//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.7. Hányadoskritérium

Tanulási cél: A hányadoskritérium megismerése, alkalmazásának elsajátítása feladatokban.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.2.

Elméleti összefoglaló:
A konvergenciakritériumok olyan tételek, melyek segítségével bizonyos sorokról eldönthető, hogy konvergensek vagy divergensek. Ezen tételek a sorösszegről nem mondanak semmit, akkor érdemes alkalmazásukkal próbálkozni, ha a sorösszeg nem kérdés.

Ha a k = 1 a k konvergens, akkor a sor tagjainak sorozata nullához tart, azaz lim n a n = 0 . Ha egy sor tagjaira lim n a n 0 , akkor a sor biztosan divergens.

A k = 1 a k sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a tagok abszolút érétkeiből alkotott k = 1 | a k | sor konvergens.

Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is. (Fordítva nem igaz.)

A hányadoskritérium:
Ha a k = 1 a k sorhoz található olyan 0 q < 1 szám, hogy minden n index esetén fenáll az | a n + 1 a n | q egyenlőtlenség, akkor a sor abszolút konvergens. (Kicsit lehet enyhíteni a dolgon, mert minden n index helyett elegendő ha véges sok n kivételével teljesül az | a n + 1 a n | q egyenlőtlenség.)

A feladatok megoldása során gyakrabban használjuk a következő tételt:
Ha a k = 1 a k sor tagjaira igaz, hogy az | a n + 1 a n | sorozat konvergens, és

a) lim n | a n + 1 a n | < 1 , akkor a sor abszolút konvergens, így konvergens is,

b) lim n | a n + 1 a n | > 1 , akkor a sor divergens,

c) lim n | a n + 1 a n | = 1 , akkor a kritérum segítségével nem dönthető el a konvergencia.

Ezen tétel szerint, elég tehát egy határértéket megvizsgálnunk, s aszerint, hogy ez a határérték egynél nagyobb vagy kisebb, a sor abszolút konvergens, vagy divergens lesz. Ha azonban ez a határérték 1, akkor nem jutottunk előbbre, a sor konvergens is lehet és divergens is. Felhívjuk továbbá arra a figyelmet, hogy ez a határérték általában nem egyenlő a sorösszeggel, azaz k = 1 a k lim n | a n + 1 a n | .
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Ha lehetséges, döntsük el a hányadoskritérium segítségével, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 3 k 1 4 k sor!

Megoldás: Most az a n = 3 n 1 4 n sorozat elemeit összegezzük, ezért a n + 1 = 3 ( n + 1 ) 1 4 n + 1 = 3 n + 2 4 n + 1 .
Helyettesítsük be ezeket a kritériumban szereplő határértékbe.

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 3 n + 2 4 n + 1 3 n 1 4 n |

Alakítsuk át az emeletes törtet.

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 3 n + 2 4 n + 1 . 4 n 3 n 1 | = lim n | 4 n 4 . 4 n . 3 n + 2 3 n 1 | = lim n | 1 4 . 3 n + 2 3 n 1 | = 1 4 . lim n | 3 n + 2 3 n 1 |

A meghatározandó határérték típusú, ezért célszerű a törtet n -nel egyszerűsíteni. Az abszolút érték elhagyható, hiszen n N , így a tört pozitív.

lim n | a n + 1 a n | = 1 4 . lim n 3 + 2 n 3 1 n = 1 4 . 3 + 0 3 0 = 1 4

Ez kisebb mint 1, ezért a sor abszolút konvergens.
2. feladat El lehet-e dönteni a hányadoskritérium segítségével, hogy a k = 1 k 2 5 k + 1 sor abszolút konvergens-e?

Megoldás: Jelen esetben a n = n 2 5 n + 1 a n + 1 = ( n + 1 ) 2 5 ( n + 1 ) + 1 = ( n + 1 ) 2 5 n + 2 .

Vegyük ezek hányadosának a határértékét.

lim n | a n + 1 a n | = lim n | ( n + 1 ) 2 5 n + 2 n 2 5 n + 1 |

Alakítsunk a törtön.

lim n | a n + 1 a n | = lim n | ( n + 1 ) 2 5 n + 2 . 5 n + 1 n 2 | = lim n | ( n + 1 ) 2 n 2 . 5 n + 1 5 . 5 n + 1 | = 1 5 . lim n | ( n + 1 n ) 2 |

Most is célszerű egyszerűsíteni, valamint az abszolút érték elhagyható.

lim n | a n + 1 a n | = 1 5 . lim n ( 1 + 1 n 1 ) 2 = 1 5 . ( 1 + 0 1 ) 2 = 1 5

Mivel a kapott érték kisebb egynél, a sor abszolút konvergens.
3. feladat A hányadoskritérium alkalmazásával eldönthető-e hogyan viselkedik konvergencia szempontjából a k = 1 3 k k 3 sor?

Megoldás: a n = 3 n n 3 a n + 1 = 3 n + 1 n + 1 3

Helyettesítsük ezeket a megfelelő határértékbe.

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 3 n + 1 n + 1 3 3 n n 3 |

A határérték meghatározásához alakítsunk a törtön.

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 3 n + 1 n + 1 3 . n 3 3 n | = lim n | 3 . 3 n 3 n . n 3 n + 1 3 | = 3 . lim n | n n + 1 3 |

Az abszolút érték elhagyható, s a törtet most is célszerű egyszerűsíteni.

lim n | a n + 1 a n | = 3 . lim n 1 1 + 1 n 3 = 3 . 1 1 + 0 3 = 3

Mivel a kapott érték egynél nagyobb, a sor divergens.

Megjegyzés: Ha egy sor tagjai pozitívak, akkor az abszolút érték elhagyható, ezt a későbbiekben nem fogjuk részletezni.
4. feladat Ha lehetséges, akkor döntsük el a hányadoskritériummal, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 2 k + 7 k 2 sor!

Megoldás: Hajtsuk végre azokat a lépéseket, amelyeket az előző feladatokban.

a n = 2 n + 7 n 2 a n + 1 = 2 ( n + 1 ) + 7 ( n + 1 ) 2 = 2 n + 9 ( n + 1 ) 2

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 2 n + 9 ( n + 1 ) 2 2 n + 7 n 2 | = lim n | 2 n + 9 ( n + 1 ) 2 . n 2 2 n + 7 | = lim n | 2 n + 9 2 n + 7 . n 2 ( n + 1 ) 2 | =

lim n | 2 n + 9 2 n + 7 . ( n n + 1 ) 2 | = lim n | 2 + 9 n 2 + 7 n . ( 1 1 + 1 n ) 2 | = 2 + 0 2 + 0 . ( 1 1 + 0 ) 2 = 1

Mivel a határérték eggyel egyenlő, ezért a hányadoskritériummal nem dönthető el, hogyan viselkedik sor konvergencia szempontjából.

Megjegyzés: A sor divergens, de ezt más módszerrel lehet igazolni. Bontsuk fel a sort két sor összegére.

k = 1 2 k + 7 k 2 = k = 1 ( 2 k k 2 + 7 k 2 ) = 2 . k = 1 1 k + 7 . k = 1 1 k 2

Mivel a k = 1 1 k sor divergens (Tankönyv: 4.4. Példa), ezért annak kétszerese is divergens. A k = 1 1 k 2 sor konvergens (Tankönyv: 4.3. Példa), ezért annak hétszeres is konvergens. Ha egy divergens sorhoz konvergens sort adunk, az eredmény divergens sor lesz. (Konyhanyelven: végtelen+véges=végtelen.)
5. feladat A hányadoskritérium alkalmazásával próbáljuk eldönteni abszolút konvergens-e a k = 1 5 k 1 k 3 sor!

Megoldás: Járjunk el az előző feladatokban bemutatottak szerint.

a n = 5 n 1 n 3 a n = 5 ( n + 1 ) 1 ( n + 1 ) 3 = 5 n + 4 ( n + 1 ) 3

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 5 n + 4 ( n + 1 ) 3 5 n 1 n 3 | = lim n | 5 n + 4 ( n + 1 ) 3 . n 3 5 n 1 | = lim n | 5 n + 4 5 n 1 . n 3 ( n + 1 ) 3 | =

= lim n | 5 n + 4 5 n 1 . ( n n + 1 ) 3 | = lim n | 5 + 4 n 5 1 n . ( 1 1 + 1 n ) 3 | = 5 + 0 5 0 . ( 1 1 + 0 ) 3 = 1

A hányadoskritériummal nem lehet erről a sorról sem eldönteni, hogy abszolút konvergens-e.

Megjegyzés: Ez a sor konvergens, s ezt hasonlóan igazolhatjuk, mint ahogy az előző feladatban jártunk el. Felbontjuk ezt a sort is két sor összegére.

k = 1 5 k 1 k 3 = k = 1 ( 5 k k 3 1 k 3 ) = 5 . k = 1 1 k 2 k = 1 1 k 3

A k = 1 1 k 2 sor konvergens, erre már az előző feladatban is hivatkoztunk. A k = 1 1 k 3 sor is konvergens (Tankönyv: 4.6.Példa). Konvergens sor konstansszorosa, illetve konvergens sorok összege is konvergens, ezért ez a sor konvergens.
6. feladat A hányadoskritérium segítségével vizsgáljuk meg a k = 1 k 3 + 3 k k k sort konvergencia szempontjából!

Megoldás: a n = n 3 + 3 n n n a n + 1 = ( n + 1 ) 3 + 3 ( n + 1 ) ( n + 1 ) n + 1 = n 3 + 3 n 2 + 6 n + 4 ( n + 1 ) n + 1

lim n | a n + 1 a n | = lim n | n 3 + 3 n 2 + 6 n + 4 ( n + 1 ) n + 1 n 3 + 3 n n n | = lim n | n 3 + 3 n 2 + 6 n + 4 ( n + 1 ) n + 1 . n n n 3 + 3 n | =

= lim n | n 3 + 3 n 2 + 6 n + 4 n 3 + 3 n . n n ( n + 1 ) n + 1 | = lim n | 1 + 3 n + 6 n 2 + 4 n 3 1 + 3 n 2 . ( n n + 1 ) n . 1 n + 1 | =

= lim n | 1 + 3 n + 6 n 2 + 4 n 3 1 + 3 n 2 . 1 ( 1 + 1 n ) n . 1 n + 1 | = 1 + 0 + 0 + 0 1 + 0 . 1 e . 0 = 0

Mivel a határérték 0, ami kisebb mint 1, ezért a sor abszolút konvergens.
7. feladat Ha lehet, döntsük el a hányadoskritériummal, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 k 3 k ! sor!

Megoldás: a n = n 3 n ! a n + 1 = ( n + 1 ) 3 ( n + 1 ) !

lim n | a n + 1 a n | = lim n | ( n + 1 ) 3 ( n + 1 ) ! n 3 n ! | = lim n | ( n + 1 ) 3 ( n + 1 ) ! . n ! n 3 | = lim n | ( n + 1 ) 3 n 3 . n ! ( n + 1 ) ! | =

Mivel n ! = 1 . 2 . 3 . . . . . n és n ! = 1 . 2 . 3 . . . . . n . ( n + 1 ) , ezért ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) . n ! .

lim n | a n + 1 a n | = lim n | ( n + 1 n ) 3 . n ! ( n + 1 ) . n ! | = lim n | ( 1 + 1 n 1 ) 3 . 1 ( n + 1 ) | = 1 + 0 1 . 0 = 0

Mivel a határérték egynél kisebb, a sor abszolút konvergens.
8. feladat Próbáljuk eldönteni a hányadoskritériummal, hogy abszolút konvergens-e a k = 1 2 k ( 2 k ) ! sor?

Megoldás: a n = 2 n ( 2 n ) ! a n + 1 = 2 n + 1 ( 2 . ( n + 1 ) ) ! = 2 n + 1 ( 2 n + 2 ) !

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 2 n + 1 ( 2 n + 2 ) ! 2 n ( 2 n ) ! | = lim n | 2 n + 1 ( 2 n + 2 ) ! . ( 2 n ) ! 2 n | = lim n | 2 n + 1 2 n . ( 2 n ) ! ( 2 n + 2 ) ! | =

Mert ( 2 n ) ! = 1 . 2 . 3 . . . . . ( 2 n ) és ( 2 n + 2 ) ! = 1 . 2 . 3 . . . . . ( 2 n ) . ( 2 n + 1 ) . ( 2 n + 2 ) , ezért

( 2 n + 2 ) ! = ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n ) ! .

lim n | a n + 1 a n | = lim n | 2 . 2 n 2 n . ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n ) ! | = lim n | 2 . 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) | = 2 . 0 = 0

A kapott határérték egynél kisebb, ezért a sor abszolút konvergens.
9. feladat A hányadoskritériumot alkalmazva próbáljuk eldönteni, abszolút konvergens-e a k = 1 k k k ! sor!

Megoldás: a n = n n n ! a n + 1 = ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) !

lim n | a n + 1 a n | = lim n | ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! n n n ! | = lim n | ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! n n | = lim n | ( n + 1 ) n + 1 n n . n ! ( n + 1 ) ! | =

= lim n | ( n + 1 ) . ( n + 1 ) n n n . n ! ( n + 1 ) . n ! | = lim n | ( n + 1 ) . ( n + 1 n ) n . 1 ( n + 1 ) | = lim n | ( 1 + 1 n ) n | = e

A határérték egynél nagyobb, ezért a sor divergens.

Megjegyzés: A sor divergens volta másképp is belátható.
Mivel n n n ! a n = n n n ! 1 lim n a n 0 , s így a sor biztosan divergens.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: Tekintsük a k = 1 2 k k 2 + 5 sort. Mivel egyenlő a lim n | a n + 1 a n | határérték, s mi következik ebből a konvergenciára nézve?
 
lim n | a n + 1 a n | = 0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 2 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 2 5 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

2. kérdés: Tekintsük a k = 1 4 k 1 k 2 sort. Mivel egyenlő a limn|an+1an| határérték, s mit jelent ez konvergencia szempontjából?
 
lim n | a n + 1 a n | = 0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 2 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 4 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

3. kérdés: Tekintsük a k = 1 6 k + 5 3 k sort. Mivel egyenlő a limn|an+1an| határérték, s mi következik ebből a konvergenciára nézve?
 
limn|an+1an|=0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 3 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 6 3 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

4. kérdés: Tekintsük a k = 1 3 k + 8 k 2 sort. Mivel egyenlő limn|an+1an| határérték, s mit mondhatunk ez alapján a konverbenciáról?
 
limn|an+1an|=0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 3 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 3 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

5. kérdés: Tekintsük a k = 1 3 k + 2 k ! sort. Mivel egyenlő a limn|an+1an| határérték, s mit jelent ez a konvergenciára nézve?
 
limn|an+1an|=0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 2 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 3 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

6. kérdés: Tekintsük a k = 1 k ! 10 k sort. Mivel egyenlő a limn|an+1an| határérték, s mi következik ebből a konvergenciára nézve?
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 10 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 10 a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia
 

7. kérdés: Tekintsük a k = 1 k 2 + 2 k k sort. Mivel egyenlő a limn|an+1an| határérték, s mit jelent ez konvergencia szempontjából?
 
limn|an+1an|=0 a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 e a sor abszolút konvergens
 
lim n | a n + 1 a n | = e a sor divergens
 
lim n | a n + 1 a n | = 1 a hányadoskritériummal nem dönthető el a konvergencia