 |  | 5. feladat Határozzuk meg az
f ( x ) = x − 2 x + 1
függvény értelmezési tartományát.
Megoldás: Annak kell teljesülni, hogy
x − 2 x + 1 ≥ 0
.
Ez akkor igaz, ha a tört értéke nulla, ami a valós számok egy
H 1
részhalmazán teljesül, vagy ha a tört értéke pozitív, ami egy
H 2
részhalmazon teljesül. Most ennek a két halmaznak az uniója adja a
D f
-et.
Kezdjük
H 1
meghatározásával.
Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla, és a nevező pedig értelmes. Az
x − 2 = 0
feltétel teljesül, ha
x = 2
. Mivel
2
-ben a nevező nem nulla, így ez a tört egyetlen zérushelye, vagyis
H 1 = { 2 }
.
Rátérünk
H 2
meghatározására.
Egy tört két esetben pozitív. Ha mind a számláló, mind a nevező pozitív, ez egy
H 2 "
halmaz pontjaiban teljesül, vagy ha mind a számláló, mind a nevező negatív, ez egy
H 2 "
pontjaiban teljesül. Ezek uniója adja
H 2
-t.
Meghatározzuk először
H 2 "
-t. Annak kell teljesülni, hogy
x − 2 > 0
,
azaz
x > 2
,
és
x + 1 > 0
,
azaz
x > − 1
.
Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az
x > 2
számokra teljesül, tehát
H 2 " = ( 2, ∞ )
.
H 2 "
esetén annak kell teljesülni, hogy
x − 2 < 0
,
azaz
x < 2
,
és
x + 1 < 0
,
azaz
x < − 1
.
Ez a két egyenlőtlenség egyszerre az
x < − 1
számokra teljesül, vagyis
H 2 " = ( − ∞ , − 1 )
.
Ezeket felhasználva, amint az az alábbi ábráról is leolvasható
H 2 = H 2 " U H 2 " = ( − ∞ , − 1 ) U ( 2, ∞ )
.
Végül is
D f = H 1 U H 2 = ( − ∞ , − 1 ) U [ 2, ∞ )
.
Az
D f
garfikus előállítása szerepel a következő ábrán.
|
|
|