//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 1. Komplex számok

1.1. A komplex számok fogalma. Összeadás és kivonás a komplex számok körében

Tanulási cél: A komplex számok definíciójának megtanulása, az összeadás és a kivonás műveletének megismerése.

Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.1. és 2.2.

Elméleti ősszefoglaló:

A komplex számok halmazának definíciója:

C = { a + b i | a R , b R , i 2 = 1 } .
A z = a + b i komplex számban az a valós szám a komplex szám valós része, a b valós szám a komplex szám képzetes része, i a képzetes egység. A z komplex szám valós részét Re ( z ) -vel, képzetes részét Im ( z ) -vel is szoktuk jelölni.
Az összeadás definíciója:

( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i .
A kivonás definíciója:

( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c ) + ( b d ) i .
Az összeadás kommutatív müvelet, azaz

z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

Az összeadás asszociatív művelet, azaz

( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) = z 1 + z 2 + z 3 .
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Adjunk meg néhány komplex számot.

Megoldás:

z 1 = 2 + 3 i , ebben a komplex számban a = 2, b = 3 .

z 2 = 3 + 2 i , most a = 3, b = 2 .

z 3 = 2 π i , most a = 2 , b = π .

z 4 = 16.39 , most a = 16.39, b = 0 .

z 5 = 2.16 i , most pedig a = 0, b = 2.16 .

Az utolsó előtti példa felhívja a figyelmet arra, hogy a valós számok egyben komplex számok is, a valós számok halmaza részhalmaza a komplex számok halmazának.
2. feladat Legyen z 1 = 4 i és z 2 = 3 + 3 i . Számoljuk ki z 1 + z 2 -t.

Megoldás:

A z 1 = 4 i írásmód a z 1 = 4 + ( 1 ) i alak rövidítése, ezt ezután is használni fogjuk.

A összeadás definíciója szerint

z 1 + z 2 = ( 4 i ) + ( 3 + 3 i ) = ( 4 + ( 1 ) i ) + ( ( 3 ) + 3 i ) = ( 4 + ( 3 ) ) + ( ( 1 ) + 3 ) i = 1 + 2 i .

A részletes leírás miatt ez bonyolultnak látszik, de lényeg a következő: amikor ki kell számolnunk két komplex szám összegét, akkor az a kérdés, hogy mi lesz az összeg valós, illetve képzetes része; az összeadás definíciója azt mondja, hogy az összeg valós része a tagok valós részének összege, és az összeg képzetes része a tagok képzetes részének összege.
3. feladat Legyen z 1 = 1 2 i , z 2 = 3 + 4 i . Számoljuk ki z 1 z 2 -t.

Megoldás:

z 1 z 2 = ( 1 + ( 2 ) i ) ( 3 + 4 i ) = ( ( 1 ) ( 3 ) ) + ( ( 2 ) 4 ) i = 2 6 i

Látjuk, hogy a valós részt úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk egymásból a valós részeket, a megfelelő sorrendben, és hasonlóan számoljuk ki a képzetes részt is.

4. feladat Tekintsük a következő komplex számokat: z 1 = 2 i , z 2 = 6 + i , z 3 = 2 3 i . Számoljuk ki az alábbi kifejezések értékét:

a) ( z 1 + z 2 ) z 3 ,
b) z 1 ( z 2 + z 3 ) .

Megoldás:

a) Mivel z 1 + z 2 = 4 , ezért

( z 1 + z 2 ) z 3 = 4 ( 2 3 i ) = 2 + 3 i .

b) Most z 2 + z 3 = ( 6 + i ) + ( 2 3 i ) = 8 2 i , ezért

z 1 ( z 2 + z 3 ) = ( 2 i ) ( 8 2 i ) = 10 + i .

5. feladat Oldjuk meg a komplex számok halmazán az alábbi egyenletet:

z + 2 + 3 i = 6 i .

Megoldás: Jelöljük a 2 + 3 i komplex számot w -vel. Ekkor az egyenlet

z + w = 6 i  

alakot ölti. Ebből

z = 6 i w ,

azaz

z = ( 6 i ) ( 2 + 3 i ) = 8 4 i .

Persze úgy is eljárhattunk volna, hogy először kivonunk az egyenlet mindkét oldalából 2-t, ekkor kapjuk, hogy

z + 3 i = 8 i ,

majd kivonunk mindkét oldalból 3 i -t, így

z = 8 4 i .

Ellenőrző kérdések: