 |  | Tanulási cél: A határozott integrál alkalmazása területszámítási feladatokban.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.5.
Elméleti összefoglaló:
A folytonos
f ( x )
függvény
[ a , b ]
intervallumra vett függvénygörbe alatti területén az
f ( x )
grafikonja, az
x
-tengely, valamint az
x = a
és
x = b
egyenesek által határolt véges síkrész területét értjük.
Ha az
f ( x )
folytonos függvény nem vált előjelet az
[ a , b ]
intervallumon, akkor az
[ a , b ]
-re vett függvénygörbe alatti terület:
T = | ∫ a b f ( x ) d x |
.
Ha az
f ( x )
folytonos függvény az
x 1 < x 2 < . . . < x k
helyeken előjelet vált az
( a , b )
intervallumban, akkor az
f ( x ) [ a , b ]
-re vett függvénygörbe alatti területe:
T = | ∫ a x 1 f ( x ) d x | + | ∫ x 1 x 2 f ( x ) d x | + . . . + | ∫ x k b f ( x ) d x |
.
Ha a folytonos
f ( x )
és
g ( x )
függvények görbéi nem metszik egymást az
( a , b )
intervallumban, akkor a függvények grafikonjai, valamint az
x = a
és
x = b
egyenesek által közrezárt síkrész területe, vagy másképp a függvények görbéi közti terület az
[ a , b ]
intervallumon:
T = | ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) d x |
.
Ha az
f ( x )
és
g ( x )
folytonos függvények grafikonjai az
x 1 < x 2 < . . . < x k
helyeken metszik egymást az
( a , b )
intervallumban, akkor a görbéik közti terület az
[ a , b ]
-n:
T = | ∫ a x 1 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x | + | ∫ x 1 x 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x | + . . . + | ∫ x k b ( f ( x ) − g ( x ) ) d x |
.
Lényegében ugyanígy kapjuk meg az
f ( x )
és
g ( x )
folytonos függvények görbéi által közrezárt terület nagyságát is, csak ekkor az intervallum két végpontja a grafikonok metszéspontjainak helye. Ilyenkor egyenlővé tesszük a két függvényt, s megoldjuk az így kapott egyenletet. Az így kapott
a
és
b
lesz az integrálás két határa. Tehát a két függvény grafikonja által közrezárt terület:
T = | ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) d x |
.
A görbék közti területek számolása során az abszolút érték elhagyható, ha a felül haladó függvényből vonjuk ki az alul haladót. Annak eldöntéséhez, hogy melyik függvény grafikonja halad alul és melyik felül, célszerű ábrát készíteni.
Több függvény grafikonja által határolt síkrész területének meghatározására, csak bonyolultan lehetne általános szabályt adni. Ilyenkor ábrát kell készíteni, és a síkrészt felbontani olyan részekre, melyeknél függvénygörbe alatti, vagy két függvénygörbe közötti területet kell meghatározni.
Kidolgozott feladatok:
|
|
|