 |  | 6. feladat Oldjuk meg a komplex számok halmazán a
z 4 − 2 z 2 + 5 = 0
egyenletet.
Megoldás: Bevezetve az
u = z 2
helyettesítést az
u 2 − 2 u + 5 = 0
egyenletet kapjuk. Alkalmazva a megoldóképletet, ennek gyökei:
u 1,2 = 2 − + 4 − 20 2 = 2 − + − 16 2 = 2 − + 4 i 2
.
Itt felhasználtuk, hogy
− 16 = 16 . − 1 = 4 . ( + − i )
.
Innen
u 1 = 1 + 2 i
és
u 2 = 1 − 2 i
. Ezekből kell tehát a helyettesítés szerint négyzetgyököt vonni.
Kezdjük
u 1
trigonometrikus alakjával:
u 1 = 1 + 2 i = 5 ( cos 63.43 o + i sin 63.43 o )
.
Ennek két négyzetgyöke (
n = 2
,
ϕ 2 = 31.715 o
,
360 o 2 = 180 o
)
u 1,0 = 5 4 ( cos 31.715 o + i sin 31.715 o )
,
u 1,1 = 5 4 ( cos 211.715 o + i sin 211.715 o )
.
Hasonlóan
u 2 = 1 − 2 i = 5 ( cos 296.57 o + i sin 296.57 o )
,
aminek két négyzetgyöke
u 2,0 = 5 4 ( cos 148.285 o + i sin 148.285 o )
,
u 2,1 = 5 4 ( cos 328.285 o + i sin 328.285 o )
.
Megjegyezzük, hogy, például azért, mert az argumentumok közelítő értékek, ezek a gyökök is csak közelítő értékek.
Például, ha
u 1,0
-t átírjuk algebrai alakba, akkor, 10 tizedesjegyre pontosan számolva,
u 1,0 = 1.272053599 + 0.7860964425 i
adódik, amit behelyettesítve az eredeti egyenletbe az eredmény
0.000345550 + 0.000690937 i
,
ami nem nulla. De azért közel van a nullához, a közelítés elég jó.
Megjegyzés: A feladat megoldása során egy negatív valós számból
( − 16 )
kellett négyzetgyököt vonni. Mivel most a komplex számok halmazán végezzük a gyökvonást, elvileg át kellett volna írnunk ezt a számot trigonometrikus alakra, és abban elvégezni a gyökvonást, melynek eredményeként két darab komplex számot kapunk. Azonban ebben a speciális esetben rövidebben is eljárhatunk. A negatív valós számot szorzattá bontjuk úgy, hogy az egyik tényező a szám abszolút értéke, a másik pedig
− 1
legyen.
( − 16 = 16 . ( − 1 ) )
Ezután a gyökvonást tényezőnként végezhetjük el.
( − 16 = 16 . − 1 )
Tudjuk azonban, hogy két olyan komplex szám van, melyeknek négyzete
− 1
-gyel egyenlő, s ezek az
i
és
− i
komplex számok. Azaz nem kell elvégezni trigonometrikus alakban a
− 1
-ből a gyökvonást, mert az eredményt anélkül is tudjuk. Ezután a tényezők gyökeinek szorzataként kapjuk az eredeti szám gyökeit, azaz
− 16 = 4 . ( + − i ) = + − 4 i
. Ezt az egyszerűbb eljárást akkor alkalmazhatjuk, ha negatív számból kell négyzetgyököt vonnunk. Ha köbgyököt, vagy magasabb kitevőjű gyököt kell vonnunk, akkor át kell térnünk trigonometrikus alakra, és a gyökvonást abban kell elvégeznünk. |
|
|