//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.1. Számsorozat fogalama, monotonitása, korlátossága

Tanulási cél: A számsorozat fogalmának, monotonitásának és korlátosságának megismerése.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 3.

Elméleti összefoglaló:
Számsorozatnak nevezzük az olyan leképezéseket, melyek a természetes számokhoz egy-egy valós számot rendelnek hozzá.
(Az n természetes számhoz rendelt valós számot a sorozat n -edik elemének nevezzük, s pl. a n -nel jelöljük. Magát a sorozatot { a n } jelöli.)

Az { a n } sorozat szigorúan monoton nő, ha minden természetes szám esetén a n + 1 > a n .
Az a n sorozat monoton nő, ha minden természetes szám esetén a n + 1 a n .
(Hasonlóan definiáljuk sorozatok csökkenését.)

Az { a n } sorozat alulról korlátos, ha létezik olyan k valós szám, hogy minden n természetes számra k a n . (Az ilyen k számot(okat) a sorozat alsó korlátjának(jainak) nevezzük.)
(Hasonlóan definiáljuk a felülről korlátosságot.)

Egy számsorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.

Kidolgozott feladatok:

1. feladat Adjunk meg néhány számsorozatot, és határozzuk  meg az első 4 elemüket!

Megoldás:

a) Sorozatot megadhatunk képlet segítségével, pl. a n = 3 n + 5 n + 2 .

Ez úgy értendő, hogy ha pl. a sorozat 1. elemét szeretnénk meghatározni, akkor az elemeket megadó képletben n helyére 1-et kell helyettesítenünk, ha a 2. elemet, akkor 2-t kell helyettesíteni, stb.

Azaz a 1 = 3 . 1 + 5 1 + 2 = 8 3 , a 2 = 3 . 2 + 5 2 + 2 = 11 4 , a 3 = 3 . 3 + 5 3 + 2 = 14 5 , a 4 = 3 . 4 + 5 4 + 2 = 17 6 .

(Az ilyen módon adott sorozatoknak bármelyik elemét egyetlen behelyettesítéssel meg tudjuk határozni.)

b) Sorozatokat megadhatunk úgynevezett rekurziós formulával is, pl.

a 1 = 1, a 2 = 1, a n = 3 a n 1 a n 2 n = 3 , 4, 5 . . .

Ekkor a sorozat első, vagy első néhány eleme adott, a többi pedig olyan képletből számolható, melyben az őt megelőző elem, vagy elemek szerepelnek.
Jelen esetben az első két elem adott, s csak a harmadik elemtől kell a képletből számolnunk.

a 3 = 3 a 2 a 1 = 3 . 1 1 = 2

a 4 = 3 a 3 a 2 = 3 . 2 1 = 5

(Az így megadott sorozatok nagyobb indexű elemeinek számolása nehézkes, hiszen ismernünk kell az összes őt megelőző elemet.)

c) Sorozatot nem csak képlettel adhatunk meg, hanem bármilyen olyan utasítással is, mely a sorozat elemeit egyértelműen meghatározza, pl.

a n = π értéke n tizedesjegy pontossággal, lefelé kerekítve.

Ekkor a 1 = 3.1, a 2 = 3.14, a 3 = 3.141, a 4 = 3.1415 .

(Ilyenkor nagyon fontos az utasítás pontos megadása az elemek egyértelműsége miatt. Most pl. a lefelé kerekítés, hisz különben vitatható, hogy a 3 = 3.141 vagy a 3 = 3.142 .)

2. feladat Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat monotonitás szempontjából!

a n = 2 n , b n = 2 n , c n = ( 2 ) n , d n = 2 n

Megoldás:

a) A definíció szerint a sorozat két szomszédos elemét kell összehasonlítanunk, hogy melyikük nagyobb, azonban ezt nem egy konkrét elempárral kell végrehajtanunk, hanem minden szomszédos elempárral. Ez úgy valósítható meg, ha a sorozat n + 1 -edik elemét az n -edik elemmel vetjük össze, ahol n bármilyen természetes szám lehet. Ehhez fel kell írnunk a sorozat n + 1 -edik elemét, amit  úgy kapunk, ha a sorozat elemeit megadó képletben n helyére n + 1 -et helyettesítünk, azaz

a n + 1 = 2 n + 1 .

De 2 n + 1 = 2 . 2 n = 2 a n , s mivel a n pozitív, ezért a n + 1 > a n .

(Pozitív számnál nagyobb az ő kétszerese.)
Tehát a sorozat szigorúan monoton nő.
(Ebben az esetben a növekedés nyilvánvaló volt, de ez nem mindig ilyen egyértelmű. Ilyenkor célszerű felírni a sorozat első néhány elemét, s ez alapján sejtést felállítani, hogy miként viselkedik a sorozat. Felhívjuk azonban a figyelmet arra, ez nem bizonyító erejű, hiszen mi csupán néhány elemet vizsgálhatunk így meg, míg a sorozatnak végtelen sok eleme van. Most az első 5 elem

a 1 = 2 1 = 2 , a 2 = 2 2 = 4 , a 3 = 2 3 = 8 , a 4 = 2 4 = 16 , a 5 = 2 5 = 32 ,

melyek sejtetik a növekedést.)

b) Számoljunk ki néhány elemet.

a 1 = 2 1 = 1 2 , a 2 = 2 2 = 1 4 , a 3 = 2 3 = 1 8 , a 4 = 2 4 = 1 16

Ezek alapján sejthető, hogy a sorozat csökken. Bizonyítsuk is ezt.

b n + 1 = 2 ( n + 1 ) = 2 1 . 2 n = 1 2 b n

Mivel b n pozitív, ezért a fele kisebb nála, azaz b n + 1 < b n , tehát a sorozat szigorúan monoton csökken.

c) c 1 = ( 2 ) 1 = 2, c 2 = ( 2 ) 2 = 4, c 3 = ( 2 ) 3 = 8 , c 4 = ( 2 ) 4 = 16

Látható, hogy van olyan n , mikor a n + 1 > a n , s van olyan n , mikor a n + 1 < a n . Ezért ez a sorozat nem monoton, nem nő, és nem csökken.
(Vannak sorozatok, melyek bizonyos indexű elemüktől monotonak, bár a sorozat egésze nem monoton. Ez a sorozat nem ilyen, hiszen a páratlan indexű elemek negatívak, a páros indexűek pozitívak, így a növekedés és csökkenés folyamatosan váltakozik.)

d) Számoljuk ki a sorozat első négy elemét.

d 1 = ( 2 1 ) = 1 2 , d 2 = ( 2 2 ) = 1 4 , d 3 = ( 2 3 ) = 1 8 , d 4 = ( 2 4 ) = 1 16

Ezek egyre nagyobbak, bizonyítsuk, hogy a sorozat nő.

d n + 1 = ( 2 ( n + 1 ) ) = ( 2 1 . 2 n ) = 1 2 [ ( 2 n ) ] = 1 2 d n

Mivel d n negatív, ezért az ő fele nagyobb nála, azaz d n + 1 > d n .
A sorozat tehát valóban szigorúan monoton nő.

3. feladat Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatokat korlátosság szempontjából, s ha van, adjunk meg alsó ill. felső korlátot!

a n = n 2 , b n = 4 n , c n = sin n π 6 , d n = ( 2 ) n

Megoldás:

a) Az első néhány elem:

a 1 = 1 2 = 1 , a 2 = 2 2 = 4 , a 3 = 3 2 = 9 , a 4 = 4 2 = 16

Mivel a sorozat elemeit nem 0 számok négyzeteként kapjuk, ezért minden elem nagyobb mint 0, tehát alulról korlátos a sorozat, és a 0 egy alsó korlát. Az is látható, s könnyen bizonyítható is, hogy a sorozat szigorúan monoton nő, tehát az első eleme a legkisebb, így ez is alsó korlát. Ha egy sorozatnak van egy alsó korlátja, akkor végtelen sok alsó korlátja is van, hiszen az ennél kisebb összes szám is alsó korlát lesz. Az alsó korlátok tehát egy halmazt alkotnak. Ebben a halmazban mindig van egy legnagyobb elem, melyet a legjobb alsó korlátnak nevezhetünk. Ez jelen esetben az 1.
Felülről nyilván nem korlátos a sorozat, hiszen bármilyen nagy számot mondunk is, létezik olyan természetes szám, amelynek a négyzete nagyobb ennél a számnál, azaz a sorozatnak, bármely számnál van nagyobb eleme.

b) b 1 = 4 1 = 3 , b 2 = 4 2 , b 3 = 4 3 , b 4 = 4 4 = 2

Ez a sorozat felülről korlátos, mert elemeit úgy kapjuk, hogy 4-ből valamilyen pozitív értéket kivonunk. Ezért a sorozat minden eleme kisebb lesz mint 4, tehát a 4 felső korlát. Hasonlóan mint az előző sorozatnál, most az is könnyen belátható, hogy a sorozat csökken, s eszerint az első elem a legnagyobb. Ez most 3, tehát ez is felső korlát, s ez a felső korlátok közül a legkisebb, azaz a legjobb felső korlát.
Alulról azonban nem korlátos a sorozat, mert n bármilyen nagy értéknél nagyobbat is felvesz, így 4 n bármilyen kicsi  számnál is felvesz kisebb értéket.

c) c 1 = sin 1 . π 6 = 1 2 , c 2 = sin 2 . π 6 = 3 2 , c 3 = sin 3 . π 6 = 1 , c 4 = sin 4 . π 6 = 3 2

Ez a sorozat alulról és felülről is korlátos, hiszen bármely szám sin-a a [ 1 ; 1 ] intervallumba esik, azaz 1 c n 1 minden természetes szám esetén. Eszerint -1 alsó, 1 pedig felső korlátja a sorozatnak. Ezek a legjobb korlátok, mert pl. a sorozat harmadik eleme 1, a kilencedik eleme -1.

d) d 1 = ( 2 ) 1 = 2 , d 2 = ( 2 ) 2 = 4 , d 3 = ( 2 ) 3 = 8 , d 4 = ( 2 ) 4 = 16

A sorozat sem alulról, sem felülről nem korlátos, mert a páratlan indexű elemek negatívak és abszolút értékük minden határon túl növekszik, a páros indexűek pedig pozitívak, s minden határon túl növekszenek.
(Ezt úgy is mondhatjuk, hogy a páratlan indexű elemek a sorozatnak egy olyan részsorozatát alkotják, mely alulról nem korlátos, a páros indexűek pedig egy olyan részsorozatot alkotnak, mely felülről nem korlátos.)

4. feladat Vizsgáljuk meg az a n = 2 n + 7 6 n 5 sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából, s ha korlátos, adjunk meg alsó és felső korlátot!

Megoldás:

Hasonlítsuk össze a sorozat két szomszédos elemét nagyság szempontjából. Ezt úgy is megtehetjük, hogy különbségüket vesszük, ennek előjeléből állapítjuk meg, melyik nagyobb. Ehhez fel kell írnunk az n + 1 -edik elemet.

a n + 1 = 2 ( n + 1 ) + 7 6 ( n + 1 ) 5 = 2 n + 9 6 n + 1

Vegyük a különbséget.

a n + 1 a n = 2 n + 9 6 n + 1 2 n + 7 6 n 5

Hozzunk közös nevezőre.

a n + 1 a n = ( 2 n + 9 ) ( 6 n 5 ) ( 2 n + 7 ) ( 6 n + 1 ) ( 6 n + 1 ) ( 6 n 5 )

Végezzük el a számlálóban a szorzásokat.

a n + 1 a n = ( 12 n 2 + 54 n 10 n 45 ) ( 12 n 2 + 42 n + 2 n + 7 ) ( 6 n + 1 ) ( 6 n 5 )

Vonjunk össze a számlálóban.

a n + 1 a n = 52 ( 6 n + 1 ) ( 6 n 5 )

Olyan törtet kaptunk, melynek számlálója negatív, nevezője pedig pozitív, tehát a tört negatív.
(A nevezőben szereplő két tényező mindegyike pozitív, mert n 1 természetes szám.)
Eszerint a n + 1 a n < 0 a n + 1 < a n minden természetes szám esetén, azaz a sorozat szigorúan monoton csökken.

Ha a sorozat csökkenő, első eleme a legnagyobb, tehát felülről korlátos, s az első elem

a 1 = 2 . 1 + 7 6 . 1 5 = 9 a legjobb felső korlát.
Mivel a n = 2 n + 7 6 n 5 olyan tört, melynek számlálója és nevezője is pozitív ( n 1 természetes szám), ezért az egész tört is pozitív. Tehát a sorozat minden eleme nagyobb 0-nál, így a sorozat alulról is korlátos, s egyik alsó korlát a 0.

Ennél jobb alsó korlátot is találhatunk, ha átalakítjuk a sorozat elemeit megadó képletet.

a n = 2 n + 7 6 n 5 = 1 3 ( 6 n 5 ) + 5 3 + 7 6 n 5 = 1 3 + 26 3 6 n 5 = 1 3 + 26 18 n 15

Így olyan kifejezést kaptunk, melyben 1 3 -hoz egy pozitív törtet adunk, azaz a sorozat minden eleme nagyobb 1 3 -nál, tehát ez is alsó korlát.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mi az a n = 3 n 2 5 n + 4 sorozat 17. eleme?
 
51 93
 
49 89
 
47 91
 
47 89
 

2. kérdés: Mi az a n = 7 n + 3 2 n + 5 sorozat n + 1 -edik eleme?
 
7 n + 3 2 n + 5 + 1
 
7 n + 1 + 3 2 n + 1 + 5
 
7 ( n + 1 ) + 3 2 ( n + 1 ) + 5
 
7 ( n + 1 ) + 3 2 ( n + 1 ) + 5 + 1
 

3. kérdés: Hogyan viselkedik monotonitás szempontjából az a n = ( 1 2 ) n sorozat?
 
Szigorúan monoton nő.
 
Monoton nő.
 
Szigorúan monoton csökken.
 
Monoton csökken.
 
Nem monoton.
 

4. kérdés: Hogyan viselkedik monotonitás szempontjából az a n = 2 n 7 5 n 3 sorozat?
 
Szigorúan monoton nő.
 
Monoton nő.
 
Szigorúan monoton csökken.
 
Monoton csökken.
 
Nem monoton.
 

5. kérdés: Hogyan viselkedik korlátosság szempontjából az a n = ( 1 2 ) n sorozat?
 
Alulról korlátos, felülről nem.
 
Felülről korlátos, alulról nem.
 
Alulról és felülről is korlátos.
 
Alulról és felülről sem korlátos.
 

6. kérdés: A következő számok közül melyik nem alsó vagy felső korlátja az a n = 5 n + 13 2 3 n sorozatnak?
 
10
 
-1
 
-10
 
-20