//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 1. Komplex számok

1.2. Komplex számok szorzása és a konjugálás művelete

Tanulási cél: A szorzás és a konjugálás műveletének megismerése, a műveleti azonosságok begyakorlása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.1. és 2.2.
Elméleti összefoglaló:

A szorzás definíciója:

( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c b d ) + ( b c + a d ) i .
A szorzás kommutatív művelet, azaz

z 1 z 2 = z 2 z 1 .

A szorzás asszociatív művelet, azaz

( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) .

A szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz

z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 .

A z = a + b i komplex szám konjugáltja a z ¯ = a b i .

A konjugálás idempotens művelet, azaz

z ¯ ¯ = z .

Összeget tagonként lehet konjugálni, azaz

z 1 + z 2 ¯ = z 1 ¯ + z 2 ¯ .

Szorzatot tényezőnként lehet konjugálni, azaz

z 1 z 2 ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯ .

Ezek a képletek többtagú összegre vagy többtényezős szorzatra is érvényesek.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Végezzük el az ( 1 + i ) ( 2 + 4 i ) szorzást.

Megoldás:

A szorzás definíciója szerint

( 1 + i ) ( 2 + 4 i ) = ( 1 . 2 1 . 4 ) + ( 1 . 4 + 1 . 2 ) i = 2 + 6 i .

Eljárhatunk úgy is, hogy minden tagot megszorzunk minden taggal, majd figyelembe véve, hogy i 2 = 1 , összevonjuk az azonos nemű tagokat:

( 1 + i ) ( 2 + 4 i ) = 2 + 2 i + 4 i + 4 i 2 = 2 + 2 i + 4 i 4 = 2 + 6 i .

Ez utóbbi gyakran biztonságosabb, mint a definíció közvetlen alkalmazása.
2. feladat Mivel egyenlő ( 2 i ) 2 ?

Megoldás:

( 2 i ) 2 = ( 2 i ) ( 2 i ) = 4 2 i 2 i + i 2 = 4 2 i 2 i 1 = 3 4 i .

De alkalmazhatjuk a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó formulát is, hiszen a komplex számok körében - egy-két kivételtől eltekintve - minden, a valós számokra megismert azonosság ugyanúgy igaz.

Ekkor azt kapjuk, hogy

( 2 i ) 2 = 2 2 4 i + i 2 = 4 4 i 1 = 3 4 i .

A két eredmény természetesen ugyanaz.
3. feladat Legyen z 1 = 2 i , z 2 = 3 + 2 i . Számoljuk ki a ( z 1 + 3 i ) ( 2 z 2 z 1 ) kifejezés értékét.

Megoldás:

Először is z 1 + 3 i = 2 + 2 i . A szorzás definíciója persze a valós számmal, mint speciális komplex számmal való szorzást is mágában foglalja és a definíció arra egyszerűsödik, hogy valós számmal úgy szorzunk komplex számot, hogy megszorozzuk mind a valós, mind a képzetes részt.

Ezért

2 z 2 = 6 + 4 i ,

és így

2 z 2 z 1 = 4 + 5 i .

Ezeket felhasználva

( z 1 + 3 i ) ( 2 z 2 z 1 ) = ( 2 + 2 i ) ( 4 + 5 i ) = 8 + 8 i + 10 i + 10 i 2 = 2 + 18 i .
4. feladat Számoljuk ki az 1 + i 6 + i 8 kifejezést.

Megoldás:

Ha elkezdjük kiszámolni a képzetes egység hatványait ezt kapjuk:

i 0 = 1 ,
i 1 = i ,
i 2 = 1 ,
i 3 = i ,
i 4 = 1 , ami ugyanaz, mint i 0 ,
i 5 = i , ami ugyanaz, mint i 1 , ... és így tovább, a hatványok ciklikusan ismétlődnek.

Tehát

i 6 = i 4 i 2 = i 2 = 1 ,

és

i 8 = i 4 i 4 = 1 .

Ezeket felhasználva

1 + i 6 + i 8 = 1 + ( 1 ) + 1 = 1 .
5. feladat Mivel egyenlő i 2361 ?

Megoldás:

Mivel 2361 = 4 . 590 + 1 , ezért

i 2361 = i 4 . 590 + 1 = i 4 . 590 . i 1 = ( i 4 ) 590 . i = 1 590 . i = 1 . i = i .

Láthatjuk tehát, hogy amikor a képzetes egység természetes szám kitevőjű hatványát számoljuk csak a kitevő néggyel vett osztási maradéka számít.
6. feladat Számoljuk ki  a ( 2 + 6 i ) ( 3 i ) ( 4 + 5 i ) kifejezést.

Megoldás:

Mivel a szorzás kommutatív és asszociatív, bármelyik két szám szorzatát megszorozva a harmadikkal megkapjuk a kifejezés értékét. Például

( 2 + 6 i ) ( 4 + 5 i ) = 8 + 24 i + 10 i + 30 i 2 = 22 + 34 i ,

és így

( 22 + 34 i ) ( 3 i ) = 66 + 102 i + 22 i 34 i 2 = 66 + 124 i + 34 = 32 + 124 i .
7. feladat ( 2 + 3 i ) ( 2 3 i ) = ?

Megoldás:

( 2 + 3 i ) ( 2 3 i ) = 4 + 6 i 6 i 9 i 2 = 4 + 6 i 6 i + 9 = 13 .

Vegyük észre, hogy egy komplex számot szoroztunk meg a konjugáltjával és eredményül egy valós számot kaptunk. Ennek később még szerepe lesz.
8. feladat Tekintsük a z 1 = i és a z 2 = 4 + 3 i komplex számokat. Számoljuk ki z 1 z 2 ¯ értékét.

Megoldás:

Mivel

z 1 z 2 = i ( 4 + 3 i ) = 4 4 i ,

tehát

z 1 z 2 ¯ = 4 4 i ¯ = 4 + 4 i .

De, mivel összeget tagonként lehet konjugálni, számolhattunk volna így is:

z 1 z 2 ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯ = i ¯ 4 + 3 i ¯ = i ( 4 3 i ) = 4 + 4 i .
9. feladat Legyen z 1 = 2 i és z 2 = 1 + 3 i . Mivel egyenlő ( ( z 1 + z 2 ¯ ) ¯ ) 2 ?

Megoldás:

Bonyolult kifejezések értékét általában sokféle úton ki lehet számolni.

Járjunk el most a következőképpen. Először is

z 2 ¯ = 1 3 i ,

így

z 1 + z 2 ¯ = ( 2 i ) + ( 1 3 i ) = 1 4 i ,

amiből

z 1 + z 2 ¯ ¯ = 1 + 4 i .  

Végül is tehát

( ( z 1 + z 2 ¯ ) ¯ ) 2 = ( 1 + 4 i ) ( 1 + 4 i ) = 1 + 4 i + 4 i + 16 i 2 = 15 + 8 i .
10. feladat Oldjuk meg a komplex számok halmazán az alábbi egyenletet.

z + ( 2 + i ) ¯ = 6 + 4 i .

Megoldás:

Vegyük mindkét oldal konjugáltját:

z + ( 2 + i ) ¯ ¯ = 6 + 4 i ¯ .

Mivel a konjugált konjugáltja az eredeti szám, arra jutunk, hogy

z + ( 2 + i ) = 6 4 i .

Ebből

z = ( 6 4 i ) ( 2 + i ) = 4 5 i .

Egy másik lehetséges megoldás lépései az alábbiak:

z + ( 2 + i ) ¯ = 6 + 4 i ,

z ¯ + 2 + i ¯ = 6 + 4 i ,

z ¯ + ( 2 i ) = 6 + 4 i ,

z ¯ = ( 6 + 4 i ) ( 2 i ) = 4 + 5 i ,

z = 4 5 i .
Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mivel egyenlő ( 2 + i ) ( 3 2 i ) ?
 
4 + 7 i
 
4 + 7 i
 
4 7 i
 
7 4 i
 

2. kérdés: ( 3 + 4 i ) 2 = ?
 
7 24 i
 
7 + 24 i
 
7 24 i
 
7 + 24 i
 

3. kérdés: Legyen z 1 = 1 2 i , z 2 = 3 i . Mivel egyenlő ( 3 z 1 + z 2 ) ( 2 z 2 i ) ?
 
42 + 21 i
 
21 + 42 i
 
15 60 i
 
21 42 i
 

4. kérdés: 2 i 5 + i 9 i 13 = ?
 
2 i
 
1 2 i
 
2 + i
 
1 + 2 i
 

5. kérdés: i 6442 = ?
 
i
 
1
 
1
 
i
 

6. kérdés: ( ( 2 4 i ) 2 + 2 ) 2 = ?
 
156 + 320 i
 
156 + 320 i
 
156 + 322 i
 
156 320 i
 

7. kérdés: ( 4 + i ¯ ) ( 2 i ) ¯ = ?
 
2 + 2 i
 
9 + 2 i
 
9 2 i
 
9 2 i
 

8. kérdés: Legyen z 1 = 2 + i , z 2 = 3 2 i . Mivel egyenlő ( ( z 1 + z 2 ¯ ) ( z 1 ¯ z 2 ) ) 2 ?
 
5 10 i
 
10 i
 
10 5 i
 
132 + 224 i
 

9. kérdés: ( ( ( ( 1 + i ) 2 + i ) 2 + i ) 2 = ?
 
80 18 i
 
80 + 18 i
 
18 + 80 i
 
18 80 i