Tanulási cél: Begyakorolni a komplex számok trigonometrikus alakjában a szögek radiánban való megadását. Megismerkedni a komplex exponenciális függvénnyel.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis I.
Fejezet: 7.4.
Elméleti összefoglaló:
A komplex számok trigonometrikus alakjában eddig a komplex szám szögét fokban mértük. A szögeket azonban radiánban is mérhetjük. Ez nem annyira szemléletes, mint a fok használata, de számos előnnyel jár, és a komplex számokra alapuló komplex függvénytanban elkerülhetetlen.
A két mértékegység közötti átváltást a
360∘=2πrad
konvenció teszi lehetővé.
Ezek szerint
1∘=2π360rad=π180rad
, és
1rad=(3602π)∘=(180π)∘
.
Ezek után tetszőleges fokban mért szöget könnyen átválthatunk radiánra, és fordítva. A komplex számok körében eddig megismert minden összefüggés, amelyben a komplex számok szöge fokban volt mérve, akkor is igaz, ha a szöget radiánban mérjük, egyszerűen csak a fokban mért szögeket át kell váltani radiánra. Ahogyan a trigonometrikus alak használatakor a szögekkel végzett műveleteket moduló
360∘
kellett elvégezni, radián használata esetén az ilyen műveleteket moduló
2π
kell elvégezni, azaz csak a
2π
-vel vett osztási maradék számít. Némileg zavaró, hogy ha a szögeket radiánban mérjük nem szokás feltüntetni a mértékegységet. Ezek alapján tetszőleges valós szám egy radiánban mért szöget is reprezentál.
Az elemi analízisben, mint majd látjuk, az egyik legfontosabb függvény a középiskolából is ismert exponenciális függvény. Az exponenciális függvény kiterjeszthető a komplex számokra is, és definiálható az
e
szám tetszőleges komplex kitevős hatványa. Ennek a modern matematikában igen nagy szerepe van.
Legyen
z=x+yi
tetszőleges komplex szám. Ekkor az
ez
hatvány definíciója:
ez=ex(cosy+isiny)
.
(Itt a trigonometrikus függvények argumentuma tehát radiánban van mérve.) Vegyük észre, hogy a jobb oldalon voltaképpen egy trigonometrikus alak áll. Ebből az is következik, hogy
|ez|=ex
.
Ez a valós exponenciális függvény általánosítása, be lehet látni, hogy minden eddig megismert azonosság továbbra is érvényben marad, például
ez1+z2=ez1.ez2
.
Nekünk most csak annyi a célunk, hogy ki tudjuk számolni pozitív valós számok komplex kitevős hatványát.
Ha a
z
komplex szám tisztán képzetes, azaz
z=yi
, akkor, (hiszen most
x=0
, és
e0=1
),
ez=eyi=cosy+isiny
.
Ezt a nevezetes összefüggést Euler-formulának hívják.
Kidolgozott feladatok
1. feladat Váltsuk át az
50∘
-ot radiánra és az 5 radiánt fokra.
Megoldás:
50∘=50⋅π180rad≈0.87rad
.
5rad=5⋅180π∘≈286.48∘
.
2. feladat Számítsuk ki
e−iπ
-t.
Megoldás: Legyen
z=−iπ
, Ekkor a definíció alapján, mivel
z
-ben a valós rész nulla, a képzetes rész pedig
−π
:
ez=e−iπ=cos(−π)+isin(−π)=−1+i⋅0=−1
.
Jegyezzük meg, hogy ezek szerint a komplex exponenciális függvény negatív értékű is lehet, ellentétben a válós exponenciális függvénnyel, amelynek értéke mindig pozitív.
3. feladat Legyen
z1=1+i
és
z2=2πi
. Számítsuk ki
ez1
-et és
ez1+z2
-t.
hiszen a trigonometrikus függvények
2π
szerint periodikusak. Ennek az a meglepő következménye van, hogy a komplex exponenciális függvény
2πi
szerint periodikus.
4. feladat Legyen
u=2+i
,
v=3−i
. Számítsuk ki
euev
értékét.
Megoldás: Mint azt említettük, a komplex exponenciális függvényre minden korábban megismert azonosság változatlanul érvényes, például
euev=eu−v
. Ezt felhasználva
Megoldás: Tudjuk, hogy a periodikusság miatt végtelen sok ilyen szám van. Ilyenkor úgy járhatunk el, hogy először meghatározzuk azt a megoldást, amelynek a képzetes része a
[0,2π)
intervallumba esik. A többi megoldást úgy kapjuk, hogy ehhez hozzáadjuk
2πi
tetszőleges egészszámú többszörösét.
Legyen
z=x+iy
. Ekkor
ez
hossza egyrészt
ex
, másrészt, az egyenletünkből
|ez|=|−i|=1
. Tehát
ex=1
, amiből
x=0
következik. Azt kapjuk, hogy
ez=eyi=cosy+isiny=−i
.
Ez csak akkor teljesülhet, ha
cosy=0
és
siny=−1
. Tudjuk, hogy a
[0,2π)
intervallumban két olyan szám van, amelynek a koszinusza nulla: a
π2
és a
3π2
. Ezek közül az első szinusza 1, a másodiké -1, tehát ez a jó nekünk. Így
y=3π2
.
Vagyis az egyik megoldás
z=3πi2
. Az össze megoldás pedig az alábbi alakban adható meg:
z=3πi2+k⋅2πi
, ahol
k∈ℤ
tetszőleges.
9. feladat Oldjuk meg az
ez=4−3i
egyenletet.
Megoldás: Mint az előző feladatban, most is feltehetjük, hogy
z=x+yi
. Felhasználva, hogy ekkor
ez
hossza egyrészt
ex
, másrészt az egyenletünkből
|ez|=|4−3i|=5
, kapjuk, hogy
ex=5
, amiből
x=ln5≈1.61
. Figyelembe véve
ez
definícióját következik, hogy
ez=5(cosy+isiny)=4−3i
.
Itt a második egyenlőségre figyelve kapjuk, hogy
cosy=45=0.8
és
siny=−35=−0.6
.
Ezeket az egyenleteket csak közelítően lehet megoldani. Tudjuk, hogy a
[0,2π)
intervallumban két olyan szám van, amelynek koszinusza
0.8
. Ha ezek egyike
u
, akkor a másik
2π−u
. Így
y≈0.64
, vagy
y≈2π−0.64≈5.64
. Az első
y
érték szinusza pozitív (körülbelül
0.6
), ez tehát nem lehet a keresett érték, azaz
y≈5.64
. Ezek alapján az egyik megoldás
z≈1.61+5.64i
, az összes megoldás pedig