 |  | Tanulási cél: A parciális integrálás módszerének elsajátítása, és alkalmazása feladatok megoldásában.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.4.
Elméleti összefoglaló:
Ha az
f ( x )
és
g ( x )
függvények differenciálhatóak, valamint az
f ′ ( x ) . g ( x )
függvény integrálható, akkor az
f ( x ) . g ′ ( x )
függvény is integrálható és
∫ f ( x ) . g ′ ( x ) d x = f ( x ) . g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) . g ( x ) d x
.
A módszer alkalmazásának három legfőbb esete:
1. Az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője polinom, a másik pedig az
a x , e x , sin x , cos x , sh x , ch x
függvények valamelyike. Ilyenkor a polinomot célszerű
f ( x )
-nek, s a másik tényezőt pedig
g ′ ( x )
-nek választani. A módszer alkalmazásával azt érjük el, hogy a még meghatározandó integrálban eggyel alacsonyabb fokszámú polinom szerepel. Ha a módszert annyiszor alkalmazzuk, amennyi a polinom fokszáma, akkor eltűnik a polinom, s helyén már csak konstans marad, s a még hátralevő integrálban már nem szorzatfüggvényt kell integrálnunk.
2. Az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője polinom, a másik pedig a
log a x , ln x , arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x , arsh x , arch x , arth x , arcth x
függvények valamelyike. Ilyenkor a polinomot
g " ( x )
-nek, a másik tényezőt pedig
f ( x )
-nek célszerű választani. A módszert egyszer alkalmazzuk, s a visszamaradó integrált valamilyen más módszerrel határozzuk meg. Gyakran
f α ( x ) . f ′ ( x )
vagy
f ′ ( x ) f ( x )
típusú integrál alakuk ki.
Bár a módszer alapvetően szorzatfüggvények esetén használatos, de itt előfordulhat az is, hogy a polinom egyszerűen
1
. Nem igazi szorzatot akarunk tehát integrálni, hanem a
log a x , . . . arcth x
függvények valamelyikét.
3. Az integrandus olyan szorzat, melynek mindkét tényezője az
a x , . . . ch x
függvények valamelyike. Ekkor általában kétszer kell alkalmazni a módszert, s a visszamaradó integrál az eredeti integrál valamilyen számszorosa lesz. Az így kapott egyenletet ezután rendezni kell az integrálra. A módszer első alkalmazásánál mindegy melyik tényezőt választjuk
f ( x )
-nek és melyiket
g ′ ( x )
-nek, a másodiknál azonban ugyanúgy kell választanunk, mint az elsőnél. Az ilyen típusú szorzatok nem mindegyikénél muszáj alkalmazni ezt a módszert. Szerepelt már például a
sin x . cos x
függvény, melyet más módszerrel egyszerűbben tudtunk integrálni.
A módszer alaklmazható egyéb esetekben is, de azok nem ennyire jól körülhatárolhatóak.
|
|
|