 |  | Kidolgozott feladatok:
1. feladat Határozzuk meg az
a n = 5 n − 2 6 n − 1
sorozat határértékét!
Megoldás:
Ilyen sorozat határértékét már az előző leckében meghatároztuk, de az eljárás elég nehézkes volt. Most csináljuk ezt hatékonyabban. Először is állapítsuk meg, hova tart a számláló és a nevező.
A számláló:
lim n → ∞ ( 5 n − 2 ) = ∞
.
Mivel
n → ∞
nyilván
5 n → ∞
is igaz, s egy végetlenhez tartóból 2-t kivonva továbbra is végtelenhez tartót kapunk. (Konyhanyelven ez úgy mondható, valami iszonyú nagyból elvéve valami kicsit, továbbra is iszonyúan nagyot kapunk.)
A nevező:
lim n → ∞ ( 6 n − 1 ) = ∞
.
Ez ugyanúgy gondolható végig, mint a számláló.
A későbbiekben ezt nem fogjuk ennyire részletezni, hanem röviden a következőt írjuk majd.
lim n → ∞ 5 n − 2 6 n − 1
, ez egy
∞ ∞
típusú határérték.
Mivel ez kritikus, át kell alakítanunk. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az átalakítások mindig olyanok, melyek a kifejezés értékét nem változtatják meg, azaz ha végrehajtunk egy műveletet, akkor mindig végrehajtjuk annak megfordítottját is. Törtek estén ennek tipikus esete az egyszerűsítés, hiszen ekkor a számlálót is és a nevezőt is osztjuk, azaz magát a törtet valamivel osztjuk is és szorozzuk is. (A nevező osztása tulajdonképpen a tört szorzását jelenti.) Most egyszerűsítsünk
n
-nel.
lim n → ∞ 5 − 2 n 6 − 1 n
-et kapunk.
Vizsgáljuk újra a típusát. A számlálóban lévő
2 n
és a nevezőben lévő
1 n
mindegyike 0-hoz tart. Így már a számlálóban csak 5, a nevezőben pedig 6 marad, azaz a határérték
5 6
lesz.
(A sok magyarázat miatt ez még nem biztos, hogy rövidebbnek tűnik mint az előző leckében bemutatott megoldás, de a későbbiekben ezt sokkal rövidebben írjuk majd.)
|
|
|