 |  | Tanulási cél: A helyettesítéssel történő integrálás módszerének elsajátítása, és alkalmazása feladatokban.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.3. és 8.9.-8.11.
Elméleti összefoglaló:
Ha az
f ( x )
egy primitív függvénye
F ( x )
, akkor
∫ f ( g ( x ) ) . g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + c
. Ennek helyességét deriválással könnyen ellenőrizhetjük. Azaz tudjuk integrálni az olyan szorzatokat, melyeknek egyik tényezője egy összetett függvény, integrálható külső függvénnyel, a másik tényezője pedig az összetett függvény belső függvényének deriváltja, vagy annak számszorosa. A feladatok megoldását áttekinthetőbbé tehetjük, ha a következő leírási móddal élünk. Legyen
t = g ( x )
. Deriváljuk mindkét oldalt, és
t
-nek
x
szerint deriváltját jelöljük
d t d x
-szel. Kapjuk:
d t d x = g ′ ( x )
, melyből
g ′ ( x ) d x = d t
. Írjuk be ezeket az integrandusba.
∫ f ( g ( x ) ) . g ′ ( x ) d x = ∫ f ( t ) d t = F ( t ) + c = F ( g ( x ) ) + c
Azaz a
g ( x )
függvényt egy új változóval helyettesítjük, s a kapott függvényt ezen új változó szerint integráljuk. Az eredményben vissza kell helyettesíteni az új változó helyére a függvényt, melyet helyettesítettünk.
A feladatok megoldása során gyakran nem a
t = g ( x )
egyenlőség két oldalát deriváljuk
x
szerint, hanem ezt rendezzük
x
-re, és kapjuk, hogy
x = g − 1 ( t )
, ahol
g − 1
a
g
függvény inverze, s ezt deriváljuk
t
szerint. Ennek eredménye
d x d t = ( g − 1 ( x ) ) ′
lesz, melyből
d x = ( g − 1 ( x ) ) ′ d t
. A helyettesítés során mindenképpen azt kell elérnünk, hogy a régi változót teljesen kiküszöböljük, és csak az új változó maradjon az integrandusban. Szeretnénk hangsúlyozni, hogy a régi és az új változó differenciálja,
d x
és
d t
, általában nem egyenlő. A köztük fennálló kapcsolatot, a helyettesítést leíró egyenlet deriválásával kapjuk.
Bizonyos esetekben nem az
x
változó egy függvényét célszerű egy új változóval helyettesíteni, hanem az
x
helyére az új változó valamilyen függvényét írni, azaz a régi változót helyettesítjük egy függvénnyel. Ilyenkor
x = g ( t )
. Ezt deriváljuk
t
szerint, és
d x d t = g ′ ( t )
-t kapunk, melyből
d x = g ′ ( t ) d t
.
Beírva az integrandusba:
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) . g ′ ( t ) d t
.
Ezután elvégezzük az integrálást, majd visszahelyettesítünk.
A helyettesítés bármelyik módját hasznájuk, a helyettesítéssel nem magát az integrálást végezzük el. Ilyenkor az integrandust alakítjuk át, s célunk egy könnyebben integrálható függvényt kapni, mint amilyen az eredeti volt. Az integrálási lépés majd ezután következik.
A helyettesítést nagyon gyakran célszerű alkalmaznunk a következő esetekben:
1. Ha az integrandus valamelyik része összetett függvény. Ilyenkor a belső függvényt tekinthetjük új változónak, s a helyettesítés után már nem lesz összetett függvény.
2. Ha az integrandus olyan tört, melyben
x , x n , e x
vagy
a x
szerepel. Ilyenkor a gyökös kifejezést vagy az exponenciálist tekintjük az új változónak, s a helyettesítés után áltálában racionális törtfüggvényt kapunk.
3. Ha az integrandusban négyzetgyök alatt másodfokú kifejezés szerepel, de az integrandus nem a gyökös kifejezés reciproka. Ilyenkor olyan helyettesítést hajtunk végre, hogy a gyök alatt teljes négyzet alakuljon ki, s ezáltal eltűnjön a gyök. Sokszor az
x = sin t , x = sh t
vagy
x = ch t
helyettesítés vezet célhoz.
A 2.1.2., 2.1.3. és 2.1.4. leckékben tárgyalt integrálási módszerek a helyettesítéses integrálás speciális esetei, de gyakori előfordulásuk miatt célszerű őket külön kezelni. |
|
|