Tanulási cél: A gyökkritérium megismerése, alkalmazásának elsajátítása feladatokban.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.2.
Elméleti összefoglaló:
A gyökkritérium:
Ha a
∑k=1∞ak
található olyan
0≤q<1
szám, hogy minden
n
index esetén fenáll
|an|n≤q
egyenlőtlenség, akkor a sor abszolút konvergens. (A tétel feltétele gyengíthető, a minden
n
helyett elég ha véges sok
n
kivételével teljesül az egyenlőtlenség.)
A feladatok megolása során inkább a következő tételre hivatkozunk:
Ha a
∑k=0∞ak
esetén konvergens az
|an|n
sorozat, és
a)
limn→∞|an|n<1
, akkor a sor abszolút konvergens, s így konvergens.
b)
limn→∞|an|n>1
, akkor a sor divergens.
c)
limn→∞|an|n=1
, akkor a gyökritériummal nem dönthető el a konvergencia.
Az tétel nagyon hasonlít az előző leckében szereplőhöz. Elegendő egy határértéket megvizsgálnunk, s ha az nem egyenlő eggyel, akkor eldönthető a konvergencia kérdése. Itt is szeretnénk hangsúlyozni, hogy ez a határérték általában nem azonos a sorösszeggel, azaz
∑k=1∞ak≠limn→∞|an|n
.
A feladatok megoldása során hivatkozni fogunk a következő két nevezetes határértékre:
1)
limn→∞An=1,A>0
2)
limn→∞nn=1
Kidolgozott feladatok:
1. feladat A gyökkritérium alkalmazásával próbájuk eldönteni a
∑k=1∞k7k
sorról, hogy abszolút konvergens-e!
Megoldás: Az
an=k7k
sorozat tagjait összegezzük, így
limn→∞|an|n=limn→∞|n7n|n
Mivel a sor tagjai pozitívak, az abszolút érték elhagyható. A gyökvonás tuladonságait kihasználva alakítsunk a kifejezésen, hogy a határértéket meghatározhassuk.
limn→∞|an|n=limn→∞n7nn=limn→∞nn7nn=limn→∞nn7=17
A kapott határérték egynél kisebb, ezért a sor abszolút konvergens.
Megjegyzés: A későbbiekben az abszolút érték elhagyását nem említjük meg külön, de ha a sor tagjai pozitívak, akkor megtesszük.
2. feladat Ha lehetséges, döntsük el a gyökkritériummal, hogy abszolút konvergens-e a
∑k=1∞2kk3+5k
sor!