//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.11. Függvények menetének vizsgálata (2)

Tanulási cél: A függvényvizsgálat további gyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.8.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f ( x ) = ln ( x 2 + 1 ) függvényen.

Megoldás:

1) Értelmezési tartomány.

Mivel x 2 + 1 > 0 minden x -re, ezért D f = R .

2) Alaki tulajdonságok.

Megoldjuk először az

ln ( x 2 + 1 ) = 0

egyenletet. Mivel a logaritmus egyedül 1-ben nulla, az kell, hogy

x 2 + 1 = 1

legyen, ami x = 0 esetén teljesül. Persze ekkor f ( 0 ) = 0 is fennáll, a grafikon tehát átmegy az origón.

f ( x ) = ln ( ( x ) 2 + 1 ) = ln ( x 2 + 1 ) = f ( x ) ,

most tehát páros függvénnyel van dolgunk.

3) Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

lim x ln ( x 2 + 1 ) = ,

lim x ln ( x 2 + 1 ) = .

A párosság miatt ezek nem is lehetnek eltérők.

4) Lokális szélszőértékek.

f ( x ) = 1 x 2 + 1 . 2 x = 2 x x 2 + 1 .

2 x x 2 + 1 = 0 akkor és csak akkor, ha x 1 = 0 , egy szélsőérték jelöltünk van tehát.
A szokásos táblázat elkészítésével megvizsgáljuk, hogy valóban az-e.
x   < x < 0   x = 0   0 < x <  
f ( x )   -   0   +  
f ( x )     lok. min.    
Látjuk, hogy a jelöltünk valóban szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, a minimum értéke: f ( 0 ) = 0 .

5) Monotonitási szakaszok.

A harmadik sorból látszik, hogy a minimum hely előtt csökken, utána nő a függvény.

6) Inflexiós pontok.

f ( x ) = 2 ( x 2 + 1 ) 2 x . 2 x ( x 2 + 1 ) 2 = 2 2 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 .

f ( x ) = 0 akkor és csak akkor, ha x 1 = 1 vagy x 2 = 1 .

Az alábbi táblázatban mindkét jelöltet megvizsgáljuk.
x   < x < 1   x = 1   1 < x < 1   x = 1   1 < x <  
f ( x )   -   0   +   0   -  
f ( x )   konkáv   inf. pont   konvex   inf. pont   konkáv  
Mindkét jelölt valóban inflexiós pont. Az inflexiós pontok második koordinátái: f ( 1 ) = f ( 1 ) = ln 2 0.69 .

7) Konvex, konkáv szakaszok.

Látjuk a harmadik sorból, hogy a függvény az inflexiós pontok között konvex, azokon kívül konkáv.

8) Grafikon.

Figyelembe véve az eddig megszerzett információkat most az alábbi az alábbi grafikont kapjuk.



Most is ügyeljünk arra, hogy a párosság, azaz a grafikon y tengelyre való szimmetrikussága, látszódjon.

9) Értékkészlet.

Látjuk, hogy R f = [ 0, ) .
2. feladat Végezzünk teljes függvényviszgálatot az f ( x ) = x e x függvényen.

Megoldás:

1) Értelmezési tartomány.

D f = R .

2) Alaki tulajdonságok.

f ( x ) = 0 akkor és csak akkor, ha x 1 = 0 , a grafikon átmegy az origón.

f ( x ) = ( x ) e ( x ) = x e x .

Ez nem az f ( x ) , és nem is annak mínusz egyszerese, tehát a függvény se nem páros, se nem páratlan.

3) Limeszek az értelmezési tartomány szélein.

lim x ( x e x ) = ,

hiszen az szorzat első tényezője mínusz végtelenbe, a második tényezője plusz végtelenbe tart.

A lim x ( x e x ) határérték 0 . típusú, de átírható lim x x e x alakban törté, és ez a típusú limesz a L'Hospital-szabály segítségével könnyen kiszámolható. A deriváltak hányadosának limesze

lim x 1 e x = 0 ,

ezért

lim x ( x e x ) = 0 .

4) Lokális szélsőértékek.

f ( x ) = e x x e x = ( 1 x ) e x .

f ( x ) = 0 pontosan akkor, ha x 1 = 1 , mivel a szorzat második tényezője sehol sem lehet nulla.

A szokásos táblázatban megvizsgáljuk a jelöltet.
x   < x < 1   x = 1   1 < x <  
f ( x )   +   0   -  
f ( x )     lok. max.    
Az 1-ben tehát szélsőérték van, mégpedig lokális maximum, aminek értéke f ( 1 ) = 1 e 0.37 .

5) Monotonitási viszonyok.

A harmadik sor alapján a függvény 1-ig nő, utána fogy.

6) Inflexiós pontok.

f ( x ) = e x + ( 1 x ) ( e x ) = ( x 2 ) e x .

f ( x ) = 0 pontosan akkor, ha x 1 = 2 . Megvizsgáljuk a jelöltünket. A táblázat most

x   < x < 2   x = 2   2 < x <  
f ( x )   -   0   +  
f ( x )   konkáv   inf. pont   konvex  
A második derivált előjele az x 2 tényező előjelével azonos. Ez 2 előtt negatív, utána pozitív.

A 2-ben tehát inflexiós pont van. f ( 2 ) = 2 e 2 0.27 az inflexiós pont második koordinátája.

7) Konvex, konkáv szakaszok.

A második sor alapján az inflexiós pont előtt konkáv a függvény, utána konvex.

8) Grafikon.

Figyelembe véve az eddigieket a függvény ábrája:



9) Értékkészlet.

A ábra alapján a függvény a lokális maximumát, és az annál kisebb értékeket veszi fel, (a lokális maximum most globális maximum is).

R f = ( , 1 e ] .
3. feladat Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az f ( x ) = e x x függvényen.

Megoldás:

1) Értelmezési tartomány.

A nevezőbeli x miatt

D f = R { 0 } = ( , 0 ) U ( 0, ) .

2) Alaki tulajdonságok.

A függvény sehol sem nulla, hiszen a számláló semmilyen x -re sem nulla, a grafikon nem metszi a vízszintes tengelyt.

Mivel 0 D f , a grafikon nem metszi a függőleges tengelyt sem.

f ( x ) = e x x = e x x ,

amiből látszik, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.

3) Limeszek a D f szélein.

Négy határértéket kell kiszámolnunk.

Alkalmazva a L'Hospital-szabályt az eredeti típusú limeszre:

lim x e x x = lim x e x 1 = 0 .

lim x 0 e x x = ,

hiszen a számláló 1-hez, a nevező pedig nullához tart, de mindig negatív.

lim x 0 + e x x = ,

mivel most a nevező a pozitív számokon keresztül tart nullához.

Végül, ismét felhasználva a L'Hospital-szabályt,

lim x e x x = lim x e x 1 = .

4) Lokális szélsőértékek.

f ( x ) = x e x e x x 2 = ( x 1 ) e x x 2 .

f ( x ) = 0 pontosan akkor, ha x = 1 .

Figyeljünk most arra, hogy a jelölt a D f jobb oldali felébe esik, azt vágja ketté, ezért a fejléc az alábbi három darabot tartalmazza.
x   < x < 0   x = 0   0 < x < 1   x = 1   1 < x <  
f ( x )   -     -   0   +  
f ( x )         lok. min.    
Az 1-ben tehát lokális minimum van, amelynek értéke: f ( 1 ) = e .

5) Monotonitási viszonyok.

Figyeljük meg, hogy - összhangban a nulla körüli limeszekkel - a nulla bal és jobb oldali környezetében is fogyó a függvény.

6) Inflexiós pontok.

f ( x ) = ( ( x 1 ) e x ) ' x 2 ( x 1 ) e x ( x 2 ) ' x 4 = ( e x + ( x 1 ) e x ) x 2 2 x ( x 1 ) e x x 4 =

= ( x 2 2 x + 2 ) e x x 3 .

Mivel x 2 2 x + 2 diszkriminánsa negatív f ( x ) 0 , tehát nincs inflexiós pont.

7) Konvex, konkáv szakaszok.

Nincs ugyan inflexiós pont, de a második táblázatot most is el kell készíteni, mert a konvex és konkáv szakaszok abból olvashatók ki.
x   < x < 0   x = 0   0 < x <  
f ( x )   -     +  
f ( x )   konkáv     konvex  
Az előjelekkel kapcsolatban jegyezzük meg, hogy most f ( x ) előjele, lévén, hogy a számlálója mindig pozitív, a nevezője előjelével egyezik meg, az pedig negatív x-ekre negatív, pozitívakra pozitív.

8) Grafikon.

Ezek után elkészíthetjük a függvény ábráját, ami az alábbi:



9) Az ábra alapján

R f = ( , 0 ) U ( e , ) .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Az f ( x ) = x 3 12 x + 1 függvény csökken az alábbi intervallumon
 
( 2, ) .
 
( 2, 2 ) .
 
( , 2 ) .
 

2. kérdés: Hány inflexiós pontja van az f ( x ) = x e x 2 függvénynek?
 
0.
 
1.
 
2.
 
3.
 

3. kérdés: Hány inflexiós pontja van az f ( x ) = x 4 2 x 3 + 1 függvénynek?
 
0.
 
1.
 
2.
 
3.
 

4. kérdés: Hány lokális szélsőértékhelye van az f ( x ) = x 2 e x függvénynek?
 
0.
 
1.
 
2.
 

5. kérdés: Hány inflexiós pontja van az f ( x ) = x 4 függvénynek?
 
0.
 
1.
 
2.
 

6. kérdés: Az f ( x ) = x 6 10 x 4 függvény konkáv a ( 2, 2 ) intervallumon.
 
Igaz.
 
Nem igaz.