//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.8. Gyökkritérium

Tanulási cél: A gyökkritérium megismerése, alkalmazásának elsajátítása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.2.

Elméleti összefoglaló:
A gyökkritérium:
Ha a k = 1 a k található olyan 0 q < 1 szám, hogy minden n index esetén fenáll | a n | n q egyenlőtlenség, akkor a sor abszolút konvergens. (A tétel feltétele gyengíthető, a minden n helyett elég ha véges sok n kivételével teljesül az egyenlőtlenség.)

A feladatok megolása során inkább a következő tételre hivatkozunk:
Ha a k = 0 a k esetén konvergens az | a n | n sorozat, és

a) lim n | a n | n < 1 , akkor a sor abszolút konvergens, s így konvergens.

b) lim n | a n | n > 1 , akkor a sor divergens.

c) lim n | a n | n = 1 , akkor a gyökritériummal nem dönthető el a konvergencia.

Az tétel nagyon hasonlít az előző leckében szereplőhöz. Elegendő egy határértéket megvizsgálnunk, s ha az nem egyenlő eggyel, akkor eldönthető a konvergencia kérdése. Itt is szeretnénk hangsúlyozni, hogy ez a határérték általában nem azonos a sorösszeggel, azaz k = 1 a k lim n | a n | n .

A feladatok megoldása során hivatkozni fogunk a következő két nevezetes határértékre:

1) lim n A n = 1, A > 0

2) lim n n n = 1
Kidolgozott feladatok:

1. feladat A gyökkritérium alkalmazásával próbájuk eldönteni a k = 1 k 7 k sorról, hogy abszolút konvergens-e!

Megoldás: Az a n = k 7 k sorozat tagjait összegezzük, így

lim n | a n | n = lim n | n 7 n | n

Mivel a sor tagjai pozitívak, az abszolút érték elhagyható. A gyökvonás tuladonságait kihasználva alakítsunk a kifejezésen, hogy a határértéket meghatározhassuk.

lim n | a n | n = lim n n 7 n n = lim n n n 7 n n = lim n n n 7 = 1 7

A kapott határérték egynél kisebb, ezért a sor abszolút konvergens.

Megjegyzés: A későbbiekben az abszolút érték elhagyását nem említjük meg külön, de ha a sor tagjai pozitívak, akkor megtesszük.
2. feladat Ha lehetséges, döntsük el a gyökkritériummal, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 2 k k 3 + 5 k sor!

Megoldás: Most a n = 2 n n 3 + 5 n .

lim n | a n | n = lim n | 2 n n 3 + 5 n | n = lim n 2 n n 3 + 5 n n = lim n 2 n n n 3 + 5 n n = lim n 2 n n n 3 . ( 1 + 5 n 2 ) n =

= lim n 2 n 3 n . 1 + 5 n 2 n = lim n 2 ( n n ) 3 . ( 1 + 5 n 2 ) 1 n = 2 1 3 . ( 1 + 0 ) 0 = 2

Mivel egynél nagyobb értéket kaptunk, ezért a sor divergens.
3. feladat Eldönthető-e a gyökkritériummal, hogyan viselkedik konvergencia szempontjából a k = 1 2 k + 6 k 3 sor!

Megoldás: a n = 2 n + 6 n 3

lim n | a n | n = lim n | 2 n + 6 n 3 | n = lim n 2 n + 6 n 3 n = lim n 2 n + 6 n n 3 n = lim n n . ( 2 + 6 n ) n ( n n ) 3 =

= lim n n n . 2 + 6 n n ( n n ) 3 = = lim n ( 2 + 6 n ) 1 n ( n n ) 2 = ( 2 + 0 ) 0 1 2 = 1

A gyökkritérummal tehát nem dönthető el hogyan viselkedik a sor konvergencia szempontjából.

Megjegyzés: A sor konvergens, s ezt ugyanúgy láthatjuk be, mint az előző lecke hasonló feladatában. Bontsuk fel a sort két sor összegére.

k = 1 2 k + 6 k 3 = k = 1 ( 2 k k 3 + 6 k 3 ) = k = 1 ( 2 k 2 + 6 k 3 ) = 2 . k = 1 1 k 2 + 6 . k = 1 1 k 3

A k = 1 1 k 2 és k = 1 1 k 3 sorok konvergensek, s így ezek számszorosai, és azok összege is konvergens.
4. feladat A k = 1 4 k 2 + 1 k 3 sorról eldönthető-e a gyökkritérium segítségével a konvergencia?

Megoldás: a n = 4 n 2 + 1 n 3

lim n | a n | n = lim n | 4 n 2 + 1 n 3 | n = lim n 4 n 2 + 1 n 3 n = lim n 4 n 2 + 1 n n 3 n = lim n n 2 . ( 4 + 1 n 2 ) n ( n n ) 3 =

= lim n n 2 n . 4 + 1 n 2 n ( n n ) 3 = lim n ( n n ) 2 . 4 + 1 n 2 n ( n n ) 3 = lim n ( 4 + 1 n 2 ) 1 n n n = ( 4 + 0 ) 0 1 = 1

Mivel a határérték egy lett, a gyökkritériummal nem lehet eldönteni hogyan viselkedik a sor konvergencia szempontjából.

Megjegyzés: A sor divergens, s ezt hasonlóan igazolhatjuk, mint ahogyan az előző feladatban jártunk el. Ezt a sort is felbontjuk két sor összegére.

k = 1 4 k 2 + 1 k 3 = k = 1 ( 4 k 2 k 3 + 1 k 3 ) = k = 1 ( 4 k + 1 k 3 ) = 4 . k = 1 1 k + k = 1 1 k 3

A disvergens k = 1 1 k sor négyszerese is divergens, s ehhez adjuk a konvergens k = 1 1 k 3 sort, így divergens sort kapunk.
5. feladat Megmutatja-e a gyökkritérium, hogy miként viselkedik konvergencia szempontjából a k = 1 2 2 k + 1 k k sor?

Megoldás: a n = 2 2 n + 1 n n

lim n | a n | n = lim n | 2 2 n + 1 n n | n = lim n 2 2 n + 1 n n n = lim n 2 2 n + 1 n n n n = lim n 2 . 2 2 n n n =

= lim n 2 n . 2 2 n n n = lim n 2 n . 2 2 n = 1 . 4 = 0

A kapott érték egynél kisebb, a sor tehát abszolút konvergens.
6. feladat A gyökkritériumot alkalmazva, próbáljuk meg eldönteni, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 ( 3 k + 2 6 k + 1 ) k sor!

Megoldás: a n = ( 3 n + 2 6 n + 1 ) n

lim n | a n | n = lim n | ( 3 n + 2 6 n + 1 ) n | n = lim n ( 3 n + 2 6 n + 1 ) n n = lim n 3 n + 2 6 n + 1 = lim n 3 + 2 n 6 + 1 n = 3 + 0 6 + 0 = 1 2

A kritériumban szereplő határérték kisebb mint egy, ezért a sor abszolút konvergens.
7. feladat El lehet-e dönteni a gyökkritériummal hogyan viselkedik konvergencia szempontjából a k = 1 ( 5 k + 6 4 k + 3 ) k + 2 sor?

Megoldás: a n = ( 5 n + 6 4 n + 3 ) n + 2

lim n | a n | n = lim n | ( 5 n + 6 4 n + 3 ) n + 2 | n = lim n ( 5 n + 6 4 n + 3 ) n + 2 n = lim n ( 5 n + 6 4 n + 3 ) n . ( 5 n + 6 4 n + 3 ) 2 n =

= lim n ( 5 n + 6 4 n + 3 ) n n . ( 5 n + 6 4 n + 3 ) 2 n = lim n 5 n + 6 4 n + 3 . ( 5 n + 6 4 n + 3 ) 2 n = lim n 5 + 6 n 4 + 3 n . ( 5 + 6 n 4 + 3 n ) 2 n =

= 5 + 0 4 + 0 . ( 5 + 0 4 + 0 ) 0 = 5 4

A határérték egynél nagyobb, ezért a sor divergens.
8. feladat A gyökkritérium segítségevel eldönthető-e a k = 1 ( 3 k + 7 3 k + 2 ) 2 k sorról a konvergencia?

Megoldás: a n = ( 3 n + 7 3 n + 2 ) 2 n

lim n | a n | n = lim n | ( 3 n + 7 3 n + 2 ) 2 n | n = lim n ( 3 n + 7 3 n + 2 ) 2 n n = lim n ( 3 n + 7 3 n + 2 ) 2 = lim n ( 3 + 7 n 3 + 2 n ) 2 = ( 3 + 0 3 + 0 ) 2 = 1

A határérték egy lett, a gyökkritériummal tehát nem dönthető el a konvergencia.

Megjegyzés: A sor divergens, mert lim n a n 0 , hiszen

lim n a n = lim n ( 3 n + 7 3 n + 2 ) 2 n = lim n ( 3 n + 2 + 5 3 n + 2 ) 2 n = lim n ( 1 + 5 3 n + 2 ) 2 n = lim n ( 1 + 5 3 n + 2 ) ( 3 n + 2 ) 2 n 3 n + 2 =

= lim n ( ( 1 + 5 3 n + 2 ) ( 3 n + 2 ) ) 2 n 3 n + 2 = = lim n ( ( 1 + 5 3 n + 2 ) ( 3 n + 2 ) ) 2 3 + 2 n = ( e 5 ) 2 3 = e 10 3 0

Csak olyan sor lehet konvergens, melynek tagjai nullához tartanak.
9. feladat Ha lehetséges, döntsük el a gyökkritérium alkalmazásával, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 ( 2 k + 5 2 k + 1 ) k 2 sor!

Megoldás: a n = ( 2 n + 5 2 n + 1 ) n 2

lim n | a n | n = lim n | ( 2 n + 5 2 n + 1 ) n 2 | n = lim n ( 2 n + 5 2 n + 1 ) n 2 n = lim n ( 2 n + 5 2 n + 1 ) n . n n = lim n ( ( 2 n + 5 2 n + 1 ) n ) n n =

= lim n ( 2 n + 5 2 n + 1 ) n = lim n ( 2 n + 1 + 4 2 n + 1 ) n = lim n ( 1 + 4 2 n + 1 ) n = lim n ( 1 + 4 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) n 2 n + 1 =

= lim n ( ( 1 + 4 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ) n 2 n + 1 = lim n ( ( 1 + 4 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ) 1 2 + 1 n = ( e 4 ) 1 2 = e 2

Mivel egynél nagyobb értéket kaptunk, a sor divergens.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Tekintsük a k = 1 3 k + 4 6 k sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határérték, s mi következik ebből a konvergenciára?
 
lim n | a n | n = 1 2 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 1 6 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 2 3 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

2. kérdés: Tekintsük a k = 1 k k + 1 5 k sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határérték, s mit mondhatunk ez alapján a konvergeciára nézve?
 
lim n | a n | n = 1 5 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 5 a sor divergens
 
lim n | a n | n = a sor divergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

3. kérdés: Tekintsük a k = 1 5 k + 2 k 2 sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határéréték, s mit mondhatunk ebből a konvergenciára nézve?  
 
lim n | a n | n = 0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 2 a sor divergens
 
lim n | a n | n = 5 a sor divergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

4. kérdés: Tekintsük a k = 1 ( 4 k + 9 3 k + 5 ) 2 k sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határérték, s konvergencia szempontjából mi következik ebből?
 
lim n | a n | n = 9 5 a sor divergens
 
lim n | a n | n = 4 3 a sor divergens
 
lim n | a n | n = 16 9 a sor divergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

5. kérdés: Tekintsük a k = 1 ( 2 k + 3 3 k + 2 ) k + 3 sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határérték, s mi következik ebből a konvergenciára nézve?
 
lim n | a n | n = 0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 2 3 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 8 27 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

6. kérdés: Tekintsük a k = 1 ( 4 k + 1 4 k + 5 ) k sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határérték, s mit mondhatunk ez alapján a konvergenciáról?
 
lim n | a n | n = 0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 1 5 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 1 4 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

7. kérdés: Tekintsük a k = 1 ( 3 k + 7 3 k + 1 ) k 2 sort. Mivel egyenlő a lim n | a n | n határérték, s mit állíthatunk ez alapján a konvergenciára nézve?
 
lim n | a n | n = e a sor divergens
 
lim n | a n | n = e 2 a sor divergens
 
lim n | a n | n = e 3 a sor divergens
 
lim n | a n | n = 1 a gyökkritériummal nem dönthető el a konvergencia