//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.1. A határozatlan integrál fogalma, alapintegrálok

Tanulási cél: A határozatlan integrál fogalmának megismerése, alapintegrálokra visszavezethető integrálási feladatok megoldása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.1. és 8.2.

Elméleti összefoglaló:
A F ( x ) függvényt az f ( x ) függvény primitív függvényének nevezzük, ha F ( x ) = f ( x ) .

Az f ( x ) függvény határozatlan integráljának nevezzük és f ( x ) d x -szel jelöljük primitív függvényeinek összességét.  Azaz f ( x ) d x = F ( x ) + c , ahol F " ( x ) = f ( x ) és c R .

k . f ( x ) d x = k . f ( x ) d x , ahol k R , azaz integrálásnál a konstans szorzó változatlan marad.

( f ( x ) + g ( x ) ) d x = f ( x ) d x + g ( x ) d x , azaz függvények összegét tagonként lehet integrálni.

Hasonlóan igaz függvények különbségére, hogy ( f ( x ) g ( x ) ) d x = f ( x ) d x g ( x ) d x .

Bár itt nem soroljuk fel őket, de feltétlenül ismerni kell az úgynevezett alapintegrálokat, tankönyv 8.2. fejezet.

Ezen kívül használni fogunk néhány azonosságot a trigonometrikus és hiperbolikus függvényekre.

1 = sin 2 x + cos 2 x , 1 = ch 2 x sh 2 x ,

sin 2 x = 2 sin x . cos x , sh 2 x = 2 sh x . ch x ,

cos 2 x = cos 2 x sin 2 x , ch 2 x = sh 2 x + ch 2 x .

Ezek közül a trigonometrikusok középiskolából ismertek, a hiperbolikusok pedig a függvények definíciójából behelyettesítéssel levezethetők.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Legyen f ( x ) = 3 x 2 + sin x 1 sh 2 x . Integráljuk a függvényt!

Megoldás: Mivel függvények összegéről és különbségéről van szó, tagonként integrálhatunk.

( 3 x 2 + sin x 1 sh 2 x ) d x = 3 x 2 d x + sin x d x 1 sh 2 x d x

Az első tagban szereplő konstans szorzó kiemelhető.

3 x 2 d x + sin x d x 1 sh 2 x d x

Már csak alapintegrálok szerepelnek, melyeket egyszerűen behelyettesítünk. Az első részben egy hatványfüggvényt kell integrálnunk, ekkor az x α d x = x α + 1 α + 1 + c , α 1 alapintegrál szerint eggyel megnöveljük a kitevőt, s az új kitevővel osztunk.

3 ( x 3 3 ) + ( cos x ) ( cth x ) + c = x 3 cos x + cth x + c

A megoldás helyességét deriválással ellenőrizhetjük. Ha az eredményt deriváljuk, visszakapjuk f ( x ) -et.
2. feladat Integráljuk az f ( x ) = x . x 5 függvényt!

Megoldás: Először alakítsuk át a függvényt! A gyököket írjuk inkább hatványként.

f ( x ) = ( x . x 1 2 ) 1 5

Végezzük el a zárójelen belül a szorzást!

f ( x ) = ( x 3 2 ) 1 5

Mivel egy hatványt hatványozunk, a kitevők szorzódnak.

f ( x ) = x 3 10

Ezután már csak egyetlen hatványt kell integrálnunk. Ekkor az integrálás során, mint az előző feladatban, az x α d x = x α + 1 α + 1 + c , α 1 alapintegrál szerint a kitevőt eggyel megnöveljük, s az új kitevővel pedig osztanunk kell.

f ( x ) d x = x 3 10 d x = x 13 10 13 10 + c = 10 13 x 13 10 + c

Ez nem csak ilyen alakban írható, hanem a törtkitevős hatvány gyökös kifejezéssé alkítható. Ekkor eredményünk a következő:

f ( x ) d x = 10 13 x 13 10 + c

Megjegyzés: Az integrálási feladatok általában azért tűnnek nehezebbeknek, mert az integrálás előtt sokszor át kell alakítani a függvényeket, hogy az integrálás elvégezhető legyen. Az alapintegrálok biztos ismerete azért is szükséges, mert előre kell látni, hogy milyenné célszerű alakítani a függvényt.
3. feladat Integráljuk az f ( x ) = x 3 ( x 2 3 x ) függvényt!

Megoldás: Függvények szorzatát kell integrálnunk, amire nincsen általánosan integrálási szabály. Próbáljuk meg ezért úgy átalakítani a függvényt, hogy eltűnjön a szorzás. Írjuk át a köbgyököt törtkitevős hatvánnyá, és bontsuk fel a zárójelet.

f ( x ) = x 1 3 ( x 2 3 x ) = x 1 3 . x 2 3 x 1 3 . x

Mindkét tagban azonos alapú hatványok szorzata szerepel, melyeket egyetlen hatványként is írhatunk. (A kitevők összeadódnak.)

f ( x ) = x 7 3 3 x 4 3

Sikerült elérnünk, hogy már nem szerepel függvények szorzata, hanem csak különbsége, melyet külön-külön integrálhatunk.

( x 7 3 3 x 4 3 ) d x = x 7 3 d x x 4 3 d x

A második részben az integrálás és a 3-mal szorzás sorrendje felcserélhető, amit szemléletesen úgy mondhatunk, hogy a 3-as szorzó az integrál elé kiemelhető.

x 7 3 d x 3 x 4 3 d x

Mindkét esetben hatványfüggvényt kell integrálnunk, azaz a kitevőt eggyel megnöveljük, s az új kitevővel osztunk. Eredményünk a következő:

x 10 3 10 3 3 x 7 3 7 3 + c = 3 10 x 10 3 9 7 x 7 3 + c .

Ugyanez más alakban:

3 10 x 10 3 9 7 x 7 3 + c .
4. feladat Legyen f ( x ) = 2 x 3 + 5 x x . Mi a függvény határozatlan integrálja?

Megoldás: Most függvények hányadosa szerepel, amire ugyanúgy nincs általánosan integrálási szabály, mint a függvények szorzatára. Most is tudunk azonban alakítani a függvényen. A számlálóban levő összeg tagjait külön-külön oszthatjuk a nevezővel, s a gyököt pedig hatvány alakban is írhatjuk.

f ( x ) = 2 x 3 x + 5 x x = 2 x 3 x 1 2 + 5 x x 1 2

Végezzül el az osztásokat. (A kitevők most kivonódnak.)

f ( x ) = 2 x 5 2 + 5 x 1 2

Ezután tagonként integrálhatunk, s a konstans szorzókat pedig az integrál elé emelhetjük.

( 2 x 5 2 + 5 x 1 2 ) d x = 2 x 5 2 d x + 5 x 1 2 d x = 2 x 5 2 d x + 5 x 1 2 d x

Ismét hatványfüggvényeket kell integrálnunk, azaz a kitevőt eggyel megnöveljük, s az új kitevővel osztunk. Kapjuk:

2 x 7 2 7 2 + 5 x 3 2 3 2 + c = 4 7 x 7 2 + 10 3 x 3 2 + c .

Ugyanez gyökös alakban:

4 7 x 7 + 10 3 x 3 + c .

Megjegyzés: A 3. és 4. feladat megoldása során azt használtuk fel, hogy azonos alapú hatványok szorzata és hányadosa egyetlen hatványként is írható, s így eltűnik a függvények szorzata illetve hányadosa, amelyekre nincsen integrálási szabály.
Az eddigi feladatokban részletesen leírtuk, hogy függvények összegét és különbségét külön-külön integráljuk, s a konstanssal való szorzás és az integrálás sorrendje felcserélhető. A további feladatokban ezt már nem fogjuk ennyire részletezni.
5. feladat x 2 sin 2 x x 2 . sin 2 x d x =

Megoldás: Mivel a számlálóban különbség áll. a függvény felbontható két tört különbségére.

( x 2 x 2 . sin 2 x sin 2 x x 2 . sin 2 x ) d x

Mindkét tört egyszerűsíthető.

( 1 sin 2 x 1 x 2 ) d x

A második törtet írjuk inkább negatív kitevővel hatványként.

( 1 sin 2 x x 2 ) d x

Alapintegrálok különbsége szerepel, külön-külön integrálhatunk. Kapjuk:

ctg x x 1 1 + c = ctg x + x 1 + c = 1 x ctg x + c .
6. feladat 3 x 2 + 1 x 2 ( x 2 + 1 ) d x =

Megoldás: A feladat megoldása hasonlít az előzőre, azonban mielőtt a függvényt két törtre bontjuk, a számlálót írjuk fel két olyan tag összegeként, melyek közül az egyik a nevezőben levő szorzat egyik tényezőjével, a másik pedig a nevezőben levő másik tényezővel osztható.

2 x 2 + ( x 2 + 1 ) x 2 . ( x 2 + 1 ) d x

Ezután bontsuk két törtre és egyszerűsítsünk.

( 2 x 2 x 2 . ( x 2 + 1 ) + x 2 + 1 x 2 . ( x 2 + 1 ) ) d x = ( 2 x 2 + 1 + 1 x 2 ) d x

Az első tört számlálójából a 2-t írjuk inkább a tört elé szorzóként, a másodikat pedig írjuk hatványként.

( 2 1 x 2 + 1 + x 2 ) d x

Már csak alapintegrálok szerepelnek, hiszen 1 x 2 + 1 = 1 1 + x 2 . Eredményünk a következő:

2 arctg x + x 1 1 + c = 2 arctg x 1 x + c .

Megjegyzés: Az 5. és 6. feladat megoldása során olyan törteket integráltunk, melyeknek a nevezőjében szorzat állt, a számlálóban pedig a nevezőben szereplő tényezők számszorosainak összege. Az ilyen esetekben a törtet két törtre bontjuk, melyeket egyszerűsíteni tudunk. Ehhez fel kell ismernünk, hogy a számlálót miként kell részekre bontanunk ahhoz, hogy benne a nevezőben szereplő tényezők számszorosainak összege legyen. Természetesen ez nem minden törttel hajtható végre, de ez egy lehetséges arra, hogy egy törtet integrálható függvények összegére bontsunk.
7. feladat tg x sin 2 x d x =

Megoldás: Az integrálandó függvény, más néven integrandus, most trigonometrikus függvények hányadosaként áll elő. Ezért az átalakítás során a trigonometrikus függvényekre vonatkozó azonosságokat használhatjuk.

Jelen esetben a tg x = sin x cos x és sin 2 x = 2 sin x . cos x azonosságokra van szükségünk. A következőt kapjuk:

sin x cos x 2 sin x . cos x d x .

Egyszerűsítsük a törtet sin x -szel, és emeljünk ki 1 2 -et az integrál elé.

1 2 1 cos 2 x d x

Egy alapintegrált kaptunk, melyet csupán be kell helyettesítenünk. Végeredményünk:

1 2 tg x + c .
8. feladat ctg 2 x d x =

Megoldás: Megint trigonometrikus összefüggést használunk, ctg x = cos x sin x . Így az integrál a következő lesz:

cos 2 x sin 2 x d x .

Használjuk fel, hogy cos 2 x = 1 sin 2 x , s bontsuk fel a függvényt két törtre, valamint egyszerűsítsünk.

1 sin 2 x sin 2 x d x = ( 1 sin 2 x sin 2 x sin 2 x ) d x = ( 1 sin 2 x 1 ) d x

Már csak alapintegrálok szerepelnek, melyeket behelyettesítünk. Az eredmény:

ctg x x + c .
9. feladat 1 sh x + ch x d x =

Megoldás: Most hiperbolikus függvények szerepelnek az integrandusban, így a rájuk vonatkozó azonosságokat tudjuk felhasználni az átalakítások során.

A számlálóban az 1 helyére ch 2 x sh 2 x írható, melyet szozattá tudunk bontani.

ch 2 x sh 2 x sh x + ch x d x = ( ch x + sh x ) ( ch x sh x ) sh x + ch x d x

Ezután egyszerűsíthetünk, majd az integrálás is elvégezhetjük, hiszen csak alapintegrálok maradnak.

( ch x sh x ) d x = sh x ch x + c
10. feladat ch 2 x sh 2 x sh x ch x d x =

Megoldás: Megint a hiperbolikus függvényekre vonatkozó összefüggéseket kell felhasználnunk, nevezetesen a ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x és sh 2 x = 2 sh x . ch x azonosságokat. Így az integrál a következő:

ch 2 x + sh 2 x 2 sh x . ch x sh x ch x d x

Felismerhető, hogy a számlálóban teljes négyzet áll, s így tudunk egyszerűsíteni is, majd az integrálás is elvégezhető.

( sh x ch x ) 2 sh x ch x d x = ( sh x ch x ) d x = ch x sh x + c

Ellenőrző kérdések:

1.kérdés: ( 3 x 4 2 sh x + 5 sin 2 x ) dx =
 
3 5 x 2 + 2 ch x 5 ctg x + c
 
3 4 x 5 2 ch x + 5 ctg x + c
 
3 5 x 5 2 ch x 5 ctg x + c
 
3 4 x 5 + 2 ch x 5 ctg x + c
 

2. kérdés:   x 3 ( x x ) d x =
 
3 7 x 7 3 6 11 x 11 6 + c
 
7 3 x 7 3 6 11 x 11 6 + c
 
3 7 x 3 7 6 11 x 6 11 + c
 
7 3 x 3 7 11 6 x 6 11 + c
 

3.kérdés: x + sh 2 x x . sh 2 x d x =
 
x 2 2 cth x + c
 
ln x . cth x + c
 
x 2 2 cth x + c
 
ln x cth x + c
 

4.kérdés: 1 x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) d x =
 
1 x 2 arctg x + c
 
1 x 2 arctg x + c
 
1 x arctg x + c
 
1 x arctg x + c
 

5. kérdés: th 2 x d x =
 
th 3 x 3 + c
 
th 3 x 3 ch 2 x + c
 
x th x + c
 
th x x + c
 

6. kérdés: cos 2 x sin x + cos x d x =
 
sin x + cos x + c
 
sin x cos x + c
 
cos x sin x + c
 
sin x cos x + c