//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 3. Egyváltozós függvények differenciálszámítása

3.5. Függvények határértéke (2)

Tanulási cél: A határozatlan alakú határértékek újabb típusainál alkalmazható megoldási módszerek megismerése és begyakorlása, valamint nevezetes határértékekre visszavezethető 0 0 típusú határértékek meghatározására alkalmazható eljárások elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 5.2., 5.3. és 5.5.

Elméleti összefoglaló: A típusú határértékek egyik fajtája az, amikor azonos kitevőjű gyökök különbsége miatt alakul ki az azonos előjelű végtelenek különbsége.

Ilyenkor a gyöktelenítésnek nevezett eljárás használható. Ennek lényege, hogy (maradva a négyzetgyökök különbségének eseténél), felhasználva a

A B = A B A + B

azonosságot, a gyökök különbségét lecseréljük a jobb oldalon álló törtre. Ezután, esetleg további kiemeléseket is felhasználva, kiszámolható a szóbanforgó határérték. Emlékeztetünk arra, hogy gyökös kifejezésekből való kiemelés a

A 2 B = A B

képlet alapján végezhető (pozitív A esetén, a mi esetünkben mindig ez lesz a helyzet).

Az 1 típusú határértékek közül azokkal fogunk foglalkozni, amelyek azonosságok felhasználásával átalakíthatók úgy, hogy az alábbi tételek felhasználásával a határérték kiszámolható:

lim x ( 1 + 1 x ) x = e .

Ennek általánosítása a következő.

Ha lim x r ( x ) = , akkor tetszőleges k egész szám esetén

lim x ( 1 + k r ( x ) ) r ( x ) = e k .

Ha lim x f ( x ) = A és lim x g ( x ) = B , akkor

lim x f ( x ) g ( x ) = A B ,

feltéve, hogy az itt szereplő hatványozások értelmesek.

A differenciálszámításban is fontos a következő két nevezetes határérték:

lim x 0 sin x x = 1

és

lim x 0 1 cos x x = 0 .
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Számoljuk ki a lim x ( 2 x + 1 2 x 2 ) határértéket.

Megoldás: Mindkét gyök alatti mennyiség plusz végtelenbe tart, ezért persze a négyzetgyökük is plusz végtelenbe tart. Egy típusú határértékkel van tehát dolgunk.

Az azonos kitevőjű gyökök különbsége miatt gyöktelenítést végzünk. A fenti formulát alkalmazva az A = 2 x + 1, B = 2 x 2 választással, kapjuk, hogy

lim x ( 2 x + 1 2 x 2 ) = lim x ( 2 x + 1 ) ( 2 x 2 ) 2 x + 1 + 2 x 2 = lim x 3 2 x + 1 + 2 x 2 .

Ebben a törtben a nevező tart a plusz végtelenbe, ezért a reciproka tart 0-hoz, és persze annak 3-szorosa is, azaz

lim x 3 2 x + 1 + 2 x 2 = 0 .
2. feladat Számítsuk ki a lim x ( x 2 + 2 x x 2 1 ) határértéket.

Megoldás: A gyök alatti mennyiségek, és velük a gyökök is, tartanak a plusz végtelenbe. A gyökök különbsége miatt gyöktelenítünk. Ekkor arra jutunk, hogy

lim x ( x 2 + 2 x x 2 1 ) = lim x ( x 2 + 2 x ) ( x 2 1 ) x 2 + 2 x + x 2 1 = lim x 2 x + 1 x 2 + 2 x + x 2 1 .

Ebben a törtben a számláló is és a nevező is tart a plusz végtelenbe, tehát ez egy típusú limesz.

A számláló egy elsőfokú polinom. A nevező egy másodfokú polinom négyzetgyöke, aminek a nagyságrendje szintén elsőfokú. (Ez utóbbin azt értjük, hogy két mennyiség nagyságrendje egyenlő, ha a hányadosuk végtelenben vett limesze konstans.)

Mindezek alapján úgy járunk el, hogy számlálóból is és a nevezőből is kiemelünk x -et.
(A nevezőben a gyök alatti mennyiségekből kiemelünk x 2 -et, ezt kihozva a gyökjel elé x -et kapunk, ezt emeljük ki a nevező mindkét tagjából.) Ekkor

lim x 2 x + 1 x 2 + 2 x + x 2 1 = lim x x ( 2 + 1 x ) x ( 1 + 2 x + 1 1 x 2 ) .

Egyszerűsítve x -el, a számláló tart 2-höz, a nevezőben a gyök alatti mennyiségek tartanak 1-hez és így a gyökük is tart 1-hez, azaz a nevező tart 2-höz. Végül is tehát

lim x 2 + 1 x 1 + 2 x + 1 1 x 2 = 2 1 + 1 = 2 2 = 1 .

3. feladat lim x ( 4 x 2 x 2 x ) = ?

Megoldás: A gyökös kifejezés tart a plusz végtelenbe és a 2 x is. Ezért típusú a limesz. De nem azonos kitevőjű gyökök különbsége szerepel a formulában. Ezen úgy segíthetünk, hogy felhasználjuk a

2 x = 4 x 2

azonosságot. Az x tart a plusz végtelenbe, tehát előbb-utóbb pozitív lesz, azaz jogos az előbbi felírás.

Átírhatjuk az eredeti feladatunkat tehát az alábbi módon:

lim x ( 4 x 2 x 2 x ) = lim x ( 4 x 2 x 4 x 2 ) .  

Gyöktelenítés után a

lim x ( 4 x 2 x 4 x 2 ) = lim x ( 4 x 2 x ) ( 4 x 2 ) 4 x 2 x + 4 x 2 = lim x x 4 x 2 x + 4 x 2

határértékhez jutunk. Ebben a törtben a számláló mínusz végtelenhez, a nevező plusz végtelenhez tart. A számláló elsőfokú, és a nevező nagyságrendje is elsőfokú. Kiemelünk emiatt a számlálóból is és a nevezőből is x -et, és rögtön egyszerűsítünk is vele:

lim x x 4 x 2 x + 4 x 2 = lim x x ( 1 ) x ( 4 1 x + 4 ) = lim x 1 4 1 x + 4 .

A kapott tört nevezőjében álló első gyökjel alatti mennyiség tart 4-hez, így a gyöke tart kettőhöz, ezért

lim x 1 4 1 x + 4 = 1 2 + 2 = 1 4 .
4. feladat Számítsuk ki a lim x 1 + e x x + 2 x 1 határértéket.

Megoldás: A törtünk számlálója, miután e x a plusz végtelenben nullához tart, tart 1-hez. A nevezőben pedig gyökök különbsége miatti végtelenek különbsége van. Gyöktelenítjük tehát a törtünk nevezőjét:

lim x 1 + e x x + 2 x 1 = lim x 1 + e x ( x + 2 ) ( x 1 ) x + 2 + x 1 .

Elvégezve az egyszerűsítést, és megszabadulva az emeletes törttől kapjuk, hogy

lim x 1 + e x ( x + 2 ) ( x 1 ) x + 2 + x 1 = lim x 1 + e x 3 x + 2 + x 1 = lim x ( 1 + e x ) ( x + 2 + x 1 ) 3 .

Itt a számláló első tényezője 1-hez, a második tényezője plusz végtelenbe tart, ezért

lim x ( 1 + e x ) ( x + 2 + x 1 ) 3 = .
5. feladat lim x ( 4 x 2 + x 1 2 x 2 x 1 ) = ?

Megoldás: Most is típusú a határérték. Gyöktelenítés előtt a második gyökjel előtt alló konstans szorzót bevisszük a gyökjel alá:

lim x ( 4 x 2 + x 1 2 x 2 x 1 ) = lim x ( 4 x 2 + x 1 4 x 2 4 x 4 ) .

Elvégezzük a gyöktelenítést és az egyszerűsítést:

lim x ( 4 x 2 + x 1 4 x 2 4 x 4 ) = lim x ( 4 x 2 + x 1 ) ( 4 x 2 4 x 4 ) 4 x 2 + x 1 + 4 x 2 4 x 4 =

= lim x 5 x + 3 4 x 2 + x 1 + 4 x 2 4 x 4 .

Ez utóbbi egy típusú limesz, hiszen a számláló is és a nevező is tart plusz végtelenbe. Mindkettő nagyságrendje elsőfokú, ezért kiemelünk mindkettőből x -et, és rögtön egyszerűsítünk is vele:

lim x x ( 5 + 3 x ) x ( 4 + 1 x 1 x 2 + 4 4 x 4 x 2 ) = lim x 5 + 3 x 4 + 1 x 1 x 2 + 4 4 x 4 x 2 .

A kapott tört számlálója 5-höz tart, a nevezőben mindkét gyök alatti mennyiség 4-hez, így az egész nevező is 4-hez tart, azaz

lim x 5 + 3 x 4 + 1 x 1 x 2 4 4 x 4 x 2 = 5 4 .
6. feladat Számoljuk ki a lim x ( 2 x 1 2 x + 3 ) x 2 1 határértéket.

Megoldás: Először megvizsgáljuk az alap határértékét:

lim x 2 x 1 2 x + 3 = lim x x ( 2 1 x ) x ( 2 + 3 x ) = lim x 2 1 x 2 + 3 x = 2 2 = 1 .

A kitevő nyilvánvalóan plusz végtelenbe tart. Tehát egy 1 típusú határértékkel van dolgunk.

A sorozatok körében megismert átalakításokat fogjuk használni.

Először az alap számlálóját felírjuk a nevező és még egy mennyiség összegeként. Most a 2 x + 3 -hoz -4-et kell hozzáadni, hogy 2 x 1 -et kapjunk, azaz

lim x ( 2 x 1 2 x + 3 ) x 2 1 = lim x ( ( 2 x + 3 ) + ( 4 ) 2 x + 3 ) x 2 1 =

elosztva a nevezővel a számláló két tagját

= lim x ( 1 + 4 2 x + 3 ) x 2 1 =

ezután a nevezőt becsempésszük az alap kitevőjébe, és az eredeti kitevőt elosztjuk vele, hogy az egyenlőség megmaradjon

= lim x [ ( 1 + 4 2 x + 3 ) 2 x + 3 ] x 2 1 2 x + 3 .

Itt a szögletes zárójelen belüli kifejezés a fenti tétel alapján tart e 4 -hez. A szögletes zárójelben lévő kifejezés kitevőjében lévő tört határértéke pedig

lim x x 2 1 2 x + 3 = lim x x ( x 1 x ) x ( 2 + 3 x ) = lim x x 1 x 2 + 3 x = 2 = .

Mivel e 4 < 1 , egy egynél kisebb számot emelünk plusz végtelenhez tartó kitevőjű hatványra, az eredmény persze nullához tart, vagyis

lim x [ ( 1 + 4 2 x + 3 ) 2 x + 3 ] x 2 1 2 x + 3 = 0 .
7. feladat Kiszámolandó a lim x ( x 2 + x x 2 + x + 2 ) 2 x 2 + x határérték.

Megoldás: Mivel

lim x x 2 + x x 2 + x + 2 = lim x x 2 ( 1 + 1 x ) x 2 ( 1 + 1 x + 2 x 2 ) =

= lim x 1 + 1 x 1 + 1 x + 2 x 2 = 1 1 = 1 ,

és

lim x ( 2 x 2 + x ) = ,

tehát a limesz 1 típusú. Az előző feladatban is alkalmazott lépéseket követve

lim x ( x 2 + x x 2 + x + 2 ) 2 x 2 + x = lim x ( ( x 2 + x + 2 ) + ( 2 ) x 2 + x + 2 ) 2 x 2 + x =

= lim x ( 1 + 2 x 2 + x + 2 ) 2 x 2 + x =

= lim x [ ( 1 + 2 x 2 + x + 2 ) x 2 + x + 2 ] 2 x 2 + x x 2 + x + 2 .

A tételünk értelmében a szögletes zárójelen belüli kifejezés limesze e 2 . A szögletes zárójel kitevőjében lévő törté pedig

lim x 2 x 2 + x x 2 + x + 2 = lim x x 2 ( 2 + 1 x ) x 2 ( 1 + 1 x + 2 x 2 ) = lim x 2 + 1 x 1 + 1 x + 2 x 2 = 2 .

Ezért

lim x ( x 2 + x x 2 + x + 2 ) 2 x 2 + x = ( e 2 ) 2 = e 4 .
8. feladat Számítsuk ki a lim x ( x 2 2 x + 3 x 2 2 x + 1 ) x 2 határértéket.

Megoldás: Most

lim x x 2 2 x + 3 x 2 2 x + 1 = lim x 1 2 x + 3 x 2 1 2 x + 1 x 2 = 1

és

lim x ( x 2 ) = ,

vagyis 1 típusú a limesz.

Alkalmazva a szokásos átalakításokat

lim x ( x 2 2 x + 3 x 2 2 x + 1 ) x 2 = lim x ( ( x 2 2 x + 1 ) + 2 x 2 2 x + 1 ) x 2 =

= lim x ( 1 + 2 x 2 2 x + 1 ) x 2 = lim x [ ( 1 + 2 x 2 2 x + 1 ) x 2 2 x + 1 ] x 2 x 2 2 x + 1 .

Most a szögletes zárójelen belüli kifejezés e 2 -hez tart, a kitevőjében

lim x x 2 x 2 2 x + 1 = lim x x 2 ( 1 x 2 x 2 ) x 2 ( 1 2 x + 1 x 2 ) = lim x 1 x 2 x 2 1 2 x + 1 x 2 = 0 1 = 0 .

Végül is

lim x ( x 2 2 x + 3 x 2 2 x + 1 ) x 2 = ( e 2 ) 0 = 1 .
9.feladat Számítsuk ki a lim x 0 sin 2 x x határértéket.

Megoldás: Egy 0 0 típusú határértéket kell kiszámolnunk.

Két megoldást is mutatunk. Az elsőben felhasználjuk a fontos

sin 2 α = 2 sin α . cos α

azonosságot. Ekkor írhatjuk, hogy

lim x 0 sin 2 x x = lim x 0 2 sin x . cos x x = lim x 0 ( 2 . sin x x . cos x ) = 2 lim x 0 sin x x . lim x 0 cos x = 2 . 1 . 1 = 2 .

A másik megoldás azt használja fel, hogy a fenti nevezetes határértékekben csak az a fontos, hogy a trigonometrikus függvények argumentuma ugyanúgy tartson nullához, mint a tört nevezője.
Ezért átalakíthatjuk a képletünket így:

lim x 0 sin 2 x x = lim x 0 2 sin 2 x 2 x .

Ha most bevezetjük az u = 2 x helyettesítést, akkor x -el együtt persze u is nullához tart, és kapjuk, hogy

lim x 0 2 sin 2 x 2 x = 2 lim x 0 sin 2 x 2 x = 2 lim u 0 sin u u = 2 .
10. feladat Számoljuk ki a lim x 0 sin 2 x sin 3 x határértéket.

Megoldás: A limesz ismét 0 0 típusú. Most a következőképp járhatunk el:

lim x 0 sin 2 x sin 3 x = lim x 0 ( sin 2 x 2 x . 3 x sin 3 x . 2 3 ) .

(Becsempésztük a 3 x 2 x = 3 2 szorzótényezőt, amit egy további 2 3 szorzótényező becsempészésével kompenzáltunk, így végül is 1-el szoroztuk meg a függvényt, tehát igaz a egyenlőség.) Ezután

lim x 0 ( sin 2 x 2 x . 3 x sin 3 x . 2 3 ) = 2 3 lim x 0 sin 2 x 2 x . lim x 0 3 x sin 3 x = 2 3 . 1 . 1 = 2 3 .

Felhasználtuk azt, hogy ha lim x 0 sin 3 x 3 x = 1 , akkor a tört reciprokának a limesze is 1.
11. feladat Mivel egyenlő a lim x 0 2 x + sin 3 x x határéték?

Megoldás: A határérték 0 0 típusú. Kiszámolásakor a következő módon járhatunk el:

lim x 0 2 x + sin 3 x x = lim x 0 ( 2 + sin 3 x x ) = 2 + lim x 0 sin 3 x x = 2 + 3 lim x 0 sin 3 x 3 x = 2 + 3 = 5 .
12. feladat Számítsuk ki a lim x 0 1 cos 2 x sin x határértéket.

Megoldás: A limesz persze 0 0 típusú. Átalakítjuk a törtet úgy, hogy a fenti nevezetes határértékek jelenjenek meg benne:

lim x 0 1 cos 2 x sin x = lim x 0 2 1 cos 2 x 2 x . x sin x = 2 . lim x 0 1 cos 2 x 2 x . lim x 0 x sin x = 2 . 0 . 1 = 0 .
13. feladat Számítsuk ki a lim x 0 x 3 1 cos 2 x határértéket.

Megoldás: Átalakítjuk az eredetileg 0 0 típusú határértékünket, felhasználva a

sin 2 α + cos 2 α = 1

azonosságot:

lim x 0 x 3 1 cos 2 x = lim x 0 x x 2 sin 2 x = lim x 0 x . lim x 0 ( x sin x ) 2 = 0 . 1 = 0 .
14. feladat Számítsuk ki a lim x 0 1 cos 3 x cos 4 x 1 határértéket.

Megoldás: A limesz most is 0 0 típusú.

Esetleg arra gondolhatnánk, hogy visszavezetjük a feladatot a lim x 0 1 cox x x nevezetes határétékre, de ekkor ennek a reciprokának a határértékére is szükségünk lenne, az viszont nem létezik. (Az eredeti függvény nem állandó előjelűen tart nullához).

Mást kell megpróbálni. Vegyük észre, hogy

( 1 cos 3 x ) ( 1 + cos 3 x ) = 1 cos 2 3 x = sin 2 3 x .

Ez alapján:

lim x 0 1 cos 3 x cos 4 x 1 = lim x 0 [ ( 1 cos 3 x ) 1 + cos 3 x 1 + cos 3 x . 1 cos 4 x 1 . cos 4 x + 1 cos 4 x + 1 ] =

= lim x 0 ( 1 cos 2 3 x 1 + cos 3 x . cos 4 x + 1 cos 2 4 x 1 ) = lim x 0 ( sin 2 3 x 1 + cos 3 x . cos 4 x + 1 sin 2 4 x ) = lim x 0 ( sin 2 3 x sin 2 4 x . cos 4 x + 1 1 + cos 3 x ) =

lim x 0 sin 2 3 x sin 2 4 x . lim x 0 cos 4 x + 1 1 + cos 3 x .

Itt a második limeszre

lim x 0 cos 4 x + 1 1 + cos 3 x = 1 + 1 1 + 1 = 1 .

Az első tényező pedig a következőképpen intézhető el:

lim x 0 sin 2 3 x sin 2 4 x = lim x 0 ( sin 2 3 x ( 3 x ) 2 . ( 4 x ) 2 sin 2 4 x . 9 16 ) =

= 9 16 lim x 0 sin 2 3 x ( 3 x ) 2 . lim x 0 ( 4 x ) 2 sin 2 4 x = 9 16 lim x 0 ( sin 3 x 3 x ) 2 . lim x 0 ( 4 x sin 4 x ) 2 = 9 16 .

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: lim x ( 3 x 2 3 x 1 ) =
 
0.
 
1 2 3 .
 
3 .
 
1 2 3 .
 

2. kérdés: lim x ( x 2 + 5 x x 2 2 ) =
 
2.
 
0.
 
5 2 .
 
2 5 .
 

3. kérdés: lim x ( 9 x 2 + x 3 x ) =
 
1 6 .
 
1 3 .
 
1 3 .
 
1 6 .
 

4. kérdés: lim x 2 2 x + 2 2 x + 1 2 x 4 =
 
.
 
.
 
0.
 
1.
 

5. kérdés: lim x ( 3 x 2 + 3 x 1 9 x 2 + 2 x 1 ) =
 
6 25 .
 
25 6 .
 
.
 
0.
 

6. kérdés: lim x ( 3 x + 3 3 x + 2 ) x 2 + 2 =
 
.
 
0.
 
1.
 
e.
 

7. kérdés: lim x ( x 2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x + 4 ) x 2 x =
 
1 e 2 .
 
e 2 .
 
1.
 
0.
 

8. kérdés: lim x ( x 2 + x + 2 x 2 + x ) x 1 =
 
0.
 
e.
 
1.
 
.
 

9. kérdés : lim x 0 tg x x =
 
0.
 
1.
 
-1.
 
.
 

10. kérdés : lim x 0 tg 2 x sin 3 x =
 
2 3 .
 
0.
 
1.
 
-1.
 

11. kérdés : lim x 0 x 2 sin 2 x =
 
0.
 
2.
 
-2.
 
-1.
 

12. kérdés : lim x 0 cos x 1 x . cos x =
 
.
 
.
 
1 2 .
 
0.
 

13. kérdés : lim x 0 1 cos 2 x sin x =
 
1.
 
2.
 
-1.
 
0.
 

14. kérdés : lim x 0 cos 2 x 1 x 2 =
 
1.
 
0.
 
-1.
 
.