 |  | 7. feladat
lim n → ∞ 3 n + 7 4 n 2 + 6 n − 2 n = ?
Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan, most is a nevezőben van egy
∞ − ∞
típusú kifejezés, s bár ez nem két gyökös kifejezés különbsége, gyökteleníteni most is lehet.
lim n → ∞ ( 3 n + 7 ) ( 4 n 2 + 6 n + 2 n ) ( 4 n 2 + 6 n ) − 4 n 2 = lim n → ∞ ( 3 n + 7 ) ( 4 n 2 + 6 n + 2 n ) 6 n
Egyszerűsítsünk
n
-nel.
lim n → ∞ ( 3 + 7 n ) ( 4 n 2 + 6 n + 2 n ) 6 = ∞
A számlálóban az első tényező határértéke
3
, a másodiké pedig végtelen, ezért a szorzat is végtelenbe tart. Ezt egy pozitív, végessel osztjuk, ezért végtelent kapunk.
Megjegyzés: Ebben a feladatban a gyöktelenítés elkerülhető. Emeljünk ki a számlálóból és a nevezőből is rögtön
n
-et, majd egyszerűsítsünk.
lim n → ∞ n ( 3 + 7 n ) n ( 4 + 6 n − 2 ) = lim n → ∞ 3 + 7 n 4 + 6 n − 2
A számláló most
3
-hoz tart, a nevező pedig
0
-hoz. Mivel
4 + 6 n > 2
, ezért a nevező pozitív, így a határérték végtelen lesz. (Ha nagyon kicsivel osztunk egy nem nagyon kicsit, akkor az eredmény nagyon nagy lesz.)
Ez a megoldás egyszerűbbnek tűnik, mint az előző, de bizonyos szempontból veszélyesebb. Ha ugyanis a nevező nullához tart, akkor nagyon fontos, hogy ezt hogyan teszi, pozitívan vagy negatívan. Ha ugyanis most a nevező negatív lett volna, akkor a végtelen helyett mínusz végtelen lenne a határérték, ha pedig hol pozitív hol negatív lenne, akkor egyáltalán nem lenne határérték. Ha tehát a nevező nullához tart, akkor nagyon fontos a nevező előjelének vizsgálata, s a határértéket csak ezután lehet megmondani.
Ellenőrző kérdések:
|
|
|