//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.3. Integrálási módszerek (2)

Tanulási cél: Megismerni az f α . f típusú függvények integrálisi módszerét, valamint annak alkalmazását feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.3.

Elméleti összefoglaló:
Ha az integrandus olyan szorzat, melynek egyik tényezője egy függvény hatványa (a kitevő nem -1), másik tényezője pedig ezen függvény deriváltja, akkor az integrálás során a függvény kitevője eggyel nő, s az új kitevővel osztani kell.
Ugyanez képletben:

f α ( x ) . f ( x ) d x = f α + 1 ( x ) α + 1 + c ahol α R kivéve 1 .

Kidolgozott feladatok:

1. feladat ( x 2 + 5 ) 6 . 2 x d x =

Megoldás: Éljünk a következő elnevezéssel: f ( x ) = x 2 + 5 . Ekkor f ( x ) = ( x 2 + 5 ) = 2 x . Az integrandus tehát f 6 ( x ) . f ( x ) , melyre alkalmazhatjuk a módszert.

( x 2 + 5 ) 6 . 2 x d x = ( x 2 + 5 ) 6 . ( x 2 + 5 ) d x = ( x 2 + 5 ) 7 7 + c

Megjegyzés: Az ilyen típusú feladatok megoldása általában rövid, nincsen szükség sok átalakításra. A nehézséget az okozza, hogy fel kell ismerni az integrandus típusát. Ez csak az alapderiváltak biztos ismerete esetén sikerülhet, hiszen itt azt kell észrevenni, hogy egy szorzat két tényezője közül az egyik egy függvény hatványa, s a másik ugyanezen függvény deriváltja.
2. feladat ( x 2 1 ) 3 . x d x =

Megoldás: Az előző feladat mintájára legyen f ( x ) = x 2 1 . Ekkor f ( x ) = ( x 2 1 ) = 2 x . Sajnos az integrandusban nem 2 x az egyik tényező, hanem csak x . Ezen úgy segíthetünk, ha az integrandust szorozzuk is és osztjuk is 2 -vel, így az nem változik, azonban mégis kialakul a 2 x tényezőként. A 2 -vel való osztást pedig úgy is írhatjuk, hogy 1 2 -del szorzunk, s ezt kiemelhetjük az integrál elé.

( x 2 1 ) 3 . x d x = ( x 2 1 ) 3 . 2 x 2 d x = 1 2 ( x 2 1 ) 3 . 2 x d x = 1 2 ( x 2 1 ) 3 . ( x 2 1 ) d x =

Így már látható, hogy az f 3 ( x ) . f " ( x ) függvényt kell integrálnunk. Az eredmény:

( x 2 1 ) 3 . x d x = 1 2 ( x 2 1 ) 4 4 + c = 1 8 ( x 2 1 ) 4 + c .

Megjegyzés: Ha az integrandus egyik tényezője egy függvény hatványa, a másik pedig ezen függvény deriváltjának számszorosa, akkor szorzunk is és osztunk is a megfelelő konstanssal, hogy a függvény deriváltja szerepeljen. Ilyenkor nem szabad elfeledkezni arról, hogy megjelenik a konstans reciproka is az osztás miatt (a feladatban az 1 2 ), melyet az integrál elé emelhetünk, s ez a végeredményben is szerepel.
Nem kell pontosan a hatványozott függvény deriváltjának szerepelni az integrandusban, elég ha annak valamilyen számszorosa az egyik tényező. Felhívjuk azonban a figyelmet arra, hogy ha nem csak konstans szorzó az eltérés, akkor a függvény nem integrálható ilyen módon.
3. feladat sin x . cos x d x =

Megoldás: Az előző két feladatban nyilvánvaló volt, mit érdemes f ( x ) -nek tekinteni, mert a kitevő egyértelműen mutatta. Most ilyen segítségünk nincs, de mivel ( sin x ) = cos x , célszerű az f ( x ) = sin x elnevezéssel élnünk. Így az integrandus f ( x ) . f ( x ) alakú, azaz ebben az esetben egy függvény első hatványát szorozzuk a függvény deriváltjával.

sin x . cos x d x = sin x . ( sin x ) d x = sin 2 x 2 + c

A feladatot ezzel megoldottuk, azonban még időzzünk el még egy kicsit ennél a példánál, mert az integrálás máshogy is könnyen elvégezhető. Ha abból indulunk ki, hogy ( cos x ) = sin x , akkor célszerű az f ( x ) = cos x elnevezéssel élni, s az integrál elé, valamint az integrálba egy 1 -es szorzót beírni.

sin x . cos x d x = 1 . cos x . ( sin x ) d x = cos x . ( cos x ) d x =

Az integrandus ismét f ( x ) . f ( x ) alakú. Alkalmazzuk most is a módszert, kapjuk:

sin x . cos x d x = cos 2 x 2 + c .

A feladatot tehát így is megoldottuk, a furcsa csak az, hogy nem ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az előző esetben. Ez azonban csak látszólag van így. Mindkét megoldás során ugyanazt kaptuk, mert a megoldások átalakíthatóak. Induljunk el például a második eredményből, s használjuk fel az 1 = sin 2 x + cos 2 x azonosságot.

cos 2 x 2 + c = 1 sin 2 x 2 + c = ( 1 2 sin 2 x 2 ) + c = sin 2 x 2 1 2 + c

Mivel itt c bármilyen valós szám lehet, ezért 1 2 + c is bármilyen valós szám lehet. Úgy is mondhatnánk, hogy 1 2 + c = c , ahol c R , s ezen c azonos az első eredményben szereplő c -vel.

Megjegyzés: Ha egy integrálási feladatot többféle módon is meg tudunk oldani, akkor nem biztos, hogy mindegyik esetben ugyanolyan alakban kapjuk meg az eredményt. Mivel a határozott integrál eredménye nem egy függvény, hanem függvények olyan halmaza, melynek elemei csak konstansban különböznek egymástól, ezért úgy adjuk meg, hogy kiválasztunk a halmazból egy függvényt, s ehhez bármilyen konstanst hozzáadhatunk. A halmazból azonban bármelyik másik függvényt is választhatjuk, s ekkor az eredményt más alakban kaphatjuk meg. Ilyenkor az eredményekben szereplő függvények különbsége konstans.
4. feladat sh x ch 3 x d x =

Megoldás: Mivel ( ch x ) = sh x , ezért az f ( x ) = ch x elnevezés tűnik logikusnak. A probléma azonban az, hogy f ( x ) hatványának nem a nevezőben kellene állnia. Bontsuk ezért a törtet sh x és 1 ch 3 x szorzatává, majd írjuk az 1 ch 3 x -et ( ch x ) 3 alakban.

sh x ch 3 x d x = 1 ch 3 x . sh x d x = ( ch x ) 3 . sh x d x = ( ch x ) 3 . ( ch x ) d x =

Így már egyértelmű, hogy az integrandus f 3 ( x ) . f ( x ) = ( f ( x ) ) 3 . f ( x ) alakú, s így alkalmazható a módszer. Az eredmény:

sh x ch 3 x d x = ( ch x ) 2 2 + c = 1 2 ( ch x ) 2 + c .

Megjegyzés: Az előző feladatokban aránylag egyszerűen felismerhettük, hogy melyik függvény hatványa szerepel az integrandusban, most ez talán kicsit nehezebb volt a tört miatt. Ne felejtsük el, nem csak pozitív egész kitevőjű hatványok léteznek, s a törteket felírhatjuk olyan szorzatként, melyben az egyik tényező negatív kitevőjű hatvány.
5. feladat 1 ( 1 + x 2 ) . arctg 2 x d x =

Megoldás: Mivel ( arctg x ) = 1 1 + x 2 , célszerűnek tűnik az f ( x ) = arctg x elnevezéssel élni. Mint az előző feladatban, az f ( x ) függvény hatványa a nevezőben áll, így ahhoz, hogy a módszert alkalmazhassuk, át kell alakítanunk a függvényt. Bontsuk fel a törtet két tört szorzatára, s az 1 arctg 2 x -et írjuk ( arctg x ) 2 alakban.

1 ( 1 + x 2 ) . arctg 2 x d x = 1 1 + x 2 . 1 arctg 2 x d x = ( arctg x ) 2 . 1 1 + x 2 d x = ( arctg x ) 2 . ( arctg x ) d x =

Az integrandus tehát f 2 ( x ) . f ( x ) alakú. Alkalmazva az integrálási módszert a következőt kapjuk:

1 ( 1 + x 2 ) . arctg 2 x d x = ( arctg x ) 1 1 + c = 1 artcg x + c .
6. feladat ln x x d x =

Megoldás: Most f ( x ) = ln x , mert ( ln x ) = 1 x , a négyzetgyök pedig hatványként is írható.

ln x x d x = ln x . 1 x d x = ( ln x ) 1 2 . 1 x d x = ( ln x ) 1 2 . ( ln x ) " d x =

Így már jól látható, hogy az integrandus alakja ( f ( x ) ) 1 2 . f ( x ) , azaz most is alkalmazható a leckében ismertetett módszer. Végeredményünk:

ln x x d x = ( ln x ) 3 2 3 2 + c = 2 3 ( ln x ) 3 + c .
7. feladat e 2 x . e 2 x + 1 3 d x =

Megoldás: Írjuk a köbgyököt inkább hatványként.

e 2 x . e 2 x + 1 3 d x = e 2 x . ( e 2 x + 1 ) 1 3 d x =

Így már jobban látható, hogy az integrandus egyik tényezője az f ( x ) = e 2 x + 1 függvény hatványa. Vegyük ezen függvény deriváltját.

f ( x ) = ( e 2 x + 1 ) = 2 e 2 x

A szorzat másik tényezője tehát csak a 2 konstans szorzóban tér el f " ( x ) -től. Ezért célszerű az integrandusba egy 2 -es szorzót beírni, s persze az integrál elé egy 1 2 szorzónak kell kerülni.

e 2 x . e 2 x + 1 3 d x = 1 2 2 e 2 x . ( e 2 x + 1 ) 1 3 d x = 1 2 ( e 2 x + 1 ) 1 3 . ( e 2 x + 1 ) d x =

Így az integrandus alakja ( f ( x ) ) 1 3 . f " ( x ) . Alkalmazzuk a leckében ismertetett módszert. Az eredmény a következő:

e 2 x . e 2 x + 1 3 d x = 1 2 ( e 2 x + 1 ) 4 3 4 3 + c = 3 8 ( e 2 x + 1 ) 4 3 + c .
8. feladat 1 ( 1 x 2 ) . arccos x d x =

Megoldás: Most az nyújt támpontot az induláshoz, hogy tudjuk, ( arccos x ) = 1 1 x 2 , ezért kézenfekvő bevezetni az f ( x ) = arccos x elnevezést. A nevezőben a négyzetgyök alatt szorzat áll, ezt írhatjuk két négyzetgyök szorzataként, s a törtet felbonthatjuk két tört szorzatára.

1 ( 1 x 2 ) . arccos x d x = 1 1 x 2 . arccos x d x = 1 1 x 2 . 1 arccos x d x =

A második törtet írjuk inkább hatványként, valamint írjunk az integrálba és az integrál elé  egy 1 -es szorzót.

1 ( 1 x 2 ) . arccos x d x = 1 1 1 x 2 . ( arccos x ) 1 2 d x = ( arccos x ) 1 2 . ( arccos x ) d x =

Az integrandust sikerült ( f ( x ) ) 1 2 . f ( x ) alakúra hoznunk, melyből az előzőekhez hasonlóan kapjuk:

1 ( 1 x 2 ) . arccos x d x = ( arccos x ) 1 2 1 2 + c = 2 arccos x + c .
9. feladat sin 2 x . cos 2 x + 1 4 d x =

Megoldás: Kezdjük a 4 hatvánnyá történő átírásával.

sin 2 x . cos 2 x + 1 4 d x = sin 2 x . ( cos 2 x + 1 ) 1 4 d x =

Mivel az egyik tényező az f ( x ) = cos 2 x + 1 függvény hatványa, vizsgáljuk meg, mivel egyenlő ezen fügvvény deriváltja.

f ( x ) = ( cos 2 x + 1 ) = 2 cos x . ( sin x ) = 2 sin x . cos x = sin 2 x

Így már nyilvánvaló, hogy az integrandus első tényezője csak előjelében tér el f ( x ) -től, azaz célszerű az integrálba és az integrál elé egy 1 -es szorzót írni.

sin 2 x . cos 2 x + 1 4 d x = sin 2 x . ( cos 2 x + 1 ) 1 4 d x = ( cos 2 x + 1 ) 1 4 . ( cos 2 x + 1 ) d x =

Az integrálandó függvény tehát ( f ( x ) ) 1 4 . f ( x ) alakú, s így az eredmény:

sin 2 x . cos 2 x + 1 4 d x = ( cos 2 x + 1 ) 5 4 5 4 + c = 4 5 ( cos 2 x + 1 ) 4 5 + c .
10. feladat ch 3 x d x =

Megoldás: Az integrandusban szerepel a ch x függvény hatványa, azonban hiányzik ezen függvény deriváltja, mint másik tényező. Bontsuk ezért szorzattá a függvényt a következő módon:

ch 3 x d x = ch 2 x . ch x d x =

Fejezzük ki az 1 = ch 2 x sh 2 x azonosságból ch 2 x -et, és helyettesítsük be. Bontsuk fel a zárójelet, és integráljunk tagonként.

ch 3 x d x = ( 1 + sh 2 x ) . ch x d x = ch x d x + sh 2 x . ch x d x =

Az első rész alapintegrál, a másodikról pedig látható, hogy f ( x ) = sh x elnevezéssel f 2 ( x ) . f ( x ) alakú. Elvégezve az integrálást kapjuk:

ch 3 x d x = sh x + sh 3 x 3 + c .

Megjegyzés: Szeretnénk hangsúlyozni, hogy a feladatok megoldása során az integrandus legfeljebb konstans szorzó erejéig változott. Miközben átalakítottuk a függvényt, csak más formában írtuk, de nem változtattuk meg. Nem alakítottunk f α ( x ) . f ( x ) típusúvá olyan függvényt,  amely eredetileg ne lett volna ilyen típusú, vagy ilyen függvény valamilyen számszorosa. Átalakításainkkal csak jobban láthatóvá tettük az integrandus típusát.
Most könnyű helyzetben voltunk, hiszen tudtuk, a lecke feladataiban ilyen típusú függvények szerepelnek. A későbbiekben még több integrálási módszer fog szerepelni, s egy-egy feladatban el kell majd dönteni, melyik módszer alkalmazható. Nagyon fontos az integrandus típusának felismerése. Ha szorzatot kell integrálni, melynek egyik tényezője egy függvény hatványa, persze ez lehet valamilyen gyök is, célszerű megvizsgálni, hogy a másik tényező nem számszorosa-e ezen függvény deriváltjának. Tudatosan keresni kell majd azokat a függvénytípusokat, amelyekre van integrálási módszerünk.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: cos 3 x . sin x d x =
 
cos 4 x 4 + c
 
cos 4 x 4 + c
 
sin 4 x 4 + c
 
sin 4 x 4 + c
 

2. kérdés: ( x + 1 ) . x 2 + 2 x d x =
 
1 3 ( x 2 + 2 x ) 2 3 + c
 
2 3 ( x 2 + 2 x ) 2 3 + c
 
1 3 ( x 2 + 2 x ) 3 + c
 
2 3 ( x 2 + 2 x ) 3 + c
 

3. kérdés: e 3 x ( e 3 x + 5 ) 6 d x =
 
1 15 ( e 3 x + 5 ) 5 + c
 
1 21 ( e 3 x + 5 ) 7 + c
 
1 5 ( e 3 x + 5 ) 5 + c
 
1 7 ( e 3 x + 5 ) 7 + c
 

4. kérdés: sh x . ch x d x =
 
sh 2 x 2 + c
 
sh 2 x 2 + c
 
ch 2 x 2 + c
 
sh 2 x . ch 2 x 4 + c
 

5. kérdés: 1 ( 1 + x 2 ) . arsh x d x =
 
1 2 arsh x + c
 
1 2 arsh x + c
 
2 arsh x + c
 
2 arsh x + c
 

6. kérdés: sin 3 x d x =
 
sin 4 x 4 + c
 
cos x + cos 3 x 3 + c
 
cos 4 x 4 + c
 
cos 3 x 3 cos x + c