 |  | Tanulási cél: A szorzás, a hatványozás és az osztás begyakorlása trigonometrikus alakban adott komplex számok esetén.
Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.3. és 2.4.
Elméleti összefoglaló:
Ha
z 1 = r 1 ( cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )
, és
z 2 = r 2 ( cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
, akkor
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin ( ϕ 1 + ϕ 2 ) )
,
azaz a szorzat trigonometrikus alakját a tényezők trigonometrikus alakjából a következőképp kapjuk: a szorzat hossza a tényezők hosszának szorzata, a szorzat szöge a tényezők szögének összege;
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin ( ϕ 1 − ϕ 2 ) )
,
azaz a hányados trigonometrikus alakját a tényezők trigonometrikus alakjából a következőképp kapjuk: a hányados hossza a számláló hossza osztva a nevező hosszával, a hányados szöge a számláló szöge mínusz a nevező szöge.
A szorzásra vonatkozó képletből következik, hogy a
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
komplex szám
n
-edik hatványa, ahol
n
pozitív egész szám,
z n = r n ( cos n ϕ + i sin n ϕ )
.
Mindhárom képlettel kapcsolatban fontos, hogy egy komplex szám szöge
0 o
és
360 o
közé eső forgásszög. Ezért a fenti képletekben a szögekre vonatkozó műveletek modulo
360 o
értendők, azaz csak a
360 o
-al vett osztási maradék számít. |
|
|