 |  | Tanulási cél: Megismerni a Taylor- és Maclaurin-sor fogalmát, valamint néhány nevezetes függvény sorfejtését, s ezeket alkalmazni feladatok megoldásában.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 7.
Elméleti összefoglaló:
Legyen az
f
olyan függvény, mely értelmezett az
a ∈ R
rögzített hely egy környezetében, s ott
n
-szer folytonosan differenciálható. Ekkor a
T n ( f , x ) = f ( a ) + 1 1 ! f ' ( a ) . ( x − a ) + 1 2 ! f ″ ( a ) . ( x − a ) 2 + . . . + 1 n ! f ( n ) ( a ) . ( x − a ) n = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k
polinomot az
f
függvény
a
helyen vett
n
-edfokú Taylor-polinomjának nevezzük. (A nulladik derivált magát a függvényt jelenti, azaz
f ( 0 ) ( a ) = f ( a )
, és
0 ! = 1
.)
A Taylor-polinom közelíti az eredeti függvényt. Minél közelebb van
x
az
a
-hoz, és minél magasabb a polinom rendje, a közelítés általában annál jobb.
Ha az
f
függvény
n + 1
-szer folytonosan differenciálható az
[ a − δ , a + δ ]
intervallumon, akkor minden
x ∈ [ a − δ , a + δ ]
-hoz van olyan
ξ
szám az
a
és az
x
között, hogy
f ( x ) = T n ( f , x ) + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! . ( x − a ) n + 1
.
Az
f
függvény ilyen előállítását Taylor-formulának, az
R n + 1 ( f , x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! . ( x − a ) n + 1
kifejezést pedig Lagrange-féle maradéktagnak nevezzük.
Legyen
f
végtelen sokszor differenciálható az
[ a − δ , a + δ ]
intervallumon. Ha valamely
x ∈ [ a − δ , a + δ ]
esetén
R n ( f , x ) → 0
, akkor
f ( x ) = lim n → ∞ T n ( f , x )
, azaz
f ( x ) = f ( a ) + 1 1 ! f ' ( a ) . ( x − a ) + 1 2 ! f ″ ( a ) . ( x − a ) 2 + 1 3 ! f ' ' ' ( a ) . ( x − a ) 3 + . . . = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k
.
Ezt a konvergens végtelen sort az
f
függvény
a
körüli Taylor-sorának nevezzük.
Ha
a = 0
, Maclaurin-polinomról, Maclaurin-formuláról és Maclaurin-sorról beszélünk.
Gyakran alkalmazott sorfejtési technika a következő:
Ha ismert az
f ( x )
függvény Maclaurin-sora, és
g ( x ) = c . x r , c ∈ R , r ∈ Z +
, akkor az
f ( g ( x ) )
összetett függvény Maclaurin-sorát
f
Maclaurin-sorából úgy kaphatjuk meg, hogy
x
helyére
g ( x )
-et helyettesítünk. Ennek gyakori speciális esete, amikor
g ( x ) = c . x
, azaz a belső függvény számszorosa
x
-nek.
Néhány függvény Maclaurin-sora:
e x = 1 + 1 1 ! x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + . . . x ∈ R
sin x = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 − 1 7 ! x 7 + . . . x ∈ R
cos x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 − 1 6 ! x 6 + . . . x ∈ R
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . | x | < 1
ln ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − 1 4 x 4 + . . . | x | < 1
( 1 + x ) α = 1 + α 1 ! x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + . . . | x | < 1, α ∈ R
( binomiális sor)
|
|
|