//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.9. Összehasonlító kritériumok

Tanulási cél: A majoráns és minoráns kritérium megismerése, és alkalmazása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.2.

Elméleti összefoglaló:
Azt mondjuk, hogy a k = 1 b k sor a k = 1 a k sornak majoráns sora, ha | a k | b k teljesül minden k index esetén.

Majoráns kritérium:
Ha a k = 1 a k sorhoz található konvergens k = 1 b k majoráns sor, akkor az eredeti k = 1 a k sor is konvergens. (Konyhanyelven azt mondhatjuk, ha a nagyobb b k számok összege nem éri el a végtelent, akkor a kisebb | a k | számok összege sem lehet végtelen, s így a sor abszolút konvergens.)

Azt mondjuk, hogy a k = 1 b k sor a k = 1 a k sornak minoráns sora, ha a k b k 0 teljesül minden k index esetén.

Minoráns kritérium:
Ha a k = 1 a k sorhoz található divergens k = 1 b k minoráns sor, akkor az eredeti k = 1 a k sor is divergens. (Konyhanyelven úgy fogalmazhatunk, ha a kisebb b k számok összege végtelen, akkor a náluk nagyobb a k számok összege is végtelen, s így a sor divergens.)

Ha ezen két kritérium valamelyikét szeretnénk alkalmazni, akkor először sejtést kell felállítanunk, hogy a sor konvergens, vagy divergens. Ha azt sejtük, a sor konvergens, akkor majoráns kritériumot kell alkalmaznunk, és majoráns sort kell találnunk. Ha azt sejtjük, a sor divergens, akkor minoráns kritériumot kell alkalmaznunk, azaz minoráns sort kell találnunk. A megfelelő majoráns illetve minoráns sor keresése során általában a sor tagjait megadó képletet módosítjuk úgy, hogy a tagok növekedjenek illetve csökkenjenek. Gyakori módosítások, amikor pozitív számlálójú és nevezőjű tört számlálóját növelve a tört nő, iletve a számlálót csökkentve a tört csökken. Ha a nevezőt növeljük akkor a tört csökken, ha pedig csökkentjük, de továbbra is pozitív marad, akkor pedig nő. A módosítást addig folytatjuk, míg olyan kifejezéshez jutunk, melynek összegzésével egy ismert konvergens vagy divergens sort kapunk.

Majorálásra leggyakrabban a k = 1 1 k 2 , valamint a k = 1 q k , | q | < 1 konvergens sorokat, illetve ezek számszorosait használjuk.

Minorálásra leggyakrabban a k = 1 1 k , és k = 1 q k , | q | 1 divergens sorokat, illetve ezek számszorosait használjuk.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Döntsük el a k = 1 k + 1 k 3 + 3 k 2 sorról a majoráns vagy a minoráns kritérum segítségével, hogy konvergens, vagy divergens!

Megoldás: A sor tagjait megadó a k = k + 1 k 3 + 3 k 2 kifejezés egy olyan tört, melynek számlálója és nevezője is pozitív. A nevező kettővel magasabb fokú mint a számláló, ezért k növelésével a kifejezés értéke gyorsan csökkenve közeledik a nullához. A sor valószínűleg konvergens lesz. Ennek belátásához konvergens majoráns sort kell találnunk. Módosítsunk az a k kifejezésen úgy, hogy növeljük. Írjunk a számlálóban k + 1 helyére k + 3 -at, majd egyszerűsítsük a törtet.

| a k | = a k = k + 1 k 3 + 3 k 2 < k + 3 k 3 + 3 k 2 = k + 3 k 2 ( k + 3 ) = 1 k 2

A k = 1 k + 1 k 3 + 3 k 2 sornak tehát majoráns sora a k = 1 1 k 2 sor. Erről tudjuk, hogy konvergens, így az eredeti sor is az.
2. feladat A majoráns vagy a minoráns kritérium segítségével állapítsuk meg, hogy a k = 1 k + 4 k 3 + 2 k sor hogyan viselkedik konvergencia szempontjából!

Megoldás: A sor tagjait ugyanolyan kifejezés adja meg mint az előző feladatban, a sor valószínűleg konvergens. Keressünk ismét majoráns sort. Ha a számlálóban 4 helyére 4 k -t írunk, akkor a tört nem csökken.

| a k | = a k = k + 4 k 3 + 2 k k + 4 k k 3 + 2 k = 5 k k 3 + 2 k

Sajnos még mindig nem egy olyan ismert sor általános tagját kaptuk, melyről tudjuk, hogy konvergens. Módosítsunk ezért még egyszer, de most csökkentsük a nevezőt. Ha elhagyjuk a nevezőből a 2 k tagot, a nevező csökken, s így a tört nő.

| a k | 5 k k 3 + 2 k < 5 k k 3 = 5 . 1 k 2

A k = 1 k + 4 k 3 + 2 k sornak ezért majoráns sora a k = 1 5 . 1 k 2  sor, amely konvergens, hiszen egy konvergens sor ötszöröse, s ebből következően az eredeti sor is konvergens.
3. feladat Alkalmas majoráns vagy minoráns sor segítségével döntsük el, hogy konvergens vagy divergens a k = 1 3 . 2 k + 2 . 3 k 7 k + 5 k sor!

Megoldás: A sor tagjait olyan tört adja, melynek számlálója és nevezője is pozitív. A nevezőben álló 7 k sokkal gyorsabban nő mint a számlálóban levő 2 k és 3 k , ezért a tört gyorsan tart nullához, s így a sor várhatóan konvergens. Ezt a majoráns kritériummal tudjuk igazolni. A megfelelő majoráns sort most is két lépésben állítjuk elő. Először írjunk a számlálóban 2 k helyére 3 k -t, így a tört biztosan nő.

| a k | = a k = 3 . 2 k + 2 . 3 k 7 k + 5 k < 3 . 3 k + 2 . 3 k 7 k + 5 k = 5 . 3 k 7 k + 5 k

A második lépésben csökkentsük a nevezőt az 5 k elhagyásával.

| a k | < 5 . 3 k 7 k < 5 . 3 k 7 k = 5 . ( 3 7 ) k

A k = 1 k 2 + 3 k + 4 2 k + 5 k sort tehát majorálja a k = 1 5 . ( 3 7 ) k sor. Ez egy mértani sor ötszöröse, melyben q = 3 7 . Mivel teljesül az | q | < 1 egyenlőtlenség, ez a mértani sor konvergens, s ebből következően az eredeti sor is az.
4. feladat Döntsük el a k = 1 k + 6 k 2 + 4 k sorról megfelelő majoráns vagy minoráns sor segítségével, hogy konvergens vagy divergens!

Megoldás: Az a k = k + 6 k 2 + 4 k olyan tört, melynek számlálója és nevezője is pozitív. A nevező eggyel magasabb fokú mint a számláló, ezért ez a tört az előző feladatokban szereplőekhez képest lassabban tart nullához. Ebből az sejthető, a sor divergens. Ennek igazolásához minoráns sorra van szükség. Most nem növeljük, hanem csökkentjük a törtet. Írjunk a számlálóban k + 6 helyére k + 4 -et, majd egyszerűsítsük a törtet.

a k = k + 6 k 2 + 4 k > k + 4 k 2 + 4 k = k + 4 k ( k + 4 ) = 1 k > 0

A k = 1 k + 6 k 2 + 4 k sornak tehát minoráns sora a k = 1 1 k sor. Erről tudjuk, hogy divergens, ezért az eredeti sor is az.
5. feladat A majoráns vagy a minoráns kritériumot alkalmazva döntsük el, hogy a k = 1 k + 2 k 2 + k + 4 sor konvergens vagy divergens!

Megoldás: A sor tagjait megadó tört olyan mint az előző feladatban, ezért a sor várhatóan divergens lesz, így ismét minoráns sort keresünk, azaz csökkentjük a törtet. Hagyjuk el első lépésben a számlálóban álló kettest.

a k = k + 2 k 2 + k + 4 > k k 2 + k + 4

Ez még nem egy ismert divergens sor általános tagja, ezért módosítsunk még egyszer. Írjunk a nevezőben k helyére k 2 -et, s a 4 helyére 4 k 2 -et. A nevező így nem csökken, a tört tehát nem nő.

a k > k k 2 + k + 4 k k 2 + k 2 + 4 k 2 = k 6 k 2 = 1 6 k > 0

Az eredeti k = 1 k + 2 k 2 + k + 4 sornak tehát minoráns sora a k = 1 1 6 . 1 k sor, mely a divergens k = 1 1 k sor 1 6 -szorosa, így maga is divergens. Mivel találtunk divergens minoráns sort, ezért az eredeti sor is divergens.
6. feladat Alkalmas majoráns vagy minoráns sor segítségével állapítsuk meg, hogy miként viselkedik konvergencia szempontjából a k = 1 8 k + 3 k 2 10 . 7 k + 3 . 2 k sor!

Megoldás: A tört számlálója és nevezője pozitív, s a számlálóban álló 8 k gyorsabban nő a nevzőben levő 2 k -nál és 7 k -nál, ezért a sor valószínűleg divergens. Állítsunk elő minoráns sort. Hagyjuk el a számlálóból a 3 k 2 -et, így a tört biztosan csökken.

a k = 8 k + 3 k 2 10 . 7 k + 3 . 2 k > 8 k 10 . 7 k + 3 . 2 k

A tört tovább csökken, ha a nevezőben 2 k helyére 7 k kerül.

a k > 8 k 10 . 7 k + 3 . 2 k > 8 k 10 . 7 k + 3 . 7 k = 8 k 13 . 7 k = 1 13 . ( 8 7 ) k > 0

A k = 1 8 k 10 . 7 k + 3 . 2 k sornak tehát minoráns sora a k = 1 1 13 . ( 8 7 ) k sor. Ez azon mértani sor 1 13 -szorosa, melyben q = 8 7 . Mivel nem teljesül az | q | < 1 egyenlőtlenség, ez a sor divergens, s így az eredeti sor is az.
7. feladat Megfelelő majoráns vagy minoráns sor segítségével határozzuk meg , hogy konvergens vagy divergens a k = 1 e sin k e k sor!

Megoldás: A sor általános tagja olyan tört, melynek számlálója is nevezője is pozitív. A számláló korlátos, hiszen 1 sin k 1 1 e e sin k e . A nevező gyorsan nő, ezért a sor valószínűleg konvergens. Keressünk majoráns sort. Írjuk a számlálóba a legnagyobb értéket, amit e sin k felvehet.

| a k | = a k = e sin k e k e e k = e . ( 1 e ) k

A k = 1 e sin k e k sornak tehát majoráns sora a k = 1 e . ( 1 e ) k sor. Ez egy mértani sor e -szerese, melyben q = 1 e . Teljesül a | q | < 1 egyenlőtlenség, így a majoráló sor konvergens, s ebből következően az eredeti is az.
8. feladat Állapítsuk meg a k = 1 k k k + 1 sorról a majoráns vagy a minoráns kritérium segítségével, hogy konvergens vagy divergens!

Megoldás: A sor várhatóan divergens, mert a nevező nem nő nagyon gyorsan, hiszen csak elsőfokú, s a számláló nem nullához tart. Keressünk minoráns sort. A számlálóban k k helyére 1 -et írva a tört csökken.

| a k | = a k = k k k + 1 > 1 k + 1

Ha most a nevezőben 1 helyére k -t írunk, a tört nem nő.

| a k | > 1 k + 1 1 k + k = 1 2 k

A k = 1 1 2 k sor tehát minoráns sora a k = 1 k k k + 1 sornak. Mivel ez a divergens k = 1 1 k sor 1 2 -szerese, ezért divergens, s így az eredeti sor is az.
9. feladat Keressünk megfelelő majoráns vagy minoráns sort a k = 1 ( sin k k ) 2 sorhoz, és határozzuk meg hogyan viselkedik konvergencia szempontjából!

Megoldás: A sor általános tagja pozitív és a k = sin 2 k k 2 alakban is írható. A számláló felülről korlátos, a nevező pedig másodfokú, ezért a sor valószínűleg konvergens, így majoráns sort próbálunk találni. Írjuk a számlálóba a legnagyobb értéket, amit sin 2 k felvehet.

| a k | = a k = sin 2 k k 2 1 k 2

A sort tehát majorálja a k = 1 1 k 2 sor, amely konvergens. Mivel találtunk konvergens majoráns sort, az eredeti sor is konvergens.
10. feladat A majoráns vagy a minoráns kritérium alkalmazásával döntsük el a k = 2 1 ln k 2 sorról, hogy konvergens vagy divergens!

Megoldás: A sor tagjai pozitívak, s mivel a nevező lassan nő a logaritmus miatt, ezért sejtésünk szerint divergens. Keressünk minoráns sort. Ehhez a sor általános tagját írjuk a k = 1 2 ln k alakban.
Mivel igaz a k > ln k egyenlőtlenség, ha a nevezőben ln k helyére k -t írunk, akkor a tört csökken.

a k = 1 2 ln k > 1 2 k

A k = 2 1 ln k 2 sornak tehát minoráns sora a k = 2 1 2 . 1 k sor. Ez divergens, hiszen a divergens k = 1 1 k sorból az első tag elhagyásával, majd 1 2 -del szorzással kapjuk, de ezek a sor divergens voltát nem befolyásolják. Így találtunk divergens minoráns sort, s ebből következően az eredeti sor is divergens.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Melyik igaz az alábbi állítások közül, a k = 1 k + 3 k 3 + 4 k sorra?
 
A k = 1 1 k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 1 2 k sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 1 k 2 sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 1 3 k 2 sor minoráns sora, ezért divergens.
 

2. kérdés: A következő állítások közül melyik igaz a k = 1 k + 2 k 3 + k + 3 sorra?
 
A k = 1 4 . 1 k sor minoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 2 . 1 k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 2 . 1 k 2 sor minoráns sora, ezért konvegrens.
 
A k = 1 3 . 1 k 2 sor majoráns sora, ezért konvergens.
 

3. kérdés: Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz a k = 1 k + 4 k 2 + 3 k sorra?
 
A k = 1 4 . 1 k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 1 k sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 1 k 2 sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 4 . 1 k 2 sor minoráns sora, ezért divergens.
 

4. kérdés: A k = 1 k 2 + 3 k 2 k + 4 sorra melyik állítás igaz?
 
A k = 1 1 5 . ( 3 2 ) k sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 1 2 . ( 3 4 ) k sor majoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 3 2 . ( 1 4 ) k sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 3 4 . ( 1 2 ) k sor majoráns sora, ezért divergens.
 

5. kérdés: Az alábbi állítások közül melyik igaz a k = 1 k 2 + 5 k + 1 4 k + 3 k sorra?
 
A k = 1 1 4 k sor minoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 k 2 3 k sor minoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 7 4 . 1 k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 7 . k 2 3 k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 

6. kérdés: Tekintsük a k = 1 k + 5 k 2 + 2 k + 1 sort. A következő állítások közül, melyik igaz erre sorra?
 
A k = 1 5 k 2 sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 3 2 . 1 k 2 sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 3 2 . 1 k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 1 4 k sor minoráns sora, ezért divergens.
 

7. kérdés: A következő állítások közül melyik igaz a k = 1 e 1 cos k k k sorra?
 
A k = 1 e k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 1 e k sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 e 2 k k sor minoráns sora, ezért divergens.  
 
A k = 1 1 k sor minoráns sora, ezért divergens.
 

8. kérdés: Döntse el melyik állítás igaz a k = 1 k ln k 3 sorra.
 
A k = 1 1 3 sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 1 k 2 sor majoráns sora, ezért konvergens.
 
A k = 1 3 k 2 sor minoráns sora, ezért divergens.
 
A k = 1 1 3 k majoráns sora, ezért konvergens.