 |  | Kidolgozott feladatok:
1. feladat Döntsük el, konvergens-e az
a n = 1 2 n
sorozat, adjuk meg a határértékét, és határozzuk meg az
ε = 10 − 6
-hoz tartozó küszöbszámot!
Megoldás:
Fogalmazzuk meg a definíciót más szavakkal, közelebb hozva a köznapi nyelvhez.
Akkor mondjuk, hogy egy sorozat határértéke
A
, ha bármilyen kicsi eltérést
( ε )
engedünk is meg
A
-tól, a sorozat kellően nagy indexű elemei még ennél is közelebb vannak
A
-hoz.
Azt kell tehát vizsgálnunk; van-e olyan szám, amelyhez egyre jobban közelítenek a sorozat elemei, ha az index nő.
Írjuk fel a sorozat néhány elemét, s próbáljunk ebből sejtést felállítani. ( Mivel most a nagy indexű elemek is fontosak, ne csak az első egymás utáni elemeket.)
a 1 = 1 2 1 = 1 2 , a 5 = 1 2 5 = 1 32 , a 10 = 1 2 10 = 1 1024 , a 20 = 1 2 20 = 1 1048576
A sorozat elemei olyan törtek, melyeknek számlálója mindig 1, a nevező pedig egyre nő. Így a tört értéke egyre közelebb kerül a 0-hoz. Sejthető tehát, hogy a sorozat konvergens, és határértéke 0. Bizonyítsuk ezt be! Azt kell igazolnunk, hogy az
| 1 2 n − 0 | < ε
egyenlőtlenség minden
ε > 0
esetén fennáll, ha
n
elég nagy. Ehhez oldjuk meg az egyenlőtlenséget! (Most
n
az ismeretlen, az
ε
pedig paraméter.)
Mivel az abszolút értéken belüli kifejezés minden természetes szám esetén pozitív, az abszolút érték elhagyható. Kapjuk
1 2 n < ε
Szorozzunk ezután
2 n
-nel és osszunk
ε
-nal.
1 ε < 2 n
Vegyük mindkét oldal 2 alapú logaritmusát! (Mivel
ε > 0 ⇒ 1 ε > 0
, létezik a logaritmus.)
log 2 1 ε < n
Eredményünk azt mutatja, hogy a sorozatnak azon elemei, melyeknek indexe
log 2 1 ε
-nál nagyobb,
ε
-nál kevesebbel térnek el 0-tól. Az egyenlőtlenség tehát minden
ε > 0
esetén rendelkezik olyan megoldással, hogy
n
egy küszöbértéknél legyen nagyobb. Valóban konvergens tehát a sorozat, s a határértéke 0.
Jelölésben:
lim n → ∞ 1 2 n = 0
Ha például a feladatban megadott
ε = 10 − 6
értéket vesszük, akkor az
n > log 2 1 10 − 6 = log 2 10 6 ≈ 19.93
egyenlőtlenségnek kell teljesülni. Más szavakkal, a sorozat 20. és annál nagyobb indexű elemei már 1 milliomodnál is közelebb vannak 0-hoz. Így az
ε = 10 − 6
-hoz tartozó küszöbszám például
N ( ε ) = 19
is lehet a definíció szerint. (Persze minden ennél nagyobb szám is lehetne küszöbszám, azonban lehetőség szerint igyekszünk minél kisebb küszöbszámot adni.)
Megjegyzés:
Az egyenlőtlenség megoldásából látszik, hogy más
ε
érték esetén más lesz a küszöbszám. Ha például
ε
-t még kisebbre választjuk, akkor
1 ε
nagyobb lesz, így
log 2 1 ε
is nagyobb lesz, tehát a küszöbszám is nagyobb lesz. A fontos azonban az, hogy minden
ε > 0
esetén van küszöbszám.
2. feladat Vizsgáljuk meg, konvergens-e az
a n = 5 n + 7 2 n − 1
sorozat, s ha igen, mi a határértéke, valamint adjunk meg
ε = 10 − 3
-hoz küszöbszámot!
Megoldás:
Írjuk fel a sorozat első, tizedik, századik és ezredik elemét.
a 1 = 5 . 1 + 7 2 . 1 − 1 = 12 1 = 12
a 10 = 5 . 10 + 7 2 . 10 − 1 = 57 19 = 3
a 100 = 5 . 100 + 7 2 . 100 − 1 = 507 199 ≈ 2.55
a 1000 = 5 . 1000 + 7 2 . 1000 − 1 = 5007 1999 ≈ 2.505
Látható, hogy a sorozat egyre negyobb indexű elemei esetén a számlálóban levő +7 és a nevezőben levő -1 egyre kevésbé jelentős az
5 n
és a
2 n
mellett. Azaz ha
n
nagy, akkor
5 n + 7 2 n − 1 ≈ 5 n 2 n = 5 2 = 2.5
. A sorozat tehát valószínűleg konvergens, és határértéke 2.5 .
(Természetesen nem arról van szó, hogy a sorozat elemei közül bármelyik is 2.5 lenne, csak egyre jobban megközelítik a 2.5-et.)
Bizonyítsuk be a sejtést! Induljunk el most is a definícióban levő egyenlőtlenségből
| a n − A | < ε
,
csak helyettesítsük be a konkrét sorozatot megadó képletet. Eszerint
| 5 n + 7 2 n − 1 − 5 2 | < ε
.
Most nem egyértelmű az abszolút értéken belül álló kifejezés előjele, s mivel ez az abszolút érték elhagyása szempontjából fontos, ezért először csak az abszolút értéken belül alakítunk, amíg az előjelet egyértelműen el tudjuk dönteni. Hozzunk közös nevezőre.
| 2 ( 5 n + 7 ) − 5 ( 2 n − 1 ) 2 ( 2 n − 1 ) | = | 10 n + 14 − 10 n + 5 4 n − 2 | = | 19 4 n − 2 | < ε
Az utolsó törtről már látszik, hogy pozitív, hiszen a számláló egy pozitív szám, s a nevező is pozitív minden természetes szám esetén. Így az abszolút érték egyszerűen elhagyható.
19 4 n − 2 < ε
Osszunk
ε
-nal és szorozzunk
4 n − 2
-vel.
19 ε < 4 n − 2
Adjunk mindkét oldalhoz 2-t, majd osszunk 4-gyel.
n > 19 ε + 2 4
Az eredményből látható, hogy ha
n
egy
ε
-tól függő küszöbértéknél nagyobb, akkor teljesül az egyenlőtlenség, s ez minden
ε > 0
értékre teljesül. Valóban konvergens tehát a sorozat, és határértéke 2.5 .
Jelölésben:
lim n → ∞ 5 n + 7 2 n − 1 = 5 2 = 2.5
Helyettesítsük be az eredmenybe a feladatban megadott
ε
értéket.
n > 19 10 − 3 + 2 4 = 19002 4 = 4750.5
Eszerint a sorozat 4751. és annál nagyobb indexű elemei, már közelebb vannak 2.5-hez mint 1 ezred, azaz a küszöbszám már 4750 is lehet.
3.feladat Vizsgáljuk meg konvergens-e az
a n = 3 n + 1 9 − 2 n
sorozat! Ha igen, adjuk meg a határértékét, valamint
ε = 10 − 2
-hoz számoljunk küszöbindexet!
Megoldás:
A feladat hasonló mint az előző, így haladjunk ugyanazon az úton.
a 1 = 3 . 1 + 1 9 − 2 . 1 = 4 7 , a 10 = 3 . 10 + 1 9 − 2 . 10 = 31 − 11
a 100 = 3 . 100 + 1 9 − 2 . 100 = 301 − 191 , a 1000 = 3 . 1000 + 1 9 − 2 . 1000 = 3001 − 1991
Ezen elemek alapján a sorozat konvergensnek tűnik, és határértéke valószínűleg -1.5 lesz.
Helyettesítsünk a definícióban szereplő egyenlőtlenségbe.
| 3 n + 1 9 − 2 n − ( − 3 2 ) | < ε
Hozzunk közös nevezőre.
| 2 ( 3 n + 1 ) + 3 ( 9 − 2 n ) 2 ( 9 − 2 n ) | = | 6 n + 2 + 27 − 6 n 18 − 4 n | = | 29 18 − 4 n | < ε
Az abszolút értéken belül olyan tört áll, melynek számlálója pozitív, nevezője pedig, ha
n ≤ 4
, akkor pozitív, de ha
n ≥ 5
, akkor negatív. Mivel a határérték szempontjából nem a sorozat elején levő elemek az érdekesek, ezért mondhatjuk azt, hogy az első négy elemtől eltekintünk, s így egyértelművé válik a tört előjele. (A sorozat elejéről véges sok elemtől nyugodtan eltekinthetünk, mert egy küszöb feletti indexű elemeknek kell a határértékhez közel lenniük.) Mivel az abszolút értéken belül így negatív kifejezés áll, az abszolút érték a -1-szerese lesz. (Nem az egyenlőtlenséget szorozzuk meg -1-gyel, hanem az abszolút értéket hagyjuk el, csak a törtet kell szoroznunk -1-gyel.)
− 29 18 − 4 n < ε
Szorozzunk
18 − 4 n
-nel! Vigyázat, ez a kifejezés negatív, az egyenlőtlenség megfordul!
− 29 > ( 18 − 4 n ) ε
Osszunk
ε
-nal.
− 29 ε > 18 − 4 n
Vonjunk ki 18-at.
− 29 ε − 18 > − 4 n
Osszunk -4-gyel. Az egyenlőtlenség újra fordul.
n > − 29 ε − 18 − 4 = 29 ε + 18 4
Megint olyan erdeményt kaptunk, hogy
n
legyen egy
ε
-tól függő értéknél nagyobb. A sorozat tehát konvergens, és határértéke -1.5 .
Jelölésben:
lim n → ∞ 3 n + 1 9 − 2 n = − 3 2 = − 1.5
Ha vesszük a megadott
ε = 10 − 2
értéket, akkor
n > 29 10 − 2 + 18 4 = 2918 4 = 729.5
tehát a küszöbszám már 729 is lehet.
(A feladat megoldása lényegében azonos volt az előzőével, azonban több ponton is jobban figyelni kellett. Egyrészt az abszolút érték helyes elhagyásánál, másrészt pedig a negatív kifejezésekkel való szorzásnál és osztásnál.)
|
|
|