 |  | Kidolgozott feladatok:
1. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az
f ( x ) = x 3 − 3 x 2
függvényen.
Megoldás:
1) Értelmezési tartomány.
Egyszerű most a helyzetünk, mert látható, hogy a függvény mindenütt értelmezve van, ezért
D f = R
.
2) Alaki tulajdonságok.
Ezen értjük egyrészt annak meghatározását, hogy a függvény grafikonja hol metszi az
x
tengelyt. Ezeket a pontokat az
f ( x ) = 0
egyenlet megoldásai adják. Megoldjuk tehát az
x 3 − 3 x 2 = 0
egyenletet.
x 2
kiemelésével
x 2 ( x − 3 ) = 0
,
ami akkor teljesül, ha
x 1 = 0
vagy ha
x 2 = 3
. Ebben a két pontban metszi tehát a grafikon az
x
tengelyt.
Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a grafikon hol metszi a
y
tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben
f ( 0 )
adja a keresett pontot. A mi esetünkben
f ( 0 ) = 0 3 − 3 . 0 2 = 0
,
a grafikon tehát átmegy az origón.
Továbbá ebben a pontban vizsgáljuk meg, hogy a függvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az
f ( − x )
összetett függvény képletének előállításával kezdődik.
f ( − x ) = ( − x ) 3 − 3 ( − x ) 2 = − x 3 − 3 x 2
.
A függvény akkor páros, ha
f ( − x ) = f ( x )
, ez most nem teljesül.
A függvény akkor páratlan, ha
f ( − x ) = − f ( x )
, most ez sem teljesül.
Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan.
3) Limeszek a
D f
szélein.
Egy függvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum felőli egyoldali határértékeket kiszámítani.
Mivel a feladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, ezért két limeszt kell kiszámolnunk:
lim x → − ∞ ( x 3 − 3 x 2 ) = lim x → − ∞ x 3 ( 1 − 3 x ) = − ∞
,
lim x → ∞ ( x 3 − 3 x 2 ) = lim x → ∞ x 3 ( 1 − 3 x ) = ∞
.
4) Lokális szélsőértékek.
Tudjuk, hogy lokálisszélsőérték ott lehet, ahol
f ′ ( x ) = 0
. Elkészítjük tehát a derivált függvényt:
f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x
,
és megoldjuk az
f ′ ( x ) = 0
egyenletet.
3 x 2 − 6 x = 0
,
3 x ( x − 2 ) = 0
,
aminek a két gyöke
x 1 ' = 0
, illetve
x 2 ' = 2
.
A derivált gyökei közül az értelmezési tartományba is beletartozók a lehetséges szélsőértékek. Mivel most az egész valós számok halmaza az értelmezési tartomány, mindkét gyököt meg kell vizsgálnunk.
Tudjuk, hogy a jelöltek közül azok valóban szélsőérték helyek, ahol a derivált függvény előjelet vált.
A jelöltek az értelmezési tartományt (további) darabokra bontják, és ezeken a darabokon a derivált függvény állandó előjelű, ezeket az előjeleket kell először meghatározni. Ezeket egy-egy, a darabokba eső számnak a derivált függvénybe való behelyettesítésével kaphatjuk meg.
Az egész eljárást célszerű egy táblázatba foglalni.
A táblázat első sora a szélsőérték jelölteket és az értelmezési tartomány általuk létrehozott darabjait tartalmazza (a valós számok természetes rendezésében).
A második sorban az
f ′ ( x )
egyes darabokbeli előjele szerepel, (és az, hogy a derivált a jelöltekben nulla).
Az értelmezési tartományunk egy darabból áll, és két jelöltünk van, ezek tehát három darabra bontják az értelmezési tartományt.
A
− ∞ < x < 0
darabból véve mondjuk a -1-et, kapjuk, hogy
f ′ ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) 2 − 6 ( − 1 ) = 9 > 0
, ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele.
A
0 < x < 2
darabból vegyük például az 1-et, ekkor
f ′ ( 1 ) = 3 ( 1 ) 2 − 6 ( 1 ) = − 3 < 0
, ezért az egész darabon negatív az előjel.
Végül a
2 < x < ∞
darabból válasszuk a hármat, ekkor
f ′ ( 3 ) = 3 ( 3 ) 2 − 6 ( 3 ) = 9 > 0
, ezért az egész darabon pozitív az első derivált előjele.
Az alábbi táblázat első két sorában látjuk ezeket feltüntetve.
Látjuk azt is, hogy mindkét jelöltünk esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőérték hely.
Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maximum van.
A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum van.
Ki kell még számolni a maximum és a minimum értékét:
f ( 0 ) = 0
, illetve
f ( 2 ) = 2 3 − 3 . 2 2 = − 4
. |
|
|