 |  | Tanulási cél: A differenciálhányados és a derivált függvény fogalmának megismerése, a legegyszerűbb deriválási szabályok begyakorlása, és a függvénygörbe adott pontjában húzható érintő egyenletére vonatkozó képlet megismerése.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.1.1., 6.1.2.
Elméleti összefoglaló: Az
f
függvény az
x 0 ∈ D f
pontban differenciálható, ha a
lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0
határérték létezik, és értéke egy véges szám. Ilyenkor ezt a határértéket hívjuk az
f
függvény
x 0
-beli differenciálhányadosának. Ezt
f ' ( x 0 )
jelöli, azaz
lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = f ' ( x 0 )
.
Adott
f
függvény esetén azt a függvényt, amely ott van értelmezve, ahol az
f
függvény differenciálható, és minden ilyen számhoz az
f
függvény itteni differenciálhányadosát rendeli, az
f
függvény derivált függvényének hívjuk. Ezt a függvényt
f '
jelöli.
A derivált függvény a későbbiekben rendkívül fontosnak fog bizonyulni, és alapvető, hogy minnél több függvénynek meg tudjuk határozni a derivált függvényét. A következő néhány lecke ennek a begyakorlásában kíván segítséget nyújtani.
A derivált függvény meghatározását az elemi alapfüggvények, az úgynevezett alapderiváltak, és a deriválási szabályok ismeretében lehet elvégezni. Nyomatékkal felhívjuk ezek biztos ismeretére az olvasó figyelmét.
A két legegyszerűbb deriválási szabály az összegre és a számszorosra vonatkozó. Ezek
( f ( x ) + g ( x ) ) ' = f ' ( x ) + g ' ( x )
,
( c . f ( x ) ) ' = c . f ' ( x )
.
Szavakban: összeget tagonként lehet deriválni, és deriváláskor a konstans szorzó változatlan marad.
Ezekből következik, hogy
( f ( x ) − g ( x ) ) ' = f ' ( x ) − g ' ( x )
.
Fontos szabály, hogy a konstans függvény deriváltja a konstans nulla függvény, azaz
ha
f ( x ) = c
, akkor
f ′ ( x ) = 0
.
Megjegyezzük még, hogy az összegre és a különbségre vonatkozó szabály kettő helyett több tagra is érvényes.
Az
f
függvény grafikonjának az
x 0
abszcisszájú
( x 0 , f ( x 0 ) )
koordinátájú pontjában húzható érintő egyenlete a
y − f ( x 0 ) x − x 0 = f ' ( x 0 )
formulából határozható meg.
Az érintő egy egyenes, ami egy függvény grafikonjának is tekinthető. Ez a függvény felírható a következő alakban:
g ( x ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 )
.
Ezt a függvényt hívják az
f
függvény
x 0
-beli linearizáltjának. A linearizált két legfontosabb tulajdonsága, hogy az
x 0
, az érintési pont, közelében nagyon jól közelíti az eredeti
f
függvényt, és az, hogy a képlete egyszerű, (elsőfokú polinom). Ezek a tulajdonságok alkalmassá teszik őt ("bonyolult") függvények helyettesítési értékének közelítő meghatározására.
A további feladatokban feltételezzük, hogy a feladatokban szereplő függvények a szóbanforgó helyeken a kellő számban differenciálhatók, és nem vizsgáljuk, hogy az adott függvények derivált függvényeinek mi az értelmezési tartománya.
|
|
|