 |  | 3. feladat Határozzuk meg az
f ( x ) = 1 x + 2
függvény inverz függvényét.
Megoldás: Először is
D f = ( − ∞ , − 2 ) U ( − 2, ∞ )
, hiszen a nevező nem lehet nulla. Az értékkészlet meghatározása egy kicsit bonyolultabb.
Egy függvény értékkészlete azokból az
y
számokból áll, amelyekhez található olyan
D f
-beli
x
, hogy
f ( x ) = y
.
A mi esetünkben ez azt jelenti, hogy
y
benne van az értékkészletben, ha megoldható
x
-re az
y = 1 x + 2
egyenlet. Persze csak olyan
x
jöhet szóba, amelyre
x ≠ 2
.
Az látszik, hogy
y
nem lehet nulla, hiszen a törtünk számlálója soha nem nulla. De
y
bármely nullától különböző szám lehet. (Ezt onnan tudhatjuk, hogy
f
az
1 x
hiperbola eltoltja 2 egységgel balra. A hiperbola elemi alapfüggvény, melynek értékkészlete a nullától különböző számokból áll.)
Ezért
R f = ( − ∞ , 0 ) U ( 0, ∞ )
.
Az
f
függvény nem szigorúan monoton, de kölcsönösen egyértelmű, létezik tehát az inverz függvény. Hátra van meg a képletének előállítása. Ennek érdekében megoldjuk
x
-re az
y = 1 x + 2
egyenletet, feltételezve, hogy
y ≠ 0, x ≠ − 2
. Kapjuk, hogy
x = 1 y − 2
.
Ebből az inverz függvény
f − 1 ( x ) = 1 x − 2
. |
|
|