Ez a formula elég nehézkesen alkalmazható, célszerűbb a képlet helyett magát azt az eljárást használni, amivel a képlet is levezetésre került. Erre szoktunk úgy hivatkozni, hogy osztáskor bővítünk a nevező konjugáltjával.
Az osztás disztributív az összeadásra, azaz
z1+z2z3=z1z3+z2z3
.
A konjugálás és az osztás kapcsolatát fejezi ki az alábbi formula:
(z1z2)¯=z1¯z2¯
.
Kidolgozott feladatok:
1. feladat Végezzük el a
−3+12i1.5
osztást.
Megoldás: Az osztás definíciója magában foglalja azt az esetet is, amikor valós számmal, mint speciális komplex számmal osztunk. Ilyenkor tehát
d=0
, és a fenti képlet arra egyszerűsödik, hogy
a+bic=ac+bci
,
azaz valós számmal úgy osztunk, hogy osztjuk a valós részt és a képzetes részt is.
Ezt felhasználva
−3+12i1.5=−31.5+121.5i=−2+8i
.
2. feladat Mivel egyenlő
4−2i−2+i
?
Megoldás: Végezzük el az osztást úgy, hogy bővítünk a nevező konjugáltjával.
Ha nem túl fáradságos a valós és a képzetes részt a lehető legegyszerűbb alakban érdemes felírni. Nem célszerű azonban közelítő értékeket használni, hacsak nem elkerülhetetlen.
5. feladat Számítsuk ki az
12+i+i3+7i
kifejezést.
Megoldás: Törteket úgy adunk össze, hogy először közös nevezőre hozzuk őket. Ez komplex számok esetén általában a nevezők szorzata, most
(2+i)(3+7i)
.
Ezért az első törtet
3+7i
-vel, a második törtet
2+i
-vel kell bővíteni. Ezeket elvégezve kapjuk, hogy
8. feladat Ha tudjuk, hogy
(x+y)+(x−y)i=(1+i)2+1i
, mivel egyenlő az
x
és az
y
, ha mindkettő valós szám?
Megoldás: Mivel
(1+i)2=2i
,
és
1i=1(−i)i(−i)=−i1=−i
,
azt kapjuk, hogy
(x+y)+(x−y)i=i=0+1.i
.
Két komplex szám pontosan akkor egyenlő, ha egyenlők a valós részek és egyenlők a képzetes részek is. Ebből a következő egyenletrendszert kapjuk az
x,y
ismeretlenekre:
{x+y=0x−y=1
Megoldjuk ezt a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert. Ha összeadjuk a két egyenletet azt kapjuk, hogy
2x=1
,
azaz
x=12
.
Ezt beírva mondjuk az első egyenletbe
y=−12
.
9. feladat Legyen
xi1+yi=3x+4ix+3y
. Határozzuk meg az
x
és az
y
valós számokat.
Megoldás: A második tört nevezőjéből látszik, hogy az
x≠−3y
feltételnek teljesülnie kell. Az első tört nevezője semmilyen
y
-ra sem lesz nulla. Keresztbeszorzással megszabadulunk a törtektől:
xi(x+3y)=(3x+4i)(1+yi)
.
Elvégezve a szorzásokat, és összevonva az azonos nemű tagokat:
x2i+3xyi=3x+4i+3xyi+4yi2
,
(x2+3xy)i=(3x−4y)+(4+3xy)i
.
Mindkét oldalon egy komplex szám áll, a bal oldali valós része nulla. A valós és képzetes részek egyenlőségéből az ismeretlenekre az alábbi egyenletrendszer adódik:
{3x−4y=0x2+3xy=4+3xy
.
Ez nem egy lineáris egyenletrendszer, de szerencsére könnyen megoldható. A második egyenletből
x2=4
,
amiből
x1=−2
,
vagy
x2=2
.
Ha
x1=−2
, akkor az első egyenletből
y1=−32
.
Ha
x2=2
, akkor
y2=32
.
Ezek kielégítik az
x≠−3y
feltételt is, ez a két megoldása van tehát a feladatunknak.