 |  | 9. feladat
∫ 7 25 x 2 + 20 x + 13 d x =
Megoldás: Alkalmazzuk azokat az átalakításokat, melyeket az előző három feladatban már használtunk. Először a nevezőt alakítsuk teljes négyzetté. Eközben a számlálóból a konstanst az integrál elé emelhetjük.
∫ 7 25 x 2 + 20 x + 13 d x = 7 ∫ 1 ( 5 x + 2 ) 2 + 9 d x =
Emeljünk ki a nevezőből
9
-et.
∫ 7 25 x 2 + 20 x + 13 d x = 7 9 ∫ 1 ( 5 x + 2 ) 2 9 + 1 d x =
Az
( 5 x + 2 ) 2 9
-et írjuk inkább
( 5 x + 2 3 ) 2
alakban.
∫ 7 25 x 2 + 20 x + 13 d x = 7 9 ∫ 1 ( 5 x + 2 3 ) 2 + 1 d x = 7 9 ∫ 1 1 + ( 5 3 x + 2 3 ) 2 d x =
Ezen alakból már nyilvánvaló, hogy az
f ( x ) = 1 1 + x 2
külső, és a
g ( x ) = 5 3 x + 2 3
belső függvényekből álló összetett függvényt kell integrálnunk. Alkalmazható a leckében ismertetett módszer. Eredményül kapjuk:
∫ 7 25 x 2 + 20 x + 13 d x = 7 9 arctg ( 5 3 x + 2 3 ) 5 3 + c = 7 15 arctg ( 5 3 x + 2 3 ) + c
.
Megjegyzés: A feladat megoldása során alkalmazott átalakítások segítségével itegrálhatjuk az összes olyan törtet, amelynek számlálója konstans, nevezője pedig másodfokú polinom, de nem teljes négyzet. Ilyenkor a nevezőben teljes négyzetté alakítunk, majd kiemeléssel elérjük, hogy a konstans helyén 1 álljon. Ezután kétféle lehet a nevező alakja, vagy
1 + ( a x + b ) 2
, vagy
1 − ( a x + b ) 2
. Mivel az
f ( x ) = 1 1 + x 2
és
g ( x ) = 1 1 − x 2
függvények mindegyike alapintegrál, ezért az integrálás elvégezhető a leckében ismertetett módszerrel. Ugyanígy itegrálhatók az olyan függvények is, melyekben a számláló konstans a nevezőben pedig másodfokú kifejezés négyzetgyöke szerepel. Ilyenkor a gyök alatt kell végrehajtani a teljes négyzetté alakítást. A kiemeléssel most nem mindig érhető el, hogy a konstans 1 legyen, ha negatív volt a konstans, akkor -1 alakítható ki. (Négyzetgyök alól nem emelhető ki negatív szám.) Ezután a nevező alakja háromféle lehet:
1 + ( a x + b ) 2 , 1 − ( a x + b ) 2
vagy
( a x + b ) 2 − 1
. Mivel az
f ( x ) = 1 1 + x 2 , g ( x ) = 1 1 − x 2
és
h ( x ) = 1 x 2 − 1
függvények mindegyike alapintegrál, ezért az ilyen függvények is integrálhatók. Valamennyi esetre nem nézünk példát, de egy olyan feladatot még mogoldunk, melyben a nevezőben négyzetgyök alatt áll másodfokú kifejezés.
|
|
|