 |  | Tanulási cél: Az Argand diagram és a trigonometrikus alak megismerése, komplex szám trigonometrikus alakra való átírásának begyakorlása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.3.
Elméleti összefoglaló:
A komplex számok ábrázolása
Tekintsük a síkon azt a derékszögű koordináta rendszert, amelynek vízszintes tengelyén - az úgynevezett valós tengelyen - az
1
valós szám az egység, a függőleges tengelyén pedig - az úgynevezett képzetes tengelyen - az
i
komplex szám az egység.
Ekkor a
z = a + b i
komplex szám az
( a , b i )
koordinátájú ponttal ábrázolható.
Ez az ábrázolás az Argand diagram.
Így a komplex számok és a sík pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre.
Szokás a komplex számot a koordináta rendszer origójából az
( a , b i )
koordinátájú pontba mutató vektorral is ábrázolni. Mi is ezt fogjuk használni.
A trigonometrikus alak
Minden nullától különböző
z = a + b i
komplex szám egyértelműen felírható
z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )
alakban, ahol az
r > 0
valós szám a komplex szám hossza, vagy abszolút értéke, és az
r = a 2 + b 2
,
képlettel számolható,
ϕ
a komplex szám szöge, vagy argumentuma,
ez az a szög, amellyel a valós tengely pozitív felét az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy a komplex számot ábrázoló vektor irányára essen.
Erre a szögre teljesül, hogy
0 o ≤ ϕ < 360 o
, és
a ≠ 0
esetén
tg ϕ = b a
.
Mivel a tangens függvény
180 o
szerint periódikus,
0 o
és
360 o
között két olyan szög van, amelynek a tangense egy adott érték, ezért a
ϕ
meghatározása mindig a komplex szám ábrázolása és az argumentum berajzolása után történik az alábbi módon:
1) Ha a
z
a valós tengelyre esik, azaz
b = 0
, akkor
a > 0
esetén
ϕ = 0 o
,
a < 0
esetén
ϕ = 180 o
.
2) Ha a
z
a képzetes tengelyre esik, azaz
a = 0
, akkor
b > 0
esetén
ϕ = 90 o
,
b < 0
esetén
ϕ = 270 o
.
3) A többi esetben, azaz, ha
a ≠ 0
és
b ≠ 0
,
ϕ
meghatározása egy
δ
segédszög segítségével történik. Ennek a
δ
szögnek a definíciója a következő:
A koordináta rendszer origóját jelöljük
O
-val, a komplex számot ábrázoló vektor végpontját
Z
-vel. Vetítsük le
Z
-t merőlegesen a vízszintes tengelyre és legyen a talppont
T
. Az
O T Z
derékszögű háromszög
O
-nál lévő szöge a
δ
. Erre a szögre teljesül, hogy
0 o < δ < 90 o
, és értéke a
tg δ = | b | | a |
képletből számológéppel kiszámolható.
Ezek után,
ha
z
az első negyedben van, azaz
a > 0, b > 0
, akkor
ϕ = δ
,
ha
z
a második negyedben van, azaz
a < 0, b > 0
, akkor
ϕ = 180 o − δ
,
ha
z
a harmadik negyedben van, azaz
a < 0, b < 0
, akkor
ϕ = 180 o + δ
,
végül
ha
z
a negyedik negyedben van, azaz
a > 0, b < 0
, akkor
ϕ = 360 o − δ
.
Ez egy ijesztően hosszú és bonyodalmas definíciónak tűnhet, de látni fogjuk rögtön, hogy nem olyan bonyolult a használata. |
|
|