//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.12. Szélsőérték feladatok

Tanulási cél: A szöveges szélsőérték feladatok során alkalmazható módszerek elsajátítása, használatuk begyakorlása, az elaszticitás fogalmának megismerése.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 6.9.

Elméleti összefoglaló:

A szöveges szélsőérték feladatok során valamilyen, gyakran geometriai jellegű, feltételekkel meghatározott változó mennyiség legnagyobb vagy legkisebb lehetséges értékét kell megkeresnünk.

Első lépésként egy általunk választott független változó függvényében fel kell írnunk a szóbanforgó változó mennyiség változását leíró függvény képletét.
Ezután tisztázni kell, hogy - a feladat feltételeiből adódóan -, a független változó milyen értékeket vehet fel. A felírt függvények ebbe az értelmezési tartományba eső szélsőérték helyét kell megkeresni a teljes függvényvizsgálat során megismert 4)-es pontban foglaltak szerint.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Egy téglalap kerülete 20 cm. Milyen oldalméretek esetén lesz a terület maximális?

Megoldás:

Jelöljük a téglalap oldalait x -el és y -al. Ekkor a terület persze

T = x y .

Ebben a felírásban azonban két változó szerepel. De a feladat feltételei szerint a két változó között kapcsolat van, ugyanis tudjuk, hogy a kerület 20 cm. Felírva a kerületet az oldalakkal, kapjuk, hogy

K = 20 = 2 x + 2 y = 2 ( x + y ) ,

azaz

x + y = 10 ,

amiből kifejezhetjük, például az y változót az x -szel, s ezt visszaírva a területképletbe, azt az x változó függvényében kapjuk meg. Tehát

y = 10 x ,

és

T ( x ) = x ( 10 x ) = 10 x x 2 .

Ez a függvény írja le a terület változását az egyik oldal függvényében.

Most a feladat szövegéből az a feltétel adódik, hogy 0 < x < 10 , hiszen az x pozitív, mert hosszúság, és 2 x -nek kisebbnek kell lenni mint a kerület, azaz kisebbnek mint 20, de azért a 2 x a 20-hoz bármilyen közel is lehet egy igen keskeny téglalap esetén.

Keressük tehát a fenti T ( x ) függvénynek azt a lokális maximum helyét, amely a ( 0, 10 ) intervallumba esik.

Miután

T ( x ) = 10 2 x ,

T ( x ) = 0 akkor és csak akkor teljesül, ha x = 5 . Az 5 benne van a ( 0, 10 ) intervallumban, ezért ő az egyetlen lokális maximum hely jelölt. A szokásos táblázat elkészítésével döntsük el, valóban maximum hely-e.
x   0 < x < 5   x = 5   5 < x < 10  
T ( x )   +   0   -  
T ( x )     lok. max.    
A jelöltünk tehát valóban lokális maximum hely. A lokális maximum értéke

T ( 5 ) = 25 .

A keresett oldalméretek tehát x = 5 cm, és y = 10 x = 5 cm.

A terület tehát akkor maximális, ha a téglalap négyzet. A geometriai jellegű feladatokban gyakran a "legszabályosabb" alakzat adja a keresett szélsőértéket.

Most elég természetes volt, hogy a független változónak valamelyik oldal hosszát választjuk.
Eljárhattunk volna azonban máshogy is.

Mivel a két oldal összege 10, amennyivel az egyik oldal rövidebb 5-nél a másik annyival hosszab.

Az egész szituációt elképzelhetjük úgy, hogy a ( 0, 10 ) intervallumot egy belső pontjával két szakaszra bontjuk. Az így kapott szakaszok az oldalak. A bal oldali szakaszt jelöljük x -szel, a jobb oldalit y -nal.

Ha a z = x 5 -öt választjuk független változónak, akkor, miután

x = z + 5 és y = 10 x = 10 ( z + 5 ) = 5 z ,

a terület

t ( z ) = x y = ( 5 + z ) ( 5 z ) = 25 z 2 ,

és most a 5 < z < 5 feltételnek kell teljesülnie.

Minthogy t ( z ) = 2 z , t ( z ) = 0 pontosan akkor teljesül, ha z = 0 . Könnyen leelenőrizhető, hogy a t ( z ) függvénynek a 0 valóban lokális maximum helye, és így az oldalakra megint 5-öt kapunk.
2. feladat Egy téglalap alakú papírlapból felül nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a sarkokból kis négyzeteket vágunk ki, majd a keletkezett füleket felhajtjuk, és összeregasztjuk, ahogy azt az alábbi ábrán látjuk. Ha a kinduló papírlap oldalai 10 cm és 20 cm, milyen méretek esetén lesz a doboz térfogata maximális?



Megoldás: Jelöljük a kivágott kis négyzetek oldalát x -el, és tekintsük az alábbi ábrát.



Látjuk, hogy ekkor a dobozunk alaplapja egy 20 2 x , illetve 10 2 x oldalú téglalap, a magassága pedig x . Ezért a térfogata

V ( x ) = ( 20 2 x ) ( 10 2 x ) x = 200 x 60 x 2 + 4 x 3 .

Most az x 0 és 5 közé esik, (a rövidebb oldalnak is ki kell adni 2 x -et).

Keressük tehát a fenti V ( x ) függvény ( 0, 5 ) intervallumba eső lokális maximumát.

V ( x ) = 200 120 x + 12 x 2 .

A V ( x ) = 0 egyenlet két megoldása: x 1 = 5 5 3 3 és x 2 = 5 + 5 3 3 . Ezek közül csak x 1 esik a ( 0, 5 ) intervallumba, ezért csak őt kell megvizsgálni. A táblázat:

x   0 < x < 5 5 3 3   x = 5 5 3 3   5 5 3 3 < x < 5  
V ( x )   +   0   -  
V ( x )     lok. max.    
A V ( x ) sorában az előjeleket például a következőképp kaphatjuk. Mivel x 1 = 5 5 3 3 2.11 , a bal oldali intervallumból választhatjuk az 1-et, a jobb oldaliból a 3-at. Ekkor

V ( 1 ) = 200 120 + 12 = 92 > 0 ,

illetve

V ( 3 ) = 200 360 + 108 = 52 < 0 .

A jelöltünkben tehát valóban lokális maximum van. A keresett méretek tehát:

magasság: x = 5 5 3 3 ,
a hosszabbik oldal: 20 2 ( 5 5 3 3 ) = 10 + 10 3 3 ,
a rövidebb oldal: 10 2 ( 5 5 3 3 ) = 10 3 3 .
3. feladat Egy ember 3 km-re van egy csónakban az egyenes tóparttól. Egy parton elhelyezkedő, tőle 5 km távolságban lévő helyre akar a lehető legrövidebb idő alatt eljutni. Evezni v 1 = 3 km/h, gyalogolni v 2 = 6 km/h sebességgel tud. Mennyi az a legrövidebb idő, ami alatt eljuthat a céljába?

Megoldás: Készítsünk egy ábrát!



Az A T B derékszögű háromszögben a T és a B pontok távolsága a Pitagorasz tételből 4 km.

Az világos, hogy a legrövidebb ideig tartó út során valahol a T és a B közötti P pontban ér partot az emberünk. (Miért?)

Válasszuk független változónak a P pont T -től való távolságát, és jelöljük x -el.

Ekkor az evezve megtett út az

s 1 = d A P = 9 + x 2

távolság, ennek megtétele nyilván

t 1 = s 1 v 1 = 9 + x 2 3

óráig tart.

A gyalogolva megtett út az

s 2 = d P B = 4 x

távolság, ennek megtétele

t 2 = s 2 v 2 = 4 x 6

óráig tart.

Most már az x függvényében az útvonal megtételéhez szükséges teljes idő

t ( x ) = t 1 + t 2 = 9 + x 2 3 + 4 x 6 .

Ennek a függvénynek keressük a 0 < x < 4 feltételeket kielégítő lokális minimumát.

t ( x ) = 1 3 x 9 + x 2 1 6 .

Megoldjuk a t ( x ) = 0 egyenletet. Ekkor

x 9 + x 2 = 1 2 ,

2 x = 9 + x 2 ,

4 x 2 = 9 + x 2 ,

x 2 = 3 .

Ennek az egyetlen szóbajövő pozitív megoldása az x = 3 . Ezt vizsgáljuk meg az alábbi táblázatban.
x   0 < x < 3   x = 3   3 < x < 4  
t ( x )   -   0   +  
t ( x )     lok. min.    
Az előjeleket megkaphatjuk ha az első intervallumból 1-et, a másodikkból 2-t helyettesítünk a deriváltba. Ekkor

t ( 1 ) 0.06 < 0 ,

t ( 2 ) 0.018 > 0 .

A 3 tehát valóban minimum hely, és a legrövidebb ideig tartó út

t ( 3 ) 1.53

óráig tart.

Megoldjuk a feladatot más úton is.

Válasszuk most független változónak az A T P derékszögű háromszög A -nál lévő szögét, és jelöljük ezt α -val.

Ekkor az ábránkon szereplő x távolságra x = 3 tg α adódik.

Az evezve megtett távolság 3 cos α , ez 1 cos α óráig tart.

A gyalogolva megtett távolság 4 3 tg α , ez 4 3 tg α 6 = 2 3 1 2 tg α óráig tart.

A teljes idő tehát a radiánban mért α szög függvényében

T ( α ) = 1 cos α + 2 3 1 2 tg α .

Az α szög most (radiánban mérve) nyilván 0 és arctg 4 3 0.93 közé esik.

Ezután

T ( α ) = sin α cos 2 α 1 2 1 cos 2 α .

Ebből azt kapjuk, hogy T ( α ) = 0 akkor és csak akkor, ha sin α = 1 2 , amiből α = π 6 .

A most már jól ismert táblázat elkészítésével leellenőrizhető, hogy valóban ez a minimum hely.
Miután T ( π 6 ) 1.53 , persze ugyanarra az eredményre jutunk, mint az előbb.

A legtöbb geometriai jellegű feladatban távolság helyett szöget is lehet független változónak választani. Ilyenkor a keresett függvény általában trigonometrikus függvény lesz, és a szélsőérték jelölteket trigonometrikus egyenlet megoldásából kapjuk. Fontos, hogy a szöget mindig radiánban mérjük.
4. feladat Adott egy 3 és 4 egység befogójú derékszögű háromszög. Tekintsük azokat a háromszögbe írható téglalapokat, amelyeknek egyik csúcsa a háromszög derékszöge, az ezzel szemközti csúcs pedig az átfogóra esik. Az ilyen tulajdonságú téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe?

Megoldás: Rajzoljunk egy ábrát.



A téglalap x és y oldala között most a hasonlóság alapján lehet összefüggést találni.

A P T 2 B és a C A B derékszögű háromszögek hasonlók, ezért

y 4 x = 3 4 .

Rendezve:

y = 3 4 ( 4 x ) ,

y = 3 3 x 4 .

Ez alapján a téglalap területe az x oldal függvényében:

T ( x ) = x ( 3 3 x 4 ) = 3 x 3 x 2 4 .

Ennek a függvénynek keressük a ( 0, 4 ) intervallumba eső maximumát.

T ( x ) = 3 3 x 2 .

T ( x ) = 0 akkor és csak akkor, ha x = 2 . A szokásos táblázat kitöltésével megvizsgáljuk ezt az egyetlen jelöltet.
x   0 < x < 2   x = 2   2 < x < 4  
T ( x )   +   0   -  
T ( x )     lok. max.    
A táblázat alapján a 2 tehát valóban lokális maximum hely. A keresett oldalak pedig

x = 2 és y = 3 3 . 2 4 = 3 2 egység

hosszúak.
5. feladat Egy egyenes körkúpba az alábbi ábrán látható módon hengert írunk, amelynek alaplapja a kúp alaplapján van, fedőlapja pedig érinti a kúp palástját. Milyen méretek esetén lesz a henger térfogata maximális, ha a kúp alaplapjának sugara 10, magassága 20 egység?



Megoldás: A térbeli alakzatokról szóló feladatoknál általában egy olyan ábra nyújtja a legtöbb segítséget, amely az eredeti alakzat egy alkalmas síkkal való metszésekor keletkezik. Ez a sík a legtöbb esetben átmegy az eredeti alakzat szimmetria középpontján, vagy ha van, akkor a szimmetria tengelyén is.

Most elmetszük a kúpot a beírt hengerrel együtt a kúp és a henger közös tengelyén átmenő síkkal.
Ekkor, a szükséges pontokat és jelöléseket is feltüntetve, az alábbi ábrát kapjuk.



A beírt hengerünk r sugara és h magassága között most is a hasonlóság teremt kapcsolatot. A P T B derékszögű háromszög hasonló a C K 1 B derékszögű háromszöghöz. Ezért

h 10 r = 20 10 = 2 ,

azaz

h = 20 2 r .

Ennek felhasználásával a beírt henger térfogata az r függvényében:

V ( r ) = π r 2 ( 20 2 r ) = 20 π r 2 2 π r 3 .

Ennek a függvénynek keressük a lokális maximumát a 0 < r < 10 feltétel mellett.

V ( r ) = 40 π r 6 π r 2 .

Most V ( r ) = 0 akkor és csak akkor, ha r 1 = 20 3 vagy r 2 = 0 , de az értelmezési tartományba csak r 1 esik bele, ez az egyetlen szélsőérték jelölt. (Az értelmezési tartományt, mint most is, a leggyakrabban szigorú egyenlőtlenségek jelölik ki. Az egyenlőségek a széleken azért nincsenek megengedve, mert akkor az alakzat általában elfajuló lenne. Most ugye nulla sugarú, vagy r = 10 esetén, nulla magasságú henger nem adhatja a maximális térfogatú hengert.)

A szokásos táblázat most:
r   0 < r < 20 3   r = 20 3   20 3 < r < 10  
V ( r )   +   0   -  
V ( r )     lok. max.    
Látjuk, hogy r = 20 3 -ban lokális maximum van, a maximális térfogatú beírt henger magassága pedig

h = 20 2 . 20 3 = 20 3 .

Arra is figyeljünk, hogy az eredetileg feltett kérdésre válaszoljunk. Most nem a maximális térfogatot kérdezték, hanem az azt szolgáltató henger méreteit, ezért nem számoltuk ki a térfogatot.
6. feladat Adott, 10 egység sugarú, gömbbe kúpot írunk, úgy, hogy annak csúcsa is, és alapköre is a gömb felületére illeszkedik. Az ilyen tulajdonságú kúpok közül melyiknek a legnagyobb a térfogata?

Megoldás: Elmetszük a térbeli alakzatot egy olyan síkkal, amely átmegy a beírt kúpnak a gömb középpontját is tartalmazó szimmetria tengelyén. Ekkor az alábbi ábrát kapjuk. Ezen egyből feltüntettük a fontosabb pontokat, és a kúpot meghatározó adatok jelöléseit is.

Célszerű most független változónak az ábrán feltüntetett x távolságot választani.



A kúpunk magassága ekkor

h = 10 + x ,

alapkörének sugara pedig

r 2 = 100 x 2 miatt

r = 100 x 2 .

(A h nem lehet 10 x , mert a maximális térfogatú kúp esetén a kúp csúcsa és alapköre nem esik egy félgömbbe. Az olvasó gondolja meg, hogy miért van ez így.)

A kúp térfogata

V = π r 2 h 3 ,

a sugár és a magasság x -el kifejezett értékét ide beírva kapjuk, hogy

V ( x ) = π ( 100 x 2 ) ( 10 + x ) 3 .

Ennek a függvénynek keressük a 0 < x < 10 feltételt kielégítő lokális maximumát.

(Most x = 0 is előfordulhatna, de mindjárt látni fogjuk, hogy a szóbajövő jelölt pozitív, tehát maradhat az értelmezési tartomány a fenti.)

Elvégezve a műveleteket

V ( x ) = π 3 ( 1000 + 100 x 10 x 2 x 3 ) .

Most már deriválhatunk:

V ( x ) = π 3 ( 100 20 x 3 x 2 ) .

A V ( x ) = 0 egyenletnek a két megoldása x 1 = 10 3 és x 2 = 10 . Ezek közül persze csak x 1 -el kell a továbbiakban foglalkozni. Elkészítjük a táblázatot.
x   0 < x < 10 3   x = 10 3   10 3 < x < 10  
V ( x )   +   0   -  
V ( x )     lok. max.    
A 10 3 tehát lokális miximum hely. Ezek alapján a maximális térfogatú kúp jellemző méretei:

r = 100 ( 10 3 ) 2 = 10 8 3 ,

h = 10 + 10 3 = 40 3 .
7. feladat Valamely joghurt iránti keresletet az f ( x ) = e 0.02 x + 10 függvény fejezi ki, melyben x a joghurt egységára Ft-ban, f ( x ) pedig a hozzá tartozó heti kereslet. Milyen egységár mellett lenne a heti árbevétel maximális? Mekkora heti kereslet tartozik ezen egységárhoz, s mekkora a maximális heti árbevétel?

Megoldás: Az árbevételt a kereslet és az egységár szorzataként kapjuk, azaz a g ( x ) = x . f ( x ) = x . e 0.02 x + 10 függvény írja le. Ennek a függvénynek kell megkeressük a maximumát az x > 0 feltétel mellett. (Az árak sajnos pozitívak.)
Deriváljuk a függvényt.

g ( x ) = e 0.02 x + 10 + x . e 0.02 x + 10 . ( 0.02 ) = e 0.02 x + 10 ( 1 0.02 x )

Oldjuk meg a g ( x ) = 0 egyenletet. Mivel g ( x ) szorzat, valamelyik tényezőnek kell nullának lennie. Az első tényező azonban mindig pozitív, ezért csak a második lehet nulla.

1 0.02 x = 0 x = 50

Készítsük el a sokásos táblázatot, melyben megvizsgáljuk, hogy ez valóban szélsőérték-e.
x   0 < x < 50   x = 50   50 < x  
g ( x )   +   0   -  
g ( x )     lok. max.    
Mint a táblázatból látható az x = 50 valóban maximum hely, tehát a maximális árbevétel akkor érhető el, ha a joghurt egységára 50 Ft.

Az ehhez tartozó heti keresletet az f ( x ) függvénybe történő helyettesítéssel kapjuk.

f ( 50 ) = e 0.02 . 50 + 10 = e 9 8103

Ilyen áron tehát 8103 darab joghurt adható el hetenként.

Ekkor a heti árbevétel g ( 50 ) = 50 . f ( 50 ) = 405150 Ft lesz.
8. feladat Egy adott termék termelési költségét a termelt mennyiség függvényében az f ( x ) = 2 x 2 + 500 000 függvény adja meg, ahol x a termelt mennyiség, f ( x ) pedig ezen termékmennyiség előállításának a költsége. Határozzuk meg, hogy mekkora termelés esetén lesz az egy termékre jutó átlagköltség minimális?

Megoldás: Az átlagköltség a termelési költség és a termelt mennyiség hányadosa, s így a g ( x ) = f ( x ) x = 2 x 2 + 500 000 x = 2 x + 500 000 x függvény írja le a termelt mennyiség függvényében. Ennek a függvénynek keressük a minimumát az x > 0 feltétel mellett. (A termelt mennyiség pozitív.)
Deriváljuk a függvényt.

g ( x ) = 2 500 000 x 2

Oldjuk meg a g " ( x ) = 0 egyenletet.

2 500 000 x 2 = 0 2 x 2 = 500 000 x = + 500

A negatív gyök a feltétel miatt kizárható, csak a másikkal foglalkozunk.
Készítsük el a monotonitási táblázatot.
x   0 < x < 500   x = 500   500 < x  
g ( x )   -   0   +  
g ( x )     lok. min.    
A táblázatból látható, hogy az x = 500 valóban lokális minimumhely, azaz a minimális termelési átlagköltség 500 darabos szériával érhető el.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Két pozitív szám összege 1. A szorzatuk maximumát keressük. Ekkor a következő függvényt kell vizsgálnunk:
 
f ( x ) = ( x 1 ) x .
 
f ( x ) = x x 2 .
 
f ( x ) = ( 1 2 x ) 2 .
 
f ( x ) = x 2 1 4 .
 

2. kérdés: Két pozitív szám összege 1. A szorzatuk maximuma ekkor
 
1 2 .
 
1 3 .
 
1 4 .
 
1 2 .
 

3. kérdés: A [ 0, 1 ] intervallumot egy belső pontjával két részre bontjuk és mindegyik rész fölé négyzetet emelünk. A négyzetek területösszegének a minimuma érdekel minket. Milyen függvényt kell vizsgálnunk?
 
f ( x ) = x 2 2 x + 2 .
 
f ( x ) = 2 2 x + 2 x 2 .
 
f ( x ) = 1 2 x + 2 x 2 .
 
f ( x ) = 2 x 2 + 1 .
 

4. kérdés Az előző feladatban a minimális területösszeget adó osztópont az intervallum
 
első felébe esik.
 
második felébe esik.
 
felező pontja.
 
egyik végpontja.
 

5. kérdés: Két pozitív szám szorzata 9. Összegük minimuma ekkor
 
6.
 
4.5.
 
2.
 
3.
 

6. kérdés: Két pozitív szám összege 1. A reciprokuk összegének
 
minimuma van.
 
maximuma van.
 
sem minimuma, sem maximuma nincs.
 
minimuma és maximuma is van.
 

7. kérdés: Egy termék napi kereslete és annak x Ft-os egységára között az f ( x ) = 500 10 x összefüggés áll fenn. Hány forintos egységár mellett lenne a napi árbevétel maximális?
 
20
 
25
 
30
 
35
 

8. kérdés: Egy bizonyos termék termelési költségét a termelt mennyiség függvényében a f ( x ) = x 3 1514 x 2 + 3024 x függvény írja le. Mekkora termelés esetén lenne az egy termékre eső átlagköltség minimális?
 
721
 
743
 
757
 
772