 |  | Tanulási cél: Az
1 ∞
típusú sorozatok egyik osztálya esetén, a határérték meghatározására szolgáló módszer elsajátítása.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 3.
Elméleti összefoglaló:
Az
1 ∞
típusú sorozatok kritikusak, határértékükről nem lehet egyértelműen nyilatkozni.
Ismerünk azonban néhány nevezetes határértéket:
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e
lim n → ∞ ( 1 + k n ) n = e k
lim n → ∞ ( 1 + k a n ) a n = e k
, ahol
a n
bármilyen végtelenhez tartó sorozat lehet.
A feladatokban igyekszünk úgy alakítani a sorozatokat, hogy ezen nevezetes határértékek valamelyike jelenjen meg.
Kidolgozott feladatok:
1.feladat
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) 3 n = ?
Megoldás:
Mint ezt már a határértékek meghatározásánál megszoktuk, először a típust vizsgáljuk meg. Mivel a kifejezésben hatványozás szerepel, külön vizsgáljuk az alapot és a kitevőt.
A hatvány alapja:
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) = 1
, hiszen
1 n
tart 0-hoz.
A kitevő:
lim n → ∞ 3 n = ∞
A sorozat típusa tehát
1 ∞
.
A feladatban szereplő kifejezés nagyon hasonlít az elméleti összefoglalóban felsorolt 1. illetve 2. nevezetes határértékhez, a különbség csupán az, hogy a nevezetes határértékben az alapban levő tört nevezője és a kitevő megegyezik, itt pedig nem. Használjuk fel a hatványozás azon azonosságát, hogy ha egy kitevőben szorzat áll, akkor az ismételt hatványozásként is írható. Kifejezésünk így a következőképpen alakul.
lim n → ∞ ( ( 1 + 1 n ) n ) 3 = e 3
Az ismételt hatványozás első része
e
-hez tart, s mivel ezt még 3. hatványra emeljük, a határérték
e 3
lesz.
|
|
|