//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 1. Komplex számok

1.4. Komplex számok ábrázolása, a trigonometrikus alak

Tanulási cél: Az Argand diagram és a trigonometrikus alak megismerése, komplex szám trigonometrikus alakra való átírásának begyakorlása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács lászló, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 2.3.

Elméleti összefoglaló:

A komplex számok ábrázolása

Tekintsük a síkon azt a derékszögű koordináta rendszert, amelynek vízszintes tengelyén - az úgynevezett valós tengelyen - az 1 valós szám az egység, a függőleges tengelyén pedig - az úgynevezett képzetes tengelyen - az i komplex szám az egység.

Ekkor a z = a + b i komplex szám az ( a , b i ) koordinátájú ponttal ábrázolható.
Ez az ábrázolás az Argand diagram.

Így a komplex számok és a sík pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre.

Szokás a komplex számot a koordináta rendszer origójából az ( a , b i ) koordinátájú pontba mutató vektorral is ábrázolni. Mi is ezt fogjuk használni.

A trigonometrikus alak

Minden nullától különböző   z = a + b i komplex szám egyértelműen felírható

z = r ( cos ϕ + i sin ϕ )

alakban, ahol az

r > 0

valós szám a komplex szám hossza, vagy abszolút értéke, és az

r = a 2 + b 2 ,

képlettel számolható,

ϕ a komplex szám szöge, vagy argumentuma,

ez az a szög, amellyel a valós tengely pozitív felét az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy a komplex számot ábrázoló vektor irányára essen.

Erre a szögre teljesül, hogy

0 o ϕ < 360 o , és a 0 esetén tg ϕ = b a .

Mivel a tangens függvény 180 o szerint periódikus, 0 o és 360 o között két olyan szög van, amelynek a tangense egy adott érték, ezért a ϕ meghatározása mindig a komplex szám ábrázolása és az argumentum berajzolása után történik az alábbi módon:

1) Ha a z a valós tengelyre esik, azaz b = 0 , akkor a > 0 esetén ϕ = 0 o , a < 0 esetén ϕ = 180 o .

2) Ha a z a képzetes tengelyre esik, azaz a = 0 , akkor b > 0 esetén ϕ = 90 o , b < 0 esetén ϕ = 270 o .

3) A többi esetben, azaz, ha a 0 és b 0 , ϕ meghatározása egy δ segédszög segítségével történik. Ennek a δ szögnek a definíciója a következő:

A koordináta rendszer origóját jelöljük O -val, a komplex számot ábrázoló vektor végpontját Z -vel. Vetítsük le Z -t merőlegesen a vízszintes tengelyre és legyen a talppont T . Az O T Z derékszögű háromszög O -nál lévő szöge a δ . Erre a szögre teljesül, hogy 0 o < δ < 90 o , és értéke a tg δ = | b | | a | képletből számológéppel kiszámolható.

Ezek után,

ha z az első negyedben van, azaz a > 0, b > 0 , akkor ϕ = δ ,

ha z a második negyedben van, azaz a < 0, b > 0 , akkor ϕ = 180 o δ ,

ha z a harmadik negyedben van, azaz a < 0, b < 0 , akkor ϕ = 180 o + δ ,

végül

ha z a negyedik negyedben van, azaz a > 0, b < 0 , akkor ϕ = 360 o δ .

Ez egy ijesztően hosszú és bonyodalmas definíciónak tűnhet, de látni fogjuk rögtön, hogy nem olyan bonyolult a használata.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Ábrázoljuk egy koordináta renszerben a z 1 = 2 , a z 2 = i , a z 3 = 4 és a z 4 = 3 i komplex számokat.

Megoldás:

Látjuk, hogy mind a négy komplex szám valamelyik koordináta tengelyre esik. Az alábbi ábrán láthatjuk őket:

2. feladat Ábrázoljuk közös koordináta rendszerben a z 1 = 3 + 2 i , a z 2 = 1 + 3 i , a z 3 = 1 3 i és a z 4 = 2 i komplex számokat.

Megoldás:

Mind a négy komplex szám más-más síknegyedbe esik, az alábbi ábrán láthatjuk őket.

3. feladat Ábrázoljuk a z 1 = 2 + 4 i és az z 2 = 4 2 i komplex számokat és rajzoljuk be a szögüket is.

Megoldás: Külön ábrát rajzolunk z 1 -nek és z 2 -nek. Ne feledjük, hogy a komplex szám szöge az a szög, amivel a valós tengely pozitív felét az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy a komplex számot ábrázoló vektor irányába essen.

z 1 esetén az ábránk:

z 2 esetén a következő ábrát kapjuk:

4. feladat Írjuk fel a z 1 = 2 , a z 2 = 4 , a z 3 = 3 i és a z 4 = 4 i komplex számokat trigonometrikus alakban.

Megoldás:Trigonometrikus alakra való átíráskor először mindig ábrázoljuk a komplex számot.

z 1 esetén az alábbi ábrából indulunk ki:

Erről az ábráról leolvashatjuk, hogy a komplex számunk hossza 2 , a szöge pedig 0 o .

Persze a hosszt kiszámolhatuk volna az r = a 2 + b 2 = 2 2 + 0 2 = 4 = 2 formulával is, de most egyszerűbb volt leolvasni az ábráról.

A trigonometrikus alak tehát:

z 1 = 2 ( cos 0 o + i sin 0 o ) .

z 2 esetén a kiinduló ábra:

Most az látszik, hogy a komplex számunk hossza 4 , a szöge 180 o . Ezért a trigonometrikus alak

z 2 = 4 ( cos 180 o + i sin 180 o ) .

z 3 esetén a kiinduló ábra:

Most nyilvánvalóan 3 a hossz, és a szög 90 o . Ezek alapján a trigonometrikus alak

z 3 = 3 ( cos 90 o + i sin 90 o ) .

Végül a z 4 -re vonatkozó ábra:

Látható, hogy a hossz 4 , és a szög 270 o . Ezért a trigonometrikus alak

z 4 = 4 ( cos 270 o + i sin 270 o ) .
5. feladat Írjuk fel z = 3 + 2 i trigonometrikus alakját.

Megoldás: Ábrázoljuk z -t:

Először kiszámoljuk a hosszt.

r = a 2 + b 2 = 3 2 + 2 2 = 13 .

Ezután meghatározzuk a szöget.
A δ segédszögre most az teljesül, hogy tg δ = | b | | a | = | 2 | | 3 | = 2 3 , amiből δ = 33.69 o .

Mivel az ábráról látható, hogy z az első síknegyedbe esik

ϕ = δ = 33.69 o .

Ezek alapján a trigonometrikus alak:

z = 13 ( cos 33.69 o + i sin 33.69 o ) .
6. feladat Határozzuk meg a z = 1 + 3 i komplex szám trigonometrikus alakját.

Megoldás: Ábrázoljuk z -t, 3 értékét 1.7 -del közelítjük az ábrán, számoláskor persze a pontos értékkel számolunk:

A hossz

r = ( 1 ) 2 + ( 3 ) 2 = 1 + 3 = 4 = 2 .

A δ segédszögre tg δ = | 3 | | 1 | = 3 , amiből δ = 60 o .

Látjuk az ábráról, hogy a komplex számunk a második negyedben van, ezért ϕ = 180 o δ = 180 o 60 o = 120 o .

Ezek alapján a trigonometrikus alak

z = 2 ( cos 120 o + i sin 120 o ) .
7. feladat Írjuk fel a z = 2 2 i komplex szám trigonometrikus alakját.

Megoldás: Kezdjük az ábrával, melyen 2 -t 1.4 -del közelítjük.

Kiszámoljuk a hosszt, de nem az előbbi közelítő értéket használjuk, hanem a pontos értéket.

r = ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2 + 2 = 2 .

Az argumentum meghatározásakor a segédszögre teljesül, hogy

tg δ = | 2 | | 2 | = 2 2 = 1 ,

amiből δ = 45 o .

Mivel a szóban forgó komplex szám a harmadik negyedben van

ϕ = 180 o + δ = 180 o + 45 o = 225 o .

Végül is a trigonometrikus alak tehát:

z = 2 ( cos 225 o + i sin 225 o ) .
8. feladat Határozzuk meg z = 12 2 i trigonometrikus alakját.

Megoldás: Ábrázoljuk z -t, felhasználva a 12 3.5 közelítést.

Először következzék a hossz meghatározása:

r = ( 12 ) 2 + ( 2 ) 2 = 12 + 4 = 4 .

A segédszögre tg δ = | 2 | | 12 | = 2 12 , ahonnan δ = 30 o . Minthogy a komplex szám a negyedik negyedbe esik

ϕ = 360 o δ = 360 o 30 o = 330 o .

Végül ezek alapján a trigonometrikus alak:

z = 4 ( cos 330 o + i sin 330 o ) .
9. feladat Mivel egyenlő z = 2 ( cos 120 o i sin 120 o ) trigonometrikus alakja?

Megoldás: A fenti alak nem trigonometrikus alak, mert az i előtt kivonás áll.
Figyeljünk erre! Attól, hogy szögfüggvények szerepelnek egy szám felírásában, még nem következik, hogy az trigonometrikus alakja egy komplex számnak. Az r ( cos ϕ + i sin ϕ ) trigonometrikus alakban az r pozitív, és a   ϕ szög 0 o és 360 o közé esik, a képzetes egység a szinuszos rész szorzója, és a két trigonometrikus tag között összeadás van.


Mivel trigonometrikus alakot az algebrai alakból tudunk átírni, felírjuk z algebrai alakját:

z = 2 ( cos 120 o i sin 120 o ) = 2 ( 1 2 3 2 i ) = 1 3 i .

Ezt ábrázolva az alábbi ábrát kapjuk:

Innen most már

r = ( 1 ) 2 + ( 3 ) 2 = 1 + 3 = 2 .

Másrészt tg δ = | 3 | | 1 | = 3 , amiből δ = 60 o .

Miután z a harmadik negyedben van ϕ = 180 o + δ = 180 o + 60 o = 240 o .

Ezekből a trigonometrikus alak:

z = 2 ( cos 240 o + i sin 240 o ) .
10. feladat Írjuk fel z = 2 ( cos 240 o + i sin 300 o ) trigonometrikus alakját.

Megoldás: Ez sem trigonometrikus alak: a zárójelen kívüli szorzó negatív, és a szögfüggvények argumentuma nem egyenlő.

Először meghatározzuk az algebrai alakot.

z = 2 ( cos 240 o + i sin 300 o ) = 2 ( 1 2 + ( 3 2 ) i ) = 1 + 3 i .

Elkészítjük z ábráját.

Most már a hosszra r = 1 2 + ( 3 ) 2 = 1 + 3 = 2 adódik, a segédszögre tg δ = | 3 | | 1 | = 3 , amiből δ = 60 o . Minthogy z az első negyedbe esik, ϕ = δ = 60 o . Ezek felhasználásával a trigonometrikus alak:

z = 2 ( cos 60 o + i sin 60 o ) .
11. feladat Legyen z = 3 ( cos 330 o + i sin 330 o ) . Írjuk fel z ¯ trigonometrikus alakját.

Megoldás: Szükségünk lesz z algebrai alakjára, ennek meghatározásával kezdjük.

z = 3 ( cos 330 o + i sin 330 o ) = 3 ( 3 2 + ( 1 2 ) i ) = 3 3 2 3 2 i .

Innen

z ¯ = 3 3 2 + 3 2 i .

Ábrázoljuk z ¯ -at, felhasználva a 3 3 2 2.6 közelítést.

z ¯ hosszára kapjuk, hogy

r = ( 3 3 2 ) 2 + ( 3 2 ) 2 = 27 4 + 9 4 = 3 ,

ami persze ugyanannyi, mint z hossza.

Most a segédszögre tg δ = | 3 2 | | 3 3 3 | = 3 2 3 3 2 = 6 6 3 = 1 3 , amiből δ = 30 o .

Minthogy z ¯ az első síknegyedben van, a szögére ϕ = δ = 30 o .

Ezek  alapján a keresett trigonometrikus alak:

z ¯ = 3 ( cos 30 o + i sin 30 o ) .

Láthatjuk, hogy z szögének és z ¯ szögének az összege 360 o . Érdemes végiggondolni, hogy ez mindig így van.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Mennyi a 3 + i komplex szám hossza?
 
8 .
 
4.
 
10.
 
10 .
 

2. kérdés: Melyik negyedbe esik a 2 3 i komplex szám?
 
Az elsőbe.
 
A másodikba.
 
A harmadikba.
 
A negyedikbe.
 

3. kérdés: Mennyi 4 + 2 i szöge?
 
153.43 o .
 
26.57 o .
 
116.57 o .
 
333.43 o .
 

4. kérdés: 1 i trigonometrikus alakja
 
2 ( cos 225 o + i sin 225 o ) .
 
2 ( cos 225 o + i sin 225 o ) .
 
2 ( cos 225 o + i sin 225 o ) .
 
2 ( cos 225 o i sin 225 o ) .
 

5. kérdés: 2 i trigonometrikus alakja
 
5 ( cos 333.43 o + i sin 333.43 o ) .
 
3 ( cos 333.43 o + i sin 333.43 o ) .
 
5 ( cos 296.57 o + i sin 296.57 o ) .
 
5 ( cos ( 26.57 o ) + i sin ( 26.57 o ) ) .
 

6. kérdés: 3 ( sin 45 o + i cos 45 o ) trigonometrikus alakja
 
3 ( cos 135 o + i sin 135 o ) .
 
3 ( cos 45 o + i sin 45 o ) .
 
3 ( cos 45 o + i sin 45 o ) .
 
3 ( cos 315 o + i sin 45 o ) .
 

7. kérdés: 2 ( cos 120 o i sin 120 o ) trigonometrikus alakja
 
2 ( cos 300 o + i sin 300 o ) .
 
2 ( cos 330 o + i sin 330 o ) .
 
2 ( cos 240 o + i sin 240 o ) .
 
2 ( cos 210 o + i sin 210 o )
 

8. kérdés: Ha z 1 = cos 90 o + i sin 90 o , z 2 = 2 ( cos 270 o + i sin 270 o ) , akkor z 1 + z 2 trigonometrikus alakja
 
3 ( cos 0 o + i sin 0 o ) .
 
3 ( cos 270 o + i sin 270 o ) .
 
cos 270 o + i sin 270 o .
 
cos ( 90 o ) + i sin ( 90 o ) .
 

9. kérdés: Ha z 1 = 2 ( cos 210 o + i sin 210 o ) , z 2 = 3 ( cos 315 o + i sin 315 o ) , akkor z 1 z 2 trigonometrikus alakja
 
4.01 ( cos 163.78 o + i sin 163.78 o ) .
 
4.01 ( cos 196.52 o + i sin 196.52 o ) .
 
4.97 ( cos 163.78 o + i sin 163.78 o ) .
 
3.69 ( cos 163.87 o + i sin 163.87 o ) .