//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.2. Műveletek függvények körében

Tanulási cél: A műveletek elvégzésének begyakorlása, különös tekintettel a kompozíció műveletére.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 5.1.  

Elméleti összefoglaló: Az aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) definíciója szinte magától értetődő.

Nem fogjuk a továbbiakban minden esetben vizsgálni, hogy a műveletek elvégzésével kapott függvénynek mi az értelmezési tartománya, és hogy az hogyan kapható meg az eredeti függvények értelmezési tartományaiból.

Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy a függvények hozzárendelési utasításán végrehajtott egyszerűsítések gyakran megváltoztatják az értelmezési tartományt.

Például az x x 2 + x hozzárendelési utásítású függvény, és a belőle egyszerűsítéssel kapott
1 x + 1 hozzárendelési utásitású függvény két különböző függvény, hiszen az egyik értelmezve van a nullában, a másik nincs. Persze, ahol mindkettő értelmezve van ott azonos függvényeket definiálnak.

A g ( f ( x ) ) kompozícióban a g függvény a külső függvény és az f függvény a belső függvény. A kompozíció képletének előállításakor fontos, hogy a belső függvény hat először, és ezt követi a külső függvény. Ez a legfontosabb függvényművelet, biztos ismerete a későbbiekben alapvető lesz.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Tekintsük az f ( x ) = x + 1 és a g ( x ) = x 1 függvényt. Határozzuk meg a h = f + g összeg függvényt és a k = f . g szorzat függvényt.

Megoldás: Az f függvény mindenütt értelmezve van, a g függvény az 1-nél nagyobb vagy egyenlő számok halmazán, ezért

D h = D k = [ 1, ) .

A h függvény hozzárendelési utasítása

h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = ( x + 1 ) + x 1 ,

a k függvény hozzárendelési utasítása pedig

k ( x ) = f ( x ) . g ( x ) = ( x + 1 ) x 1 .
2. feladat Legyen f ( x ) = ( x + 1 ) 2 és g ( x ) = x 1 . Határozzuk meg a h = f g és a k = f g függvényeket.

Megoldás: Kezdjük a különbséggel. Mivel mindkét függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza, így D h = R .
A hozzárendelési utasítás pedig

h ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x 1 ) = x 2 + x + 2 .

A k függvény értelmezési tartományába a g függvény zérushelye nem tartozik bele, így D k = R { 1 } = ( , 1 ) U ( 1, ) . A fozzárendelési utasítás pedig

k ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x + 1 ) 2 x 1 .
3. feladat Tekintsük az f ( x ) = x 2 + 3 x 2 függvényt. Mivel egyenlő f ( x 2 ) és f ( 1 x ) ?

Megoldás: Egy függvény hozzárendelési utasítása mondja meg, hogy az mit rendel az argumentumához.

Most a hozzárendelési utasítás azt mondja, hogy az argumentum négyzetéhez hozzá kell adni az argumentum háromszorosát és ebból levonni kettőt. Bármi is az argumentum, feltéve persze, hogy az értelmezési tartományban van. Ez most a valós számok halmaza, ezzel tehát nem lehet gond. Ezért

f ( x 2 ) = ( x 2 ) 2 + 3 ( x 2 ) 2 = x 2 4 + 3 2 x 2 .

Hasonlóan, feltéve, hogy x 0

f ( 1 x ) = ( 1 x ) 2 + 3 ( 1 x ) 2 = 1 x 2 + 3 x 2 .
4. feladat Tekinsük az f ( x ) = x 1 és a g ( x ) = x 1 függvényeket. Határozzuk meg a g ( f ( x ) ) és az f ( g ( x ) ) függvények hozzárendelési utasítását.

Megoldás: A g ( f ( x ) ) kompozícióban a g függvény az f ( x ) -re, azaz az x 1 -re fejti ki hatását. Mivel a g függvény hatása az, hogy gyököt von az argumentumából és abból még levon 1-et, azt kapjuk, hogy

g ( f ( x ) ) = g ( x 1 ) = x 1 1 .

Megjegyezzük, hogy így is számolhattunk volna:

g ( f ( x ) ) = f ( x ) 1 = x 1 1 .

Hasonlóan

f ( g ( x ) ) = f ( x 1 ) = ( x 1 ) 1 = x 2 ,

mivel az f úgy hat, hogy az argumentumából levon 1-et.

Mindez a másik felírási móddal:

f ( g ( x ) ) = g ( x ) 1 = ( x 1 ) 1 = x 2 .
5. feladat Legyen f ( x ) = e x 1 és g ( x ) = x + 1 x . Írjuk fel mind a két sorrendű kompozíció képletét.

Megoldás:  

g ( f ( x ) ) = g ( e x 1 ) = e x 1 + 1 e x 1 ,

vagy a másik felírási móddal

g ( f ( x ) ) = f ( x ) + 1 f ( x ) = e x 1 + 1 e x 1 .

Hasonlóan

f ( g ( x ) ) = f ( x + 1 x ) = e x + 1 x 1 ,

vagy

f ( g ( x ) ) = e g ( x ) 1 = e x + 1 x 1 .

A kétfajta felírási mód közül használja az olvasó a számára természetesebbet. Mi a továbbiakban csak az egyiket adjuk meg.
6. feladat Legyen f ( x ) = x 2 + x + 2 . Határozzuk meg f ( f ( x ) ) képletét.

Megoldás:

f ( f ( x ) ) = f ( x 2 + x + 2 ) = ( x 2 + x + 2 ) 2 + ( x 2 + x + 2 ) + 2 = x 4 + 2 x 3 + 6 x 2 + 5 x + 8 .
7. feladat Tekintsük az f ( x ) = x + 1 x 1 és a g ( x ) = x 1 x + 1 függvényeket. Írjuk fel g ( f ( x ) ) képletét.

Megoldás:

g ( f ( x ) ) = g ( x + 1 x 1 ) = x + 1 x 1 1 x + 1 x 1 + 1 = ( x + 1 ) ( x 1 ) ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 1 x .

Noha a kompozíció általában bonyolultabb függvény, mint a külső és a belső függvény, a példánk mutatja, hogy ez fordítva is lehet.
8. feladat Tudjuk, hogy f ( x 2 ) = x 2 + 3 x 1 . Mivel egyenlő f ( x ) ?

Megoldás: Az a feladatunk, hogy kifejezzük x 2 + 3 x 1 -et az x 2 függvényeként. Amit x 2 -vel csinálni kell, hogy belőle x 2 + 3 x 1 legyen, az a keresett hozzárendelési utasítás.

Mivel könnyen látható, hogy

x 2 + 3 x 1 = 4 ( x 2 ) 2 + 6 ( x 2 ) 1 ,

ezért a keresett hozzárendelési utasítás:

f ( x ) = 4 x 2 + 6 x 1 .
9. feladat Ha f ( x + 1 x ) = x 2 + 1 x 2 , mivel egyenlő f ( x ) ?

Megoldás: Most azt keressük, hogy mit kell az x + 1 x -el csinálni, hogy belőle x 2 + 1 x 2 legyen.

Vegyük észre, hogy

( x + 1 x ) 2 = x 2 + 2 + 1 x 2 ,

ahonnan

x 2 + 1 x 2 = ( x + 1 x ) 2 2 .

Tehát

f ( x ) = x 2 2 .
10. feladat Bontsuk fel két függvény kompozíciójára h ( x ) = x 2 + 1 függvényt.

Megoldás: Az egyik lehetséges megoldás a következő:

Legyen f ( x ) = x 2 + 1 és g ( x ) = x . Ekkor

h ( x ) = g ( f ( x ) ) ,

hiszen

g ( f ( x ) ) = g ( x 2 + 1 ) = x 2 + 1 .

De eljárhattunk volna máshogy is.

Legyen u ( x ) = x 2 és v ( x ) = x + 1 .

Ekkor

h ( x ) = v ( u ( x ) ) ,

hiszen

v ( u ( x ) ) = u ( x ) + 1 = x 2 + 1 .

Látjuk tehát, hogy összetett függvényt általában többféleképpen lehet egyszerűbb függvények kompozíciójára bontani. Hogy a lehetőségek közül melyiket célszerű választani, azt az dönti el, hogy a továbbiakban mire akarjuk használni a felbontást.

Ez az eljárás, tehát egy összetett függvény felbontása egyszerűbb függvények kompozíciójára, a későbbiekben igen fontos lesz, és nagyon gyakran fog szerepelni. Ezért az olvasó ezt igen alaposan gyakorolja be.
11. feladat Bontsuk fel a h ( x ) = e x 3 x függvényt két függvény kompozíciójára.

Megoldás: Először egy jelöléssel kapcsolatos megjegyzés. Az a b c alakú hatványoknál felmerül, hogy ez a ( b c ) , vagy ( a b ) c rövidítése-e, ez a kettő ugyanis nem ugyanaz. Például 2 ( 3 2 ) = 2 9 = 512 , de ( 2 3 ) 2 = 8 2 = 64 . Az a konvenció, hogy

a b c = a ( b c ) .

Mostmár egy lehetséges felbontás

f ( x ) = x 3 ,

g ( x ) = e x x 3 .

Ekkor valóban

h ( x ) = g ( f ( x ) ) ,

hiszen

g ( f ( x ) ) = g ( x 3 ) = e x 3 x 3 3 = e x 3 x .

(Az volt itt a lényeg, hogy mivel az eredeti függvényben x 3 és x is szerepel, kifejeztük az x -et x 3 -bel.)
12. feladat Bontsuk fel a u ( x ) = 2 sin 2 x függvényt három függvény kompozíciójára.

Megoldás: Most is több megoldás van, ezek közül talán a legtermészetesebb az alábbi.

Legyen f ( x ) = sin 2 x , g ( x ) = 2 x és h ( x ) = x .

Ekkor u ( x ) = h ( g ( f ( x ) ) ) ,

hiszen

h ( g ( f ( x ) ) ) = h ( g ( sin 2 x ) ) = h ( 2 sin 2 x ) = 2 sin 2 x .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Legyen f ( x ) = 2 x 5 . Ekkor f ( x 2 ) =
 
x 5 2 .
 
x 5 .
 
2 x 5 2 .
 
x 10 .
 

2. kérdés: Legyen f ( x ) = 2 x + 5 . Ekkor f ( 2 x ) =
 
1 x + 5 .
 
4 x + 5 2 .
 
1 x + 5 2 .
 
4 x + 5 .
 

3. kérdés: Legyen f ( x ) = 3 x 2 . Ekkor f ( f ( x ) ) =
 
9 x 8 .
 
9 x 2 .
 
9 x 2 8 .
 
9 x 2 4 .
 

4. kérdés: Legyen f ( x ) = 1 x és g ( x ) = x + 1 . Ekkor g ( f ( x ) ) =
 
2 x .
 
x x + 2 .
 
2 x .
 
2 x 4 .
 

5. kérdés: Legyen f ( x ) = sin ( 1 x ) és g ( x ) = ( 1 x ) 2 . Ekkor g ( f ( x ) ) =
 
sin ( 1 x ) 2 .
 
1 2 sin ( 1 x ) + sin 2 ( 1 x ) .
 
sin 2 ( 1 x ) .
 
sin ( 2 x x 2 ) .
 

6. kérdés: Ha g ( f ( x ) ) = x 2 5 és g ( x ) = x 5 , akkor f ( x ) =
 
x 2 .
 
x 5 .
 
( x 5 ) 2 .
 
x + 5 .
 

7. kérdés: Ha g ( f ( x ) ) = x és g ( x ) = 1 + 1 x , akkor f ( x ) =
 
1 x + 1 .
 
1 x + 1 .
 
1 x 1 .
 
1 x 1 .