//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.10. A határozott integrál további alkalmazásai

Tanulási cél: Megismerni a határozott integrál néhány matematikai, és egy fizikai alkalmazását.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.12.-8.14.

Elméleti összefoglaló:
1. Forgástest térfogata:
Ha a folytonos f ( x ) függvény grafikonjának [ a , b ] intervallumhoz tartozó részét megforgatjuk az x -tengely körül, akkor a keletkező forgástest térfogata:

V = π a b f 2 ( x ) d x .

2. Síkgörbe ívhossza:
Az [ a , b ] intervallumon folytonosan differenciálható f ( x ) függvény [ a , b ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának ívhossza:

S = a b 1 + ( f ( x ) ) 2 d x .

3. Forgástest palástjának felszíne:
Ha a nemnegatív, folytonosan differenciálható f ( x ) függvény grafikonjának [ a , b ] intervallumhoz tartozó részét megforgatjuk az x -tengely körül, akkor a keletkező forgástest palástjának felszíne:

F = 2 π a b f ( x ) . 1 + ( f ( x ) ) 2 d x .

4. Munka:
a. Változó erő munkája:
Ha egy test egyenes vonalú pályán mozog, és mozgása során a pályával párhuzamos, helytől függő erő hat rá, akkor ezen erő munkája miközben a test az a helyzetből a b helyzetbe kerül:

W = a b F ( x ) d x ,

ahol az erőt a F ( x ) függvény írja le, s a test helyét pedig az x adja meg.

b. Gáz tágulási munkája:
Miközben egy gáz térfogata V 1 -ről V 2 -re változik, munkát végez, mely munka:

W = V 1 V 2 p ( V ) d V ,

ahol a p ( V ) függvény a nyomást adja meg a térfogat függvényében. Ha a gáz kitágul, akkor ez a munka pozitív, a gáz végez munkát a környezetén, míg ha a térfogat csökken, akkor a munka negatív, hiszen a környezet végez a gázon munkát.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Forgassuk meg az f ( x ) = x 3 függvény grafikonjának [ 0, 8 ] intervallumhoz tartozó részét, s számoljuk ki a keletkező forgástest térfogatát!

Megoldás: A megadott függvényt, és intervallumot be kell helyettesítenünk a forgástest térfogatára vonatkozó képletbe, majd ki kell számolnunk a határozott integrál értékét.

V = π a b f 2 ( x ) d x = π 0 8 ( x 3 ) 2 d x = π 0 8 x 2 3 d x = π [ x 5 3 5 3 ] 0 8 = 3 π 5 [ x 5 3 ] 0 8 = 3 π 5 ( 8 5 3 0 5 3 ) = 3 π 5 ( 32 0 ) 60.32

Megjegyzés: A határozott integrál alkalmazásainál általában annyi a feladat, hogy be kell helyettesítenünk a feladatban megadott függvényt egy képletbe, s az így kapott integrált ki kell számolnunk. Ha az integrandus egyszerű, mint ebben a feladatban, akkor ez nem okoz gondot. Ha viszont az integrandus bonyolult, akkor különböző integrálási módszereket kell alkalmaznunk.
2. feladat Határozzuk meg azon forgástest térfogatát, melyet az f ( x ) = x . e x függvény [ 0, 1 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli forgatásával kapunk!

Megoldás: Helyettesítsünk be ugyanúgy a térfogat képletébe, mint az előző feladatban.

V = π a b f 2 ( x ) d x = π 0 1 ( x . e x ) 2 d x = π 0 1 x . ( e x ) 2 d x = π 0 1 x . e 2 x d x

A primitív függvény meghatározásához parciális integrálásra van szükség, célszerű külön elvégezni a határozatlan integrálást. A szereposztásról is döntenünk kell, legyen f ( x ) = x és g " ( x ) = e 2 x . Állítsuk elő f " ( x ) -et és g ( x ) -et.

f " ( x ) = x " = 1 , g ( x ) = e 2 x d x = e 2 x 2

Helyettesítsünk a szabályba, majd határozzuk meg a visszamaradó integrált is.

x . e 2 x d x = x . e 2 x 2 1 . e 2 x 2 d x = x . e 2 x 2 e 2 x 4 + c

Térjünk vissza a térfogathoz.

V = π [ x . e 2 x 2 e 2 x 4 ] 0 1 = π ( ( 1 . e 2 . 1 2 e 2 . 1 4 ) ( 0 . e 2 . 0 2 e 2 . 0 4 ) ) = π ( ( e 2 2 e 2 4 ) ( 0 e 0 4 ) ) =

π ( e 2 4 1 4 ) 5.02
3. feladat Számoljuk ki azon forgástest térfogatát, mely az f ( x ) = th x függvény [ 0, 1 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli forgatásával keletkezik!

Megoldás: Helyettesítsük be most is a függvényt és az intervallumot a térfogatképletbe.

V = π a b f 2 ( x ) d x = π 0 1 th 2 x d x

Ehhez nagyon hasonló integrandussal még a modul első leckéjének 8. feladatában találkoztunk. Alakítsuk hasonló módon a függvényt, mint abban a feladatban. Írjuk be, hogy th x = sh x ch x .

V = π 0 1 ( sh x ch x ) 2 d x = π 0 1 sh 2 x ch 2 x d x

Használjuk fel az 1 = ch 2 x sh 2 x azonosságot, melyből sh 2 x = ch 2 x 1 . Helyettesítsük ezt a számlálóba, majd darboljuk fel a törtet két törtre, és egyszerűsítsünk. Ezután már el lehet végezni az integrálást, majd behelyettesíthetjük a határokat.

V = π 0 1 ch 2 x 1 ch 2 x d x = π 0 1 ( ch 2 x ch 2 x 1 ch 2 x ) d x = π 0 1 ( 1 1 ch 2 x ) d x = π [ x th x ] 0 1 =

= π ( ( 1 th 1 ) ( 0 th 0 ) ) = π ( 1 th 1 ) 0.75
4. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x . x függvény görbéjének ívhosszát a [ 0, 1 4 ] intervallumon!

Megoldás: Helyettesítsünk a folytonos görbe ívhosszának képletébe. Mivel ebben a függvény deriváltja szerepel, ezért állítsuk elő a deriváltat.

f ( x ) = ( x . x ) = ( x 3 ) = ( x 3 2 ) = 3 2 . x 1 2 = 3 2 x

Most jöhet az ívhossz.

S = a b 1 + ( f ( x ) ) 2 d x = 0 1 4 1 + ( 3 2 x ) 2 d x = 0 1 4 1 + 9 4 x d x = 0 1 4 ( 1 + 9 4 x ) 1 2 d x =

Az integrandus összetett függvény, melynek belső függvénye lineáris. Amint az a modul második leckéjében szerepelt, ilyenkor integráljuk a külső függvényt, s osztunk a belső függvényből x együtthatójával.

S = [ ( 1 + 9 4 x ) 3 2 3 2 . 9 4 ] 0 1 4 = 8 27 [ ( 1 + 9 4 x ) 3 ] 0 1 4 = 8 27 ( ( ( 1 + 9 4 . 1 4 ) 3 ) ( ( 1 + 9 4 . 0 ) 3 ) ) = 8 27 ( 125 64 1 ) = 61 216
5. feladat Mennyi az ívhossza az f ( x ) = x 2 ln x 8 függvény [ 1, e ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának?

Megoldás: Vegyük a függvény deriváltját.

f ( x ) = ( x 2 ln x 8 ) = 2 x 1 8 x

Helyettesítsük be az ívhossz képletébe, majd a gyök alatt végezzük el a műveleteket.

S = a b 1 + ( f ( x ) ) 2 d x = 1 e 1 + ( 2 x 1 8 x ) 2 d x = 1 e 1 + ( 4 x 2 1 2 + 1 64 x 2 ) d x = 1 e 4 x 2 + 1 2 + 1 64 x 2 d x

A gyök alatti kifejezésben teljes négyzetet lehet felismerni, s így elűnik a négyzetgyök, és a függvényt tudjuk integrálni. Utána már csak a határokat kell behelyettesíteni.

S = 1 e ( 2 x + 1 8 x ) 2 d x = 1 e ( 2 x + 1 8 x ) d x = [ x 2 + ln x 8 ] 1 e =

= ( e 2 + ln e 8 ) ( 1 2 + ln 1 8 ) = e 2 + 1 8 1 = e 2 7 8 6.51

Megjegyzés: Amikor görbe ívhosszát kell meghatároznunk, akkor sajnos egy olyan képletbe kell helyettesítenünk, amelyben gyök szerepel. Emiatt az integrálás általában nehéz, hacsak a gyök alatti kifejezés nem elsőfokú, vagy nem ismerünk fel teljes négyzetet. A behelyettesítés után mindig el kell végezni a műveleteket a gyök alatt, és a kapott kifejezést megvizsgálni, nem teljes négyzet-e.
6. feladat Számítsuk ki az f ( x ) = ln ( sin x ) függvény [ π 3 , π 2 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának ívhosszát!

Megoldás: Deriváljuk a függvényt.

f ( x ) = ( ln ( sin x ) ) = 1 sin x . cos x = cos x sin x = ctg x

Helyettesítsünk az ívhossz képletébe.

S = a b 1 + ( f ( x ) ) 2 d x = π 3 π 2 1 + ctg 2 x d x

Az integrálást ebben az alakban nem tudjuk elvégezni. Célszerűbb a ctg x helyett visszatérni

cos x sin x -re, majd a négyzetreemelés után, közös nevezőre hozni a gyök alatt. Ezután a számlálóban egy nevezetes kifejezést ismerhetünk fel, melynek értéke 1 . Így viszont már teljes négyzet áll a gyök alatt, s a gyök kiköszöbölhető. (Abszolút értékre nincsen szükség, mert a függvény az integrálási intervallumon pozitív.)

S = π 3 π 2 1 + ( cos x sin x ) 2 d x = π 3 π 2 1 + cos 2 x sin 2 x d x = π 3 π 2 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x d x = π 3 π 2 1 sin 2 x d x = π 3 π 2 1 sin x d x =

A gond ezután az, hogy a sin x a nevezőben szerepel. Használjuk a nevezőben a következő átalakítást. Mivel sin 2 α = 2 sin α . cos α minden esetben igaz, és x = 2 . x 2 , ezért α = x 2 esetben sin x = 2 sin x 2 . cos x 2 . Mivel így a nevezőben a félszögek szögfüggvényei jelennek meg, célszerű a számlálóba is ezeket behozni, tehát az 1 helyére a sin 2 x 2 + cos 2 x 2 kifejezést írni. A törtet ezután célszerű két törtre bontani, s azokat egyszerűsíteni.

S = π 3 π 2 sin 2 x 2 + cos 2 x 2 2 sin x 2 . cos x 2 d x = π 3 π 2 ( sin 2 x 2 2 sin x 2 . cos x 2 + cos 2 x 2 2 sin x 2 . cos x 2 ) d x = π 3 π 2 ( sin x 2 2 cos x 2 + cos x 2 2 sin x 2 ) d x

A nevezőkben szereplő 2 -es szorzók helyett írjunk inkább a számlálókba 1 2 -eket, valamint az első tört elé és a tört számlálójába negatív előjelet, mert így f ( x ) f ( x ) típusú törteket kapunk. Ezeket már tudjuk integrálni, s átalakítás után be lehet a határokat helyettesíteni.

S = π 3 π 2 ( 1 2 sin x 2 cos x 2 + 1 2 cos x 2 sin x 2 ) d x = π 3 π 2 ( ( cos x 2 ) cos x 2 + ( sin x 2 ) sin x 2 ) d x = [ ln ( cos x 2 ) + ln ( sin x 2 ) ] π 3 π 2 =

= [ ln ( sin x 2 cos x 2 ) ] π 3 π 2 = [ ln ( tg x 2 ) ] π 3 π 2 = ln ( tg π 4 ) ln ( tg π 6 ) = ln 1 ln 1 3 = 0 + ln 3 0.55
7. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 3 x + 1 függvény [ 1, 3 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli megforgatásakor keletkező forgástest palástjának felszínét!

Megoldás: Mivel a felszín képletében is szerepel a függvény deriváltja, most is kezdjünk a deriválással.

f ( x ) = ( 3 x + 1 ) = ( ( 3 x + 1 ) 1 2 ) = 1 2 ( 3 x + 1 ) 1 2 . 3 = 1 2 . 3 ( 3 x + 1 ) 1 2 = 3 2 3 x + 1

Helyettesítsünk be a képletbe.

F = 2 π a b f ( x ) . 1 + ( f ( x ) ) 2 d x = 2 π 1 3 3 x + 1 . 1 + ( 3 2 3 x + 1 ) 2 d x

A gyök alatt emeljünk négyzetre, majd hozzunk közös gyök alá, és végezzük el a műveleteket.

F = 2 π 1 3 3 x + 1 . 1 + 9 4 ( 3 x + 1 ) d x = 2 π 1 3 ( 3 x + 1 ) ( 1 + 9 4 ( 3 x + 1 ) ) d x = 2 π 1 3 3 x + 1 + 9 ( 3 x + 1 ) 4 ( 3 x + 1 ) d x =

= 2 π 1 3 3 x + 1 + 9 4 d x = 2 π 1 3 3 x + 13 4 d x = 2 π 1 3 ( 3 x + 13 4 ) 1 2 d x

Az integrandus olyan összetett függvény, melynek belső függvénye lineáris. Integráljuk a külső függvényt, s ne feledkezzünk meg arról, hogy osztani kell a belső függvényből x együtthatójával.

F = 2 π [ ( 3 x + 13 4 ) 3 2 3 2 . 3 ] 1 3 = 4 π 9 [ ( 3 x + 13 4 ) 3 ] 1 3 = 4 π 9 ( ( ( 3 . 3 + 13 4 ) 3 ) ( ( 3 . 1 + 13 4 ) 3 ) ) =

= 4 π 9 ( ( 49 4 ) 3 ( 25 4 ) 3 ) = 4 π 9 ( ( 49 4 ) 3 ( 25 4 ) 3 ) = 4 π 9 ( ( 7 2 ) 3 ( 5 2 ) 3 ) = 4 π 9 ( 343 8 125 8 ) =

= 4 π 9 . 218 8 38.05
8. feladat Számoljuk ki azon forgástest palástjának felszínét, mely az f ( x ) = x 3 3 függvény [ 0, 1 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli forgatásakor keletkezik!

Megoldás: Deriváljuk a függvényt.

f ( x ) = ( x 3 3 ) = 3 x 2 3 = x 2

Helyettesítsünk a palástfelszín képletébe.

F = 2 π a b f ( x ) . 1 + ( f ( x ) ) 2 d x = 2 π 0 1 x 3 3 . 1 + ( x 2 ) 2 d x = 2 π 3 0 1 x 3 . 1 + x 4 d x =

Írjuk a gyököt inkább hatványként, valamint szorozzunk 4 -gyel, s az integrál elé pedig írjunk 1 4 -et, mert ekkor az integrandus f α ( x ) . f ( x ) típusú lesz.

F = 2 π 3 . 1 4 0 1 4 x 3 . ( 1 + x 4 ) 1 2 d x = π 6 0 1 ( 1 + x 4 ) 1 2 . ( 1 + x 4 ) " d x = π 6 [ ( 1 + x 4 ) 3 2 3 2 ] 0 1 = π 9 [ ( 1 + x 4 ) 3 ] 0 1 =

= π 9 ( ( 1 + 1 4 ) 3 ( 1 + 0 4 ) 3 ) = π 9 ( 8 1 ) 0.64
9. feladat: Mennyi a palástfelszíne annak a forgástestnek, melyet  az f ( x ) = ch x függvény [ 0, 1 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli forgatásával kapunk?

Megoldás: Állítsuk elő a függvény deriváltját.

f " ( x ) = ( ch x ) " = sh x

Helyettesítsünk a palástfelszínt megadó képletbe.

F = 2 π a b f ( x ) . 1 + ( f ( x ) ) 2 d x = 2 π 0 1 ch x . 1 + sh 2 x d x

Mivel 1 = ch 2 x sh 2 x , ezért 1 + sh 2 x = ch 2 x .

F = 2 π 0 1 ch x . ch 2 x d x = 2 π 0 1 ch 2 x d x

Adjuk össze az 1 = ch 2 x sh 2 x és ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x azonosságokat, s osszuk 2 -vel. Így kapjuk a ch 2 x = 1 + ch 2 x 2 = azonosságot, melyet írjunk be az integrandusba.

F = 2 π 0 1 1 + ch 2 x 2 d x = π 0 1 ( 1 + ch 2 x ) d x =

A ch 2 x integrálásánál ne feledkezzünk meg a lineáris belső függvényről, ami miatt osztani kell 2 -vel.

F = π [ x + sh 2 x 2 ] 0 1 = π ( ( 1 + sh 2 2 ) ( 0 + sh 0 2 ) ) = π ( 1 + sh 2 2 ) 8.84
10. feladat Mennyi munkát kell végezni ahhoz, hogy egy m = 1 t tömegű űrhajót h = 1000 k m magasra juttassunk a Föld felszínétől?
A Föld sugara: R = 6370 k m .
A Föld Tömege: M = 6 . 10 24 k g .
A gravitációs állandó: k = 6.67 . 10 11 m 3 k g . s 2 .

Megoldás: Az űrhajóra a Föld által kifejtett gravitációs erő hat, mely arányos az űrhajó és a Föld tömegével, és fordítva arányos tömegközéppontjaik távolságának négyzetével.

Képletben: F = k M m r 2 .

Mivel a mozgás során változik a két test tömegközéppontjának távolsága, ezért változik az erő is, azaz az erő a távolság függvénye lesz. Matematikában jobban megszokot jelöléssel azt írhatjuk, hogy most x = r , és F ( x ) = k M m x 2 . Az elméleti összefoglalóban szerepelt, hogy változó erő esetén W = a b F ( x ) d x . Ebbe az F ( x ) függvényt már be tudjuk helyettesíteni, de szükségünk van még az integrálási határokra is. Ezek azt adják meg, hogy a test kezdeti és végső helyzetéhez, az x változó milyen értékei tartoznak. Kezdetben a Föld felszínén van az űrhajó, tehát a = R , a végső helyzetben pedig a felszín felett h magasságban lesz, tehát b = R + h . Így már felírható a konkrét feladathoz tartozó integrál, s a munka kiszámolható.

W = a b F ( x ) d x = R R + h k M m x 2

Az integrálban k , M , m állandó, így ezek kiemelhetők az integrál elé.

W = k M m R R + h 1 x 2 d x = k M m R R + h x 2 d x = k M m [ x 1 1 ] R R + h = k M m [ 1 x ] R R + h = k M m ( 1 R + h 1 R ) =

= k M m ( 1 R 1 R + h ) = 6.67 . 10 11 . 6 . 10 24 . 10 3 ( 1 6.37 . 10 6 1 7.37 . 10 6 ) 8.52 . 10 9 J = 8520 M J

Megjegyzés: A behelyettesítés során célszerű mindent SI alapegységben helyettesíteni, s így az eredményt is SI alapegységben kapjuk meg. Jelen esetben a k m -ről célszerű áttérni m -re, s t -ról k g -ra.
11. feladat Kezdetben V 1 = 1 m 3 téfogatú és p 1 = 10 6 P a nyomású héliumgáz adiabatikusan tágul V 2 = 2 m 3 térfogatra. Mennyi munkát végez tágulása során a gáz?

Megoldás: Az adiabatikus folyamatokban p V κ = állandó, ahol κ = f + 2 f . Itt f a gázrészecskék szabadsági fokainak számát jelenti, ami egyatomos gázok esetén 3 . Ilyen gáz a hélium is, hiszen nemesgáz. Feladatunkban tehát κ = 5 3 .
Ahhoz, hogy a munkát kiszámolhassuk, fel kell írnunk a p ( V ) függvényt, azaz meg kell adnunk, hogyan változik a nyomás a térfogat függvényében.
Mivel p V κ = állandó p V κ = p 1 V 1 κ p = p 1 V 1 κ V κ , azaz a keresett függvény p ( V ) = p 1 V 1 κ V κ , hiszen ebben csak a térfogat változik. Helyettesítsük ezt be a tágulási munka képletébe.

W = V 1 V 2 p ( V ) d V = V 1 V 2 p 1 V 1 κ V κ d V

Mivel p 1 V 1 κ = állandó, ezért kiemelhető az integrál elé.

W = p 1 V 1 κ V 1 V 2 1 V κ d V = p 1 V 1 κ V 1 V 2 V κ d V = p 1 V 1 κ [ V 1 κ 1 κ ] V 1 V 2 = p 1 V 1 κ ( V 2 1 κ 1 κ V 1 1 κ 1 κ ) = p 1 V 1 κ V 1 1 κ V 2 1 κ κ 1 =

= p 1 V 1 κ . V 1 1 κ p 1 V 1 κ . V 2 1 κ κ 1 = p 1 V 1 p 1 V 1 κ . V 2 1 κ κ 1

Ebbe már be lehet helyettesíteni a konkrét adatokat.

W = 10 6 . 1 10 6 . 1 5 3 . 2 1 5 3 5 3 1 = 10 6 1 2 2 3 2 3 5.55 . 10 5 J = 555 K J

Megjegyzés: Mivel p V κ = állandó, ezért az utolsó összefüggésben p 1 V 1 κ helyére p 2 V 2 κ is írható, és így a munka egyszerűbben is kifejezhető.  

W = p 1 V 1 p 2 V 2 κ . V 2 1 κ κ 1 = p 1 V 1 p 2 V 2 κ 1

Ez a munka legyegyszerűbb kifejezési módja adiabatikus tágulás esetén. Ahhoz azonban, hogy ezt használni tudjuk, szükségünk van p 2 -re. Ezt a p 1 V 1 κ = p 2 V 2 κ egyenletből lehet kiszámolni.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mekkora az f ( x ) = e x függvény [ 0, 1 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest térfogata?
 
π 2 ( e 1 )
 
π 2 ( e 2 1 )
 
π ( e 1 )
 
π ( e 2 1 )
 

2. kérdés: Mekkora térfogatú test keletkezik az f ( x ) = tg x függvény [ 0, π 4 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli megforgatásakor?
 
4 π π 2 4
 
π 2 2 π 4
 
π 2 + 2 π 4
 
4 π + π 2 4
 

3. kérdés: Mennyi az ívhossza az f ( x ) = 4 x 2 függvény [ 0, 2 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának?
 
1
 
π 2
 
2
 
π
 

4. kérdés: Milyen hosszú az f ( x ) = 2 x 3 3 + 1 8 x függvény grafikonjának [ 1 2 , 1 ] intervallumhoz tartozó darabja?
 
1 2
 
7 12
 
17 24
 
5 6
 

5. kérdés: Mekkora az f ( x ) = x függvény [ 0, 2 ] intervallumhoz tartozó görbedarabjának x -tengely körüli forgatásakor keletkező forgástest palástjának felszíne?
 
13 π 6
 
13 π 4
 
13 π 3
 
13 π 2
 

6. kérdés: Ha az f ( x ) = 9 x 2 függvény grafikonjának [ 0, 3 ] intervallumhoz tartozó darabját megforgatjuk az x -tengely körül, akkor mekkora lesz a keletkező forgástest palástjának felszíne?
 
12 π
 
18 π
 
27 π
 
36 π
 

7. kérdés: Egy Q 1 = 10 5 C nagyságú, rögzített, pozitív töltéstől 1 c m távolságra Q 2 = 10 6 C nagyságú, szabad, pozitív töltés található. Mennyi munkát végez a Q 1 töltés körüli elektromos mező a Q 2 töltésen, miközben a két töltés 2 c m -re távolodik el egymástól?
Két pontszerű töltés közötti erő: F = k Q 1 Q 2 r 2 , ahol r a két töltés távolsága, és k = 9 . 10 9 N m 2 C 2 .
 
1.35 J
 
4.5 J
 
13.5 J
 
45 J
 

8. kérdés: Kezdetben V 1 = 10 d m 3 térfogatú, p 1 = 10 6 P a nyomású gáz állandó hőmérsékleten V 2 = 20 d m 3 térfogatra tágul. Mennyi munkát végez tágulás közben a gáz?
Izoterm folyamatokban p V = állandó.
 
301 J
 
693 J
 
3010 J
 
6930 J