 |  | 3. feladat
∫ x x 2 + 4 d x =
Megoldás: Azt kell megvizsgálnunk, hogy a nevezőben lévő,
f ( x ) = x 2 + 4
függvény deriváltja áll-e a számlálóban. Mivel
f ′ ( x ) = 2 x
, ez most nem teljesül, de a számláló ettől csak a konstans
2
szorzóban tér el. Célszerű az integrandust
2
-vel szorozni és osztani, s az osztást az integrál előtt szorzásként írni
1 2
-del.
∫ x x 2 + 4 d x = ∫ 2 x 2 ( x 2 + 4 ) d x = 1 2 ∫ 2 x x 2 + 4 d x = 1 2 ∫ ( x 2 + 4 ) ′ x 2 + 4 d x = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + c
Megjegyzés: Hasonlóan mint az előző leckében, most sem baj ha nem pontosan a derivált szerepel, hanem annak valamilyen számszorosa. Ilyenkor beírjuk az integrandusba a hiányzó szorzót, az integrál elé pedig annak reciprokát, s így kapunk
f ′ ( x ) f ( x )
típusú integrált.
Az abszolút értéket most is elhagyhattuk, hiszen
x 2 + 4
minden
x ∈ R
esetén pozitív.
|
|
|