 |  | Tanulási cél: A hányadoskritérium megismerése, alkalmazásának elsajátítása feladatokban.
Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 4.2.
Elméleti összefoglaló:
A konvergenciakritériumok olyan tételek, melyek segítségével bizonyos sorokról eldönthető, hogy konvergensek vagy divergensek. Ezen tételek a sorösszegről nem mondanak semmit, akkor érdemes alkalmazásukkal próbálkozni, ha a sorösszeg nem kérdés.
Ha a
∑ k = 1 ∞ a k
konvergens, akkor a sor tagjainak sorozata nullához tart, azaz
lim n → ∞ a n = 0
. Ha egy sor tagjaira
lim n → ∞ a n ≠ 0
, akkor a sor biztosan divergens.
A
∑ k = 1 ∞ a k
sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a tagok abszolút érétkeiből alkotott
∑ k = 1 ∞ | a k |
sor konvergens.
Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens is. (Fordítva nem igaz.)
A hányadoskritérium:
Ha a
∑ k = 1 ∞ a k
sorhoz található olyan
0 ≤ q < 1
szám, hogy minden
n
index esetén fenáll az
| a n + 1 a n | ≤ q
egyenlőtlenség, akkor a sor abszolút konvergens. (Kicsit lehet enyhíteni a dolgon, mert minden
n
index helyett elegendő ha véges sok
n
kivételével teljesül az
| a n + 1 a n | ≤ q
egyenlőtlenség.)
A feladatok megoldása során gyakrabban használjuk a következő tételt:
Ha a
∑ k = 1 ∞ a k
sor tagjaira igaz, hogy az
| a n + 1 a n |
sorozat konvergens, és
a)
lim n → ∞ | a n + 1 a n | < 1
, akkor a sor abszolút konvergens, így konvergens is,
b)
lim n → ∞ | a n + 1 a n | > 1
, akkor a sor divergens,
c)
lim n → ∞ | a n + 1 a n | = 1
, akkor a kritérum segítségével nem dönthető el a konvergencia.
Ezen tétel szerint, elég tehát egy határértéket megvizsgálnunk, s aszerint, hogy ez a határérték egynél nagyobb vagy kisebb, a sor abszolút konvergens, vagy divergens lesz. Ha azonban ez a határérték 1, akkor nem jutottunk előbbre, a sor konvergens is lehet és divergens is. Felhívjuk továbbá arra a figyelmet, hogy ez a határérték általában nem egyenlő a sorösszeggel, azaz
∑ k = 1 ∞ a k ≠ lim n → ∞ | a n + 1 a n |
.
|
|
|