//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.1. Függvények értelmezési tartománya

Tanulási cél: Az értelmezési tartományok meghatározásakor leggyakrabban alkalmazott eljárások begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 5.1. és 5.6.

Elméleti összefoglaló: Egy függvényt két dolog határoz meg: a hozzárendelési utasítás és az értelmezési tartomány. Ugyanakkor szokás függvényeket csupán a hozzárendelési utasítás megadásával definiálni. Ilyenkor értelmezési tartománynak a valós számok azon legbővebb részhalmzát tekintjük, amelyen a hozzárendelési utasítás értelmes. Ennek a részhalmaznak a meghatározása gyakran fontos. Ezzel foglalkozik az első lecke.

Nyomatékkal felhívjuk az olvasó figyelmét arra, hogy a függvénytani részt kezdje az elemi alapfüggvényekkelvaló alapos megismerkedéssel. Minden alapfüggvény esetén legyen tisztában a függvény definíciójával, (például, hogy mit jelent s in x tetszőleges x valós szám esetén), azzal, hogy mi az értelmezési tartomány, és ismerje a függvény grafikonját.
Minden feladat lényegében az elemi alapfüggvényekből a függvénytani műveletekkel felépített bonyolultabb függvényekről szól, így az alapfüggvények biztos ismerete elengedhetetlen.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 1 x 2 + x függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: A függvény hozzárendelési utasítása egy tört. Tudjuk, hogy egy tört nevezője nem lehet nulla. Most tehát a valós számok közül azokat kell kizárni az értelmezési tartományból, amelyekre a nevező nulla. Megoldjuk tehát az

x 2 + x = 0

egyenletet. Használhatjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, vagy az x ( x + 1 ) = 0 szorzatra bontást.

Mivel egy szorzat akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azt kapjuk, hogy egyenletünk két megoldása: x 1 = 1 és x 2 = 0 .

Ebből a két számból álló halmazt kell tehát a valós számok halmazából kivonni. Így az f függvény D f -el jelölt értelmezési tartománya:

D f = R { 1,0 } = ( , 1 ) U ( 1, 0 ) U ( 0, ) .
2. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x 2 x 2 függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: Négyzetgyököt a valós számok körében csak nemnegatív számból vonhatunk. Ezért az a feltétel, hogy

x 2 x 2 0 .

Ennek az egyenlőlenségnek a megoldáshalmaza adja az értelmezési tartományt.

A másodfokú egyenlőtlenség megoldását a következőképp kaphatjuk meg. Először megoldjuk az

x 2 x 2 = 0

egyenletet. Szorzatra bontva a másodfokú kifejezést

( x + 1 ) ( x 2 ) = 0 ,

a két gyök tehát x 1 = 1 és x 2 = 2 . Persze a megoldóképletet is használhattuk volna.

A másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, így grafikonja egy felfelé nyíló parabola, tehát a kifejezés a két gyökén kívül pozitív, és a két gyöke között negatív. Az értelmezési tartományt úgy kapjuk meg, hogy a valós számok közül elhagyjuk azokat, ahol a másodfokú kifejezés negatív, azaz a ( 1, 2 ) nyílt intervallum pontjait.

Ezek alapján

D f = R ( 1, 2 ) = ( , 1 ] U [ 2, ) .

Figyeljünk a zárójelekre! Az előző feladatban a valós számok halmazából egy kételemű halmazt vontunk ki, ezért használtunk ott kapcsos zárójelet. A mostani feladatban egy nyílt intervallum összes elemét kellett elhagyni a valós számok közül.
3. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = 1 ln ( x 2 2 x + 1 ) függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: Most két dolog jelent korlátozást. Az első az, hogy logaritmusát csak pozitív számnak vehetjük, tehát teljesülnie kell az

x 2 2 x + 1 > 0

egyenlőtlenségnek.

A második az, hogy a nevezőben nem állhat nulla.

Az értelmezési tartományt tehát úgy kapjuk meg, hogy a fenti egyenlőtlenség megoldáshalmazából elhagyjuk a nevező gyökhelyeit.

Megoldjuk az x 2 2 x + 1 > 0 egyenlőtlenséget. Mivel x 2 2 x + 1 = ( x 1 ) 2 , a másodfokú kifejezés minden 1 -től különböző szám esetén pozitív. Tehát az egyenlőtlenség megoldáshalmaza

H 1 = ( , 1 ) U ( 1, ) .

Mivel a logaritmus függvény csak 1-ben nulla, a nevező akkor lesz nulla, ha

x 2 2 x + 1 = 1 ,

azaz, ha

x 2 2 x = 0 .

Ennek a másodfokú egyenletnek a két megoldása x 1 = 0 és x 2 = 2 . Ezt a két számot kell tehát még elhagyni a H 1 halmazból.

Ezek alapján végül is

D f = H 1 { 0, 2 } = ( , 0 ) U ( 0, 1 ) U ( 1, 2 ) U ( 2, ) .
4. feladat Mi az értelmezési tartománya az f ( x ) = 2 x + ln ( x 1 ) függvénynek?

Megoldás: Nyilván értelmesnek kell lenni külön a gyökös és külön a logaritmusos kifejezésnek is.

Jelölje H 1 azt a halmazt, ahol a gyökös kifejezés értelmes, H 2 azt a részhalmazt, ahol a logaritmusos kifejezés értelmes.

A D f ennek a két halmaznak a metszete.

Meghatározzuk először H 1 -et. Az a feltétel, hogy

2 x 0 ,

azaz x 2 legyen. Ez alapján

H 1 = ( , 2 ] .

H 2 esetén az a feltétel, hogy

x 1 > 0 ,

azaz x > 1 legyen. Ebből

H 2 = ( 1, ) .

Ennek a két halmaznak a metszetéből kapjuk, hogy

D f = ( 1, 2 ] .

Egyváltozós függvények értelmezési tartományát gyakran valós számok részhalmazainak metszeteként, vagy uniójaként kapjuk meg. A valós számok részhalmazai ábrázolhatók a valós számegyenesen. Az ilyen részhalmazok metszeteit és unióit, különösen, ha azok tagjai több darabból állnak, grafikusan célszerű meghatározni a következő módon.

A metszet, vagy unió minden tagját feltüntetjük egy valós számegyenesen, úgy, hogy a halmazhoz tartozó pontokat megvastagítjuk. Ezeket egymás alá rajzoljuk, úgy, hogy a origók egy függőleges volnaban legyenek. Az egységet is mindegyik ábrán ugyanakkorának választjuk. Az üres kör azt jelzi, hogy az a szám nincs a halmazban, a teli kör azt, hogy benne van.

Ezután a metszetet úgy kapjuk, hogy legalul felveszünk még egy számegyenest, ügyelve arra, hogy az origója és az egysége a fentiek alá essen, és azon megjelöljük azokat a pontokat, amelyek mindegyik számegyenesen meg voltak jelölve. Az uniónál azokat a pontokat kell a legalsó számegyenesen megjelölni, amelyek valamelyik fentin meg voltak jelölve.

A feladatunk esetében ezt mutatja az alábbi ábra.

5. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = x 2 x + 1 függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: Annak kell teljesülni, hogy

x 2 x + 1 0 .

Ez akkor igaz, ha a tört értéke nulla, ami a valós számok egy H 1 részhalmazán teljesül, vagy ha a tört értéke pozitív, ami egy H 2 részhalmazon teljesül. Most ennek a két halmaznak az uniója adja a D f -et.

Kezdjük H 1 meghatározásával.

Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevező pedig értelmes. Az x 2 = 0 feltétel teljesül, ha x = 2 . Mivel 2 -ben a nevező nem nulla, így ez a tört egyetlen zérushelye, vagyis

H 1 = { 2 } .

Rátérünk H 2 meghatározására.

Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, ez egy H 2 " halmaz pontjaiban teljesül, vagy ha mind a számláló, mind a nevező negatív, ez egy H 2 " pontjaiban teljesül. Ezek uniója adja H 2 -t.

Meghatározzuk először H 2 " -t. Annak kell teljesülni, hogy

x 2 > 0 ,

azaz x > 2 ,

és

x + 1 > 0 ,

azaz x > 1 .

Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az x > 2 számokra teljesül, tehát

H 2 " = ( 2, ) .

H 2 " esetén annak kell teljesülni, hogy

x 2 < 0 ,

azaz x < 2 ,

és

x + 1 < 0 ,

azaz x < 1 .

Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az x < 1 számokra teljesül, vagyis

H 2 " = ( , 1 ) .

Ezeket felhasználva, amint az az alábbi ábráról is leolvasható

H 2 = H 2 " U H 2 " = ( , 1 ) U ( 2, ) .



Végül is

D f = H 1 U H 2 = ( , 1 ) U [ 2, ) .

Az D f garfikus előállítása szerepel a következő ábrán.

6. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = arcsin ( 2 x 5 ) függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: Az arcsin ( x ) függvény értelmezési tartománya a [ 1, 1 ] intervallum, az tehát a feltétel, hogy

1 2 x 5 1 .

Megoldjuk ezt a kettős egyenlőtlenséget. Az ezekre vonatkozó ekvivalens átalakítási lehetőségek hasonlóak az egyenlőtlenségekre vonatkozókhoz. Szabad például minden "oldalhoz" hozzáadni ugyanazt a számot. Ötöt hozzáadva minden "oldalhoz" azt kapjuk, hogy

4 2 x 6 .

Kettővel végigosztva

2 x 3 .

Így tehát

D f = [ 2, 3 ] .
7. feladat Meghatározandó az f ( x ) = arccos ( 3 x 4 2 ) függvény értelmezési tartománya.

Megoldás: Most is az a feltétel, hogy

1 3 x 4 2 1 .

Ekvivalens átalakításokat végezve kapjuk, hogy

2 3 x 4 2 ,

2 3 x 6 ,

2 3 x 2 .

Így végül

D f = [ 2 3 , 2 ] .
8. feladat Határozzuk meg az f ( x ) = arcsin ( 2 x 1 ) függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: Az osztás miatt x 1 0 x 1 .

Az arcsin miatti feltétel az, hogy

1 2 x 1 1 .

Mivel a nevező nem állandó előjelű, két esetet kell vizsgálni, ha pozitív és ha negatív. (A nullát már kizártuk.)

Ha x 1 > 0 , vagyis x > 1 , akkor az eredeti kettős egyenlőtlenség azzal ekvivalens, hogy

( x 1 ) 2 x 1 .

Ennek megoldáshalmazát jelöljük H 1 -gyel.

Ha azonban x 1 < 0 , akkor az eredeti kettős egyenlőtlenség azzal ekvivalens, hogy

( x 1 ) 2 x 1 . (Ha negatív számmal szorzunk megfordulnak az egyenlőtenségek irányai.)

Ennek megoldáshalmazát jelölje H 2 .

Ennek a két halmaznak az uniója adja D f -et.

Foglalkozzunk először H 1 meghatározásával.

Ekkor, az x > 1 feltételen túl, annak kell teljesülni, hogy

x + 1 2 ,

azaz x 1 ,

és

2 x 1 ,

azaz x 3 .

Ez a három egyenlőtlenség egyszerre teljesül, ha x 3 , tehát

H 1 = [ 3, ) .

Ezt mutatja az alábbi ábra.



H 2 esetén, az x < 1 feltételen túl, annak kell teljesülni, hogy

x + 1 2 ,

azaz x 1 ,

és

2 x 1 ,

azaz x 3 .

Ez a három egyenlőtlenség egyszerre teljesül, ha x < 1 , tehát

H 2 = ( , 1 ) .

Grafikusan mindez.



Ezek alapján végül

D f = H 1 U H 2 = ( , 1 ] U [ 3, ) .

Az unió grafikus előállítását mutatja az alábbi ábra.


9. feladat Hatátozzuk meg az f ( x ) = ln ( x 2 x 2 x 2 + x 2 ) függvény értelmezési tartományát.

Megoldás: Az a feltétel most, hogy teljesüljön az

x 2 x 2 x 2 + x 2 > 0

egyenlőtlenség.

Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, vagy ha mind a kettő negatív.

Bevezetjük a következő jelöléseket.

H 1 -el jelöljük azt a halmazt, ahol a számláló és a nevező is pozitív, H 2 -vel azt, ahol mindkettő negatív. Ezek uniója adja az értelmezési tartományt.

Kezdjük H 1 meghatározásával.

Mivel a számláló és a nevező képe is felfelé nyíló parabola, ezek a gyökeiken kívül pozitívak, és a gyökeik között negatívak.

Egyenlővé téve a számlálót is és a nevezőt is nullával, és megoldva az egyenleteket, azt kapjuk, hogy a számláló gyökei -1 és 2, a nevező gyökei pedig -2 és 1.

H 1 " az a halmaz, ahol a számláló pozitív, H 1 " az, ahol a nevező pozitív. Ezek metszete H 1 .

Megrajzolva a megfelelő ábrát leolvashatjuk, hogy

H 1 = ( , 2 ) U ( 2, ) .



Térjünk rá H 2 meghatározására.

H 2 " jelölje azt a halmazt, ahol a számláló negatív, H 2 " azt, ahol a nevező negatív.
Ezek metszete H 2 .

Az ábra alapján

H 2 = ( 1, 1 ) .



Végül, az uniót is grafikusan meghatározva, az alábbi ábrából kapjuk, hogy

D f = H 1 U H 2 = ( , 2 ) U ( 1, 1 ) U ( 2, ) .



Ellenőrző kérdések:

1. kérdés : Mi az f ( x ) = 1 x + 1 x 1 függvény értelmezési tartománya?
 
D f = ( , 0 ) U ( 1, ) .
 
D f = ( , 0 ) U ( 0, 1 ) U ( 1, ) .
 
D f = ( , 0 ) U [ 0, 1 ] U ( 1, ) .
 
D f = ( 0, 1 ) .
 

2. kérdés : Mi az értelmezési tartománya az f ( x ) = 1 x 2 + 2 x függvénynek?
 
D f = ( , 2 ] U ( 0, ) .
 
D f = R { 0 } .
 
D f = ( , 2 ) U ( 0, ) .
 
D f = R [ 2, 0 ] .
 

3. kérdés: Legyen f ( x ) = ln ( x ( 2 x ) ) . Ekkor D f =
 
( 0, 2 ) .
 
( 2, 0 ) .
 
[ 0, 2 ] .
 
( 0, 2 ] .
 

4. kérdés: Az f ( x ) = 1 ln ( x + 1 ) 3 x függvény értelmezési tartománya
 
( 1, 0 ) U ( 0, 3 ] .
 
( 1, 0 ) U ( 0, 3 ) .
 
( 1, 3 ) .
 
( 1, 3 ] .
 

5. kérdés : Mi az értelmezési tartománya az f ( x ) = ln ( 2 x x + 3 ) függvénynek?
 
D f = ( 2, 3 ) .
 
D f = ( 3, 2 ) .
 
D f = ( , 3 ] U [ 2, ) .
 
R { 3, 2 } .
 

6. kérdés : Az f ( x ) = arcsin ( 2 x 3 ) értelmezési tartománya
 
[ 1, 5 ] .
 
( 1, 5 ) .
 
[ 1, 5 ] .
 
[ 5, 1 ] .
 

7. kérdés : Az f ( x ) = arccos ( 1 1 x ) függvény értelmezési tartománya
 
( , 0 ] U [ 2, ) .
 
[ 0, 2 ] .
 
( 2, 0 ) .
 
[ 2, )