 |  | 3. feladat Határozzuk meg a
∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + 5 k + 4
sor esetén
S 3
értékét, majd döntsük el konvergens vagy divergens a sor, s ha konvergens, akkor adjuk meg a sorösszeget!
Megoldás: A 3. részletösszeg meghatározásához az
a n = 1 n 2 + 5 n + 4
sorozat első három elemét kell összeadnunk.
S 3 = 1 1 2 + 5 . 1 + 4 + 1 2 2 + 5 . 2 + 4 + 1 3 2 + 5 . 3 + 4 = 1 10 + 1 18 + 1 28 = 241 1260
A konvergencia eldöntéséhez most elvileg úgy kellene eljárnunk, mint az előző feladatban, a részletösszegek sorozatánal határértékét kellene meghatároznunk. Ez általában nem könnyű feladat, így ha lehtőségünk van rá, akkor egy sort megpróbálunk visszavezetni olyan sorra, amelyet már ismerünk. Vegyük észre, hogy a részletösszegben szereplő tagok
1 10 , 1 18 , 1 28
az előző feladatban a 4. részletösszegében is előfordultak, de ott még egy tag, az
1 4
is előttük volt. Ezek alapján az sejthető, hogy ez a sor lényegében azonos az előző feladatban szereplővel, csak abból elhagytuk az első tagot. Ennek bizonyításához tekintsük az összegzett sorozatot definiáló kifejezést, és alakítsuk szorzattá a nevezőt.
A nevező gyökei:
n 1,2 = − 5 + − 25 − 16 2 = { − 1 − 4
.
Ebből
k 2 + 5 k + 4 = ( k − ( − 1 ) ) ( k − ( − 4 ) ) = ( k + 1 ) ( k + 4 )
,
illetve
1 k 2 + 5 k + 4 = 1 ( k + 1 ) ( k + 4 ) = 1 ( k + 1 ) ( ( k + 1 ) + 3 )
.
A nevezőben szereplő tényezők tehát pontosan eggyel nagyobbak, mint az előző feladatban, azaz a sejtésünk igaz, az előző feladatban szereplő sor első tagját elhagyva kapjuk az ezen feladatban levő sort. (Formálisan azt tehetnénk, hogy
k + 1
helyére
k
-t írunk, s az összegzést nem egytől hanem kettőtől indítjuk.)
Mivel véges sok tag elhagyása vagy hozzávétele nem befolyásolja egy sor konvergenciáját, ezért ezen sor is konvergens lesz, s az összeget az előző feladat eredményét felhasználva kapjuk.
∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + 5 k + 4 = ∑ k = 2 ∞ 1 k 2 + 3 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 + 3 k − 1 4 = 11 18 − 1 4 = 13 36
A sorösszeg tehát
13 36
.
Megjegyzés: A sorokban az összegzést általában 1-től indítjuk, de indíthatjuk máshonnan is. Mint a feladatból látható, ha 1-nél magasabbról indulunk, akkor tagokat kell elhagyni a sorból, ha 0-tól vagy negatív számtól indulunk, akkor pedig tagokat kell hozzávennünk a sorhoz.
|
|
|