Tanulási cél: Az összetett függvény deriválási szabályának begyakorlása. Elsajátítani a logaritmikus deriválás módszerét, s megismerkedni a magasabbrendű deriváltakkal.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1
Fejezet: 6.2.-6.4.
Elméleti összefoglaló:
A legfontosabb deriválási szabály az összetett függvény láncszabálynak is nevezett deriválási szabálya.
Két tagú kompozíció esetén ez a következő:
(g(f(x)))'=g′(f(x)).f′(x)
.
Három tagú kompozíció esetén pedig:
(h(g(f(x))))'=h′(g(f(x))).g′(f(x)).f′(x)
.
Többtagú kompozíciókra hasonló formula igaz.
A képletek sikeres alkalmazásához az összetett függvényt fel kell tudni bontani alkalmas függvények kompozíciójára.
A
h(x)=f(x)g(x)
típusú hatvány függvények alapja és kitevője is változó. Az ilyen függvények deriváltja a logaritmikus deriválással kapható meg. Ennek képlete
h′(x)=f(x)g(x)[g′(x)ln(f(x))+g(x)f′(x)f(x)]
,
de ehelyett a formula helyett talán célszerűbb magát azt - a kidolgozott feladatokban megmutatott - eljárást használni, amivel a fenti képlet is megkapható.
Az
f(x)
függvény derivált függvényének a derivált függvényét
f(x)
második deriváltjának hívjuk és
f″(x)
-el jelöljük. A harmad- és magasabb rendű deriváltak fogalma hasonló. Ha a deriválás rendje háromnál nagyobb, nem vesszővel jelöljük, hanem a deriválás rendjét zárójelben az
f
kitevőjébe írjuk. Pl. a tizedik deriváltat
f(10)(x)
jelöli. A magasabb rendű deriváltak a későbbiekben fontos szerepet fognak kapni.
Kidolgozott feladatok:
1.feladat Határozzuk meg a
h(x)=(x3+3x)6
függvény derivált függvényét.
Megoldás: Egy polinommal van dolgunk, de a magas fokszám miatt a hatványozás elvégzése fáradságos lenne. Az öszzetett fügvény deriválási szabályát fogjuk alkalmazni.
7. feladat Deriváljuk a
h(x)=arctg(2x−1x+2)
függvényt.
Megoldás: Ha a részletes kiírással már jól begyakorolta az olvasó az összetett függvény deriválási szabályának alkalmazását némileg kevesebb képlet leírásával is megkapható az eredmény.
Így okoskodhatunk:
A külső függvény most az
arctg(x)
, ennek deriváltja
11+x2
.
Ezt kell venni a "belső függvény helyen", azaz a
2x−1x+2
helyen, ami
11+(2x−1x+2)2
.
Végül ezt kell még szorozni a belső függvény deriváltjával, ami
(2x−1x+2)'=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2
.
Ezeket felhasználva tehát
h′(x)=11+(2x−1x+2)2.5(x+2)2
.
(Javasoljuk, hogy az olvasó próbálja egyszerűbb alakra hozni az eredményt.)
8. feladat Deriváljuk a
h(x)=3x+22x2−x
függvényt.
Megoldás: Mellőzve most a részletes kiírást, és a magyarázatokat azt kapjuk, hogy
h′(x)=123x+22x2−x.3(2x2−x)−(3x+2)(4x−1)(2x2−x)2
.
Tanácsoljuk, hogy az olvasó addig gyakorolja a deriválási szábályokat, amíg ilyen módon is biztonsággal meg nem tudja oldani a feladatokat.
9. feladat Deriváljuk az
u(x)=sin(23x+2)
függvényt.
Megoldás: Az
u
függvény egy többszörösen összetett függvény.
Bevezetve az
f(x)=23x+2
, a
g(x)=sinx
és a
h(x)=x
függvényeket
10. feladat Deriváljuk az
u(x)=tg(xcosx)
függvényt.
Megoldás:
u′(x)=1cos2(xcosx)(cosx+x12cosx(−sinx))
.
A negatív előjelet tartalmazó szorzótényezőket zárójelbe kell tenni, mint itt a
−sinx
-et.
11. feladat Deriváljuk a
h(x)=xsinx
függvényt.
Megoldás: Olyan hatványfüggvénnyel van dolgunk, ahol az alap és a kitevő is változik, tehát a logaritmikus deriválást kell alkalmaznunk.
A hatványozás definíciója alapján a fenti függvény mindenütt, ahol értelmezve van, pozitív. Vehetjük tehát mindkét oldal természetes alapú logaritmusát:
ln(h(x))=ln(xsinx)
.
A logaritmusra vonatkozó
loga(bβ)=βlogab
azonosság alapján ebből
ln(h(x))=sinx.lnx
adódik.
Azonos függvények deriváltja is azonos. Ezért vehetjük mindkét oldal deriváltját. A bal oldalon összetett függvény áll, a jobb oldalon egy szorzat. Vagyis azt kapjuk, hogy
14. feladat Deriváljuk az
f(x)=ax2+bx+c
függvényt.
Megoldás: Egy függvény megadásakor az argumentum mondja meg, hogy a definiáló képletben mit tekintünk független változónak. Most az
x
-et. Minden más konstansnak, úgynevezett paraméternek tekintendő. A feladatunkban tehát
a,b
és
c
paraméterek, amelyek deriváláskor úgy viselkednek, mint a konstansok.
Ezért
f′(x)=2ax+b
.
15. feladat Deriváljuk az
f(x)=ax+xa+ab
függvényt.
Megoldás: Az
a
és a
b
most is paraméter, és
ab
konstans, ezért
f′(x)=axlna+axa−1
.
16. feladat Készítsük el az
f(t)=t2+2x2+tx
függvény derivált függvényét.
Megoldás: Az
f
függvény argumentuma most
t
, tehát a feladatban ez a változó. Minden más, most például az
x
, konstansnak számít.
Persze attól, hogy
t
-vel jelöljük a változót a deriválási szabályok még ugyanazok maradnak (
x
helyett
t
-vel).
Ezek alapján tehát
f′(t)=2t+x
.
17. feladat Készítsük el az
f(x)=x2+t3x3+t2
és a
g(t)=x2+t3x3+t2
függvények derivált függvényeit.
18. feladat Határozzuk meg az
f(x)=xex
függvény második és harmadik deriváltját.
Megoldás: Használva a szorzatfüggvény deriválási szabályát a deriváltak rendre:
f′(x)=ex+xex
,
f"(x)=(f′(x))'=ex+ex+xex=2ex+xex
,
f'''(x)=(f"(x))'=2ex+ex+xex=3ex+xex
.
Ebből meg lehet sejteni, hogy - mondjuk a századik derivált -
f(100)(x)=100ex+xex
, amit teljes indukcióval be is lehet bizonyítani. Ha az olvasó ismeri ezt a módszert próbálkozzon meg vele.
19. feladat Készítsük el az
f(x)=1x
függvény harmadik deriváltját.
Megoldás: Érdemes átírni függvényünket az
f(x)=x−1
alakba, és hatvány függvényként, nem tört függvényként, deriválni őt. Ekkor
f′(x)=(−1)x−2
,
f″(x)=(−1)(−2)x−3=1.2x−3
,
f'''(x)=1.2(−3).x−4=−(1.2.3)x−4
.
Az olvasó próbálja felismerni a kibontakozó szabályszerűséget, és írja fel a tizedik deriváltat.
20. feladat Igazoljuk, hogy
(f(x)g(x))"=f"(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g"(x)
.
Megoldás: Tudjuk, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
.
Deriváljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát. Ekkor