 |  | Tanulási cél: Megismerni a határozott integrál néhány matematikai, és egy fizikai alkalmazását.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.12.-8.14.
Elméleti összefoglaló:
1. Forgástest térfogata:
Ha a folytonos
f ( x )
függvény grafikonjának
[ a , b ]
intervallumhoz tartozó részét megforgatjuk az
x
-tengely körül, akkor a keletkező forgástest térfogata:
V = π ∫ a b f 2 ( x ) d x
.
2. Síkgörbe ívhossza:
Az
[ a , b ]
intervallumon folytonosan differenciálható
f ( x )
függvény
[ a , b ]
intervallumhoz tartozó görbedarabjának ívhossza:
S = ∫ a b 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x
.
3. Forgástest palástjának felszíne:
Ha a nemnegatív, folytonosan differenciálható
f ( x )
függvény grafikonjának
[ a , b ]
intervallumhoz tartozó részét megforgatjuk az
x
-tengely körül, akkor a keletkező forgástest palástjának felszíne:
F = 2 π ∫ a b f ( x ) . 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x
.
4. Munka:
a. Változó erő munkája:
Ha egy test egyenes vonalú pályán mozog, és mozgása során a pályával párhuzamos, helytől függő erő hat rá, akkor ezen erő munkája miközben a test az
a
helyzetből a
b
helyzetbe kerül:
W = ∫ a b F ( x ) d x
,
ahol az erőt a
F ( x )
függvény írja le, s a test helyét pedig az
x
adja meg.
b. Gáz tágulási munkája:
Miközben egy gáz térfogata
V 1
-ről
V 2
-re változik, munkát végez, mely munka:
W = ∫ V 1 V 2 p ( V ) d V
,
ahol a
p ( V )
függvény a nyomást adja meg a térfogat függvényében. Ha a gáz kitágul, akkor ez a munka pozitív, a gáz végez munkát a környezetén, míg ha a térfogat csökken, akkor a munka negatív, hiszen a környezet végez a gázon munkát.
|
|
|