 + 5 i 4 3 i = ( 7 + 5 i ) ( 4 + 3 i ) ( 4 3 i ) ( 4 + 3 i ) = 43 i 4 2 + ( 3 ) 2 = 43 i 25 = 43 25 1 25 i .
4. feladat 3 6 2 i = ?

Megoldás: Az osztási eljárás mindig ugyanaz, bővítünk a nevező konjugáltjával, legfeljebb speciális estben egyszerűbbek a részletszámítások.

3 6 2 i = 3 ( 6 + 2 i ) ( 6 2 i ) ( 6 + 2 i ) = 3 ( 6 + 2 i ) ( 6 ) 2 + ( 2 ) 2 = 18 + 6 i 40 = 18 40 + 6 40 i = 9 20 + 3 20 i .

Ha nem túl fáradságos a valós és a képzetes részt a lehető legegyszerűbb alakban érdemes felírni. Nem célszerű azonban közelítő értékeket használni, hacsak nem elkerülhetetlen.
5. feladat Számítsuk ki az 1 2 + i + i 3 + 7 i kifejezést.

Megoldás: Törteket úgy adunk össze, hogy először közös nevezőre hozzuk őket. Ez komplex számok esetén általában a nevezők szorzata, most ( 2 + i ) ( 3 + 7 i ) .

Ezért az első törtet 3 + 7 i -vel, a második törtet 2 + i -vel kell bővíteni. Ezeket elvégezve kapjuk, hogy

1 2 + i + i 3 + 7 i = 1 ( 3 + 7 i ) ( 2 + i ) ( 3 + 7 i ) + i ( 2 + i ) ( 2 + i ) ( 3 + 7 i ) = 1 ( 3 + 7 i ) + i ( 2 + i ) ( 2 + i ) ( 3 + 7 i ) =

elvégezve a beszorzásokat és összevonásokat

= 3 + 7 i + 2 i 1 1 + 17 i = 2 + 9 i 1 + 17 i .

El kell még végeznünk ezt az osztást.

2 + 9 i 1 + 17 i = ( 2 + 9 i ) ( 1 17 i ) ( 1 ) 2 + 17 2 = 151 43 i 290 = 151 290 43 290 i .

6. feladat Legyen z = 2 + i 1 i . Számítsuk ki Im ( z + 1 z ) -t.

Megoldás: Tehát z + 1 z képzetes részét kell kiszámolni. Ezt úgy fogjuk megkapni, hogy kiszámoljuk z + 1 z -t, és leolvassuk, hogy mi a képzetes része.

z + 1 z = 2 + i 1 i + 1 2 + i 1 i = 2 + i 1 i + 1 i 2 + i =

elvégezve a közös nevezőre hozást és a beszorzásokat, valamint az összevonásokat

= ( 2 + i ) 2 + ( 1 i ) 2 ( 1 i ) ( 2 + i ) = ( 3 + 4 i ) + ( 2 i ) 3 i = 3 + 2 i 3 i .

Végül elvégezve az osztást is

3 + 2 i 3 i = ( 3 + 2 i ) ( 3 + i ) 10 = 7 + 9 i 10 = 7 10 + 9 10 i .

Innen leolvasható, hogy

Im ( z + 1 z ) = 9 10 .
7. feladat Legyen ( 2 + 6 i ) ( 3 i ) 2 + i = x + y i . Számítsuk ki az x és az y valós számokat.

Megoldás: A ( 2 + 6 i ) ( 3 i ) 2 + i komplex szám valós és képzetes része a kérdés. Mivel

( 2 + 6 i ) ( 3 i ) 2 + i = 12 + 16 i 2 + i = ( 12 + 16 i ) ( 2 i ) 5 = 40 + 20 i 5 = 8 + 4 i ,

leolvashatjuk, hogy

x = 8, y = 4 .
8. feladat Ha tudjuk, hogy ( x + y ) + ( x y ) i = ( 1 + i ) 2 + 1 i , mivel egyenlő az x és az y , ha mindkettő valós szám?

Megoldás: Mivel

( 1 + i ) 2 = 2 i ,

és

1 i = 1 ( i ) i ( i ) = i 1 = i ,

azt kapjuk, hogy

( x + y ) + ( x y ) i = i = 0 + 1 . i .

Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha egyenlők a valós részek és egyenlők a képzetes részek is. Ebből a következő egyenletrendszert kapjuk az x , y ismeretlenekre:

{ x + y = 0 x y = 1

Megoldjuk ezt a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Ha összeadjuk a két egyenletet azt kapjuk, hogy

2 x = 1 ,

azaz

x = 1 2 .

Ezt beírva mondjuk az első egyenletbe

y = 1 2 .
9. feladat Legyen x i 1 + y i = 3 x + 4 i x + 3 y . Határozzuk meg az x és az y valós számokat.

Megoldás: A második tört nevezőjéből látszik, hogy az x 3 y feltételnek teljesülnie kell. Az első tört nevezője semmilyen y -ra sem lesz nulla. Keresztbeszorzással megszabadulunk a törtektől:

x i ( x + 3 y ) = ( 3 x + 4 i ) ( 1 + y i ) .

Elvégezve a szorzásokat, és összevonva az azonos nemű tagokat:

x 2 i + 3 x y i = 3 x + 4 i + 3 x y i + 4 y i 2 ,

( x 2 + 3 x y ) i = ( 3 x 4 y ) + ( 4 + 3 x y ) i .

Mindkét oldalon egy komplex szám áll, a bal oldali valós része nulla. A valós és képzetes részek egyenlőségéből az ismeretlenekre az alábbi egyenletrendszer adódik:

{ 3 x 4 y = 0 x 2 + 3 x y = 4 + 3 x y .

Ez nem egy lineáris egyenletrendszer, de szerencsére könnyen megoldható. A második egyenletből

x 2 = 4 ,

amiből

x 1 = 2 ,

vagy

x 2 = 2 .

Ha x 1 = 2 , akkor az első egyenletből y 1 = 3 2 .

Ha x 2 = 2 , akkor y 2 = 3 2 .

Ezek kielégítik az x 3 y feltételt is, ez a két megoldása van tehát a feladatunknak.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő 16 + 8 i 5 2 ?
 
32 5 + 16 5 i .
 
32 5 16 5 i .
 
5 36 5 16 i .
 
0.64 0.32 i .
 

2. kérdés: 3 4 i i =
 
4 3 i .
 
4 + 3 i .
 
4 3 i .
 
3 4 i .
 

3. kérdés: 5 3 i 2 + 4 i =
 
11 10 7 10 i .
 
11 10 7 10 i .
 
1.1 + 0.7 i .
 
11 + 7 i 10 .
 

4. kérdés: Mivel egyenlő az 1 + i 2 + i 1 i + 1 + i 2 i kifejezés?
 
4 7 2 7 i .
 
7 4 7 2 i .
 
4 2 i .
 
4 7 + 2 7 i .
 

5. kérdés: i 2 + 2 1 + 1 i =
 
1 10 + 3 10 i .
 
1 10 3 10 i .
 
3 10 1 10 i .
 
3 10 + 1 10 i .
 

6. kérdés: Re ( ( 2 + i ) 4 i 5 + i ) =
 
46 26 .
 
47 26 .
 
1 26 .
 
47 26 .
 

7. kérdés: Tegyük fel, hogy x + y i = 1 x 1 y i . Ekkor az x , y ismeretlenek egy lehetséges értéke:
 
x = 1, y = 1 .
 
x = 2, y = 2 .
 
x = 1, y = i .
 
x = i , y = 1 .
 

8. kérdés: A 7. kérdésben szereplő egyenletnek hány megoldása van, ha az x és y ismeretlenek valós számok?
 
1.
 
2.
 
3.
 
4.
 

9. kérdés: Az x és y valós számokra teljesül, hogy ( x + y ) ( x y ) i = ( 1 + i ) 2 + ( 2 + i ) i . Ekkor az x , y ismeretlenek értéke:
 
x = 5 2 , y = 3 2 .
 
x = 5 2 , y = 3 2 .
 
x = 5 2 , y = 3 2 .
 
x = 5 2 , y = 3 2 .