//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.8. Határozott integrál

Tanulási cél: A határozott integrál fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.5. és 8.6.

Elméleti összefoglaló:
Tekintsük az [ a , b ] -n értelmezett f ( x ) függvényt, és bontsuk fel az [ a , b ] -t n részintervallumra. Az f ( x ) függvényt az [ a , b ] -n Riemann-integrálhatónak mondjuk, ha létezik a

lim n max Δ x i 0 i = 1 n f ( ξ i ) . Δ x i

határérték, ahol Δ x i jelenti az [ a , b ] i -edik részintervallumának hosszát, f ( ξ i ) pedig az i -edik részintervallum tettszőleges pontjához tartozó függvényértéket. A lim n max Δ x i 0 azt jelenti, úgy vesszük az összeg határértékét, hogy [ a , b ] -t egyre több részintervallumra bontjuk oly módon, hogy a leghosszabb részintervallum hossza is közeledik 0 -hoz. Ha létezik ez a határérték, akkor ezt az f ( x ) függvény [ a , b ] -n vett határozott integráljának nevezzük, és a b f ( x ) d x -szel jelöljük. Mivel a határozott integrál egy határérték, ezért ez szám. Értéke az f ( x ) függvény grafikonja és az x -tengely közti előjeles terület nagyságával egyenlő. Ha egy terület az x -tengely felett van, akkor pozitív, ha alatta, akkor negatív.

Ha az f ( x ) függvény folytonos az [ a , b ] -n, akkor integrálható az [ a , b ] -n.

A határozott integrál néhány tuljdonsága:
1. A határok felcserélésére az integrál előjelet vált, azaz

a b f ( x ) d x = b a f ( x ) d x .

2. Ha f ( x ) integrálható [ a , b ] -n és c az [ a , b ] belső pontja, akkor

a b f ( x ) d x = a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x ,

azaz részintervallumokon vett integrálok összege megadja a teljes intervallumra vonatkozó integrált. A tétel akkor is igaz, ha c az [ a , b ] -n kívül helyezkedik el, és f ( x ) integrálható az [ a , c ] és [ c , b ] intervallumokon.

3. A határozott integrál és a konstanssal szorzás sorrendje felcserélhető, azaz

a b k . f ( x ) d x = k . a b f ( x ) d x .

4. Függvények összegének határozott integrálja azonos a határozott integrálok összegével.

a b ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = a b f ( x ) d x + a b g ( x ) d x

A Newton-Leibniz formula:

a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) F ( a ) ,

ahol F ( x ) az f ( x ) egy tetszőleges primitív függvénye, s [ F ( x ) ] a b azt jelenti, hogy F ( x ) b helyen vett helyettesítési értékéből ki kell vonni az a helyen vett helyettesítési értékét. A számolás szempontjából ez a tétel a legfontosabb, hiszen ez mondja ki, hogy a határozott integrálás két lépésből áll. Elsőként keresünk egy primitív függvényt, ami tulajdonképpen határozatlan integrálást jelent. Ezután behelyettesítjük a primitív függvénybe az integrálási határokat, és vesszük a helyettesítési értékek különbségét.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat 0 1 x 3 d x =

Megoldás: A függvény folytonos az integrálási intervallumon, tehát létezik a keresett integrál. (A későbbiekben ezt nem fogjuk minden esetben megjegyezni.) Alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát. Ehhez először keresünk egy primitív függvényt.

x 3 d x = x 4 4 + c , tehát F ( x ) = x 4 4 megfelelő. Helyettesítsük ezt be.

0 1 x 3 d x = [ x 4 4 ] 0 1 = 1 4 4 0 4 4 = 1 4

Megjegyzés: A feladatok megoldását kétféle módon szokták leírni. Az egyikben külön végzik el a határozatlan integrálást, majd behelyettesítenek a Newton-Leibniz formulába, mint ahogyan ezt mi is tettük. Akkor célszerű így eljárni, ha a határozatlan integrálás nem egyszerű, hanem több lépésben is kell alakítani az integranduson. Ha a határozatlan integrálás egyszerű, mint ebben a feladatban is, akkor felesleges ezt külön leírni, ezt rögtön a határok feltüntetésével végezhetjük.
2. feladat 1 4 x x d x =

Megoldás: Írjuk fel az integrandust egyetlen hatványként, így rögtön meghatározhatunk egy primitív függvényt, melybe behelyettesíthetjük az integrálási határokat.

1 4 x x d x = 1 4 x 3 2 d x = [ x 5 2 5 2 ] 1 4 = [ 2 5 x 5 ] 1 4 = 2 5 4 5 2 5 1 5 = 2 5 ( 2 5 1 ) = 62 5
3. feladat 1 8 1 x 3 d x =

Megoldás: Járjunk el ugyanúgy, mint az előző feladatban, csak most reciprokot kell felírnunk hatványként.

1 8 1 x 3 d x = 1 8 x 1 3 d x = [ x 2 3 2 3 ] 1 8 = [ 3 2 x 2 3 ] 1 8 = 3 2 8 2 3 3 2 1 2 3 = 3 2 ( 4 1 ) = 9 2 = 4.5

Megjegyzés: Ha a primitív függvényben szerepel valamilyen konstans szorzó, mint jelen esetben 2 5 , akkor a behelyettesítés során ezt rögtön kiemelhetjük, nem kell külön kiírni mindkét alkalommal. A későbbiekben így fogunk eljárni a megoldások során.
4. feladat 2 4 5 2 x 3 d x =

Megoldás: Az integrandus most nem alakítható alapintegrállá, de felismerhető, hogy olyan összetett függvény, melynek belső függvénye lineáris. Ez még jobban látszik, ha a számlálóból az 5 -öt kiemeljük az integrál elé. A külső függvény a reciprok, azaz f ( x ) = 1 x , a belső pedig a g ( x ) = 2 x 3 . Alkalmazzuk a megfelelő integrálási módszert, tehát integráljuk a külső függvényt, megtartva a belsőt, és osszunk a belső függvényből x együtthatójával. A primitív függvény meghatározása után végezzük el a behelyettesítést.

2 4 5 2 x 3 d x = 5 2 4 1 2 x 3 d x = 5 [ ln | 2 x 3 | 2 ] 2 4 = 5 2 ( ln 5 ln 1 ) 5 2 ( 1.61 0 ) = 4.025
5. feladat 0 π 6 cos 3 x d x =

Megoldás: Az integrandus típusa ugyanolyan mint az előző feladatban, összetett függvény lineáris belső függvénnyel. A külső függvény az f ( x ) = cos x , a belső pedig g ( x ) = 3 x , s hajtsuk végre ugyanazokat a lépéseket, mint az előbb.

0 π 6 cos 3 x d x = [ sin 3 x 3 ] 0 π 6 = 1 3 ( sin π 2 sin 0 ) = 1 3 ( 1 0 ) = 1 3
6. feladat 0 π 4 sin 2 x cos 4 x d x =

Megoldás: Hajtsuk végre az integranduson a következő átalakításokat.

0 π 4 sin 2 x cos 4 x d x = 0 π 4 sin 2 x cos 2 x . cos 2 x d x = 0 π 4 sin 2 x cos 2 x . 1 cos 2 x d x = 0 π 4 tg 2 x . 1 cos 2 x d x =

Így már felismerhető, hogy a függvény f α ( x ) . f ( x ) típusú, hiszen ( tg x ) = 1 cos 2 x . Ezt felhasználva végezzük el a függvény integrálását, majd a behelyettesítést.

0 π 4 sin 2 x cos 4 x d x = 0 π 4 tg 2 x . ( tg x ) d x = [ tg 3 x 3 ] 0 π 4 = 1 3 ( tg 3 π 4 tg 3 0 ) = 1 3 ( 1 0 ) = 1 3
7. feladat 1 e ln x 3 x d x =

Megoldás: Írjuk a 3 -öt hatványként, s ismét f α ( x ) . f ( x ) típust ismerhetünk fel az integrandusban.

1 e ln x 3 x d x = 1 e ( ln x ) 1 3 . 1 x d x = 1 e ( ln x ) 1 3 . ( ln x ) d x =

Határozzuk meg a primitív függvényt, s helyettesítsünk be a Newton-Leibniz formulába.

1 e ln x 3 x d x = [ ( ln x ) 4 3 4 3 ] 1 e = 3 4 [ ( ln x ) 4 3 ] 1 e = 3 4 ( ( ln e ) 4 3 ( ln 1 ) 4 3 ) = 3 4 ( 1 0 ) = 3 4
8. feladat 0 1 5 x x 2 + 1 d x =

Megoldás: Emeljünk ki 5 2 -et az integrál elé, így a számlálóban 2 x marad, ami pontosan a nevező deriváltja, s így az integrandus típusa f ( x ) f ( x ) lesz.

0 1 5 x x 2 + 1 d x = 5 2 0 1 2 x x 2 + 1 d x = 5 2 0 1 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 d x =

Határozzuk meg a primitív függvényt, s utána helyettesítsünk be.

0 1 5 x x 2 + 1 d x = 5 2 [ ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 = 5 2 ( ln 2 ln 1 ) 1.73
9. feladat 0 1 x . e x d x =

Megoldás: Az integrandusban egy polinomot szorzunk az exponenciális függvénnyel, így a primitív függvény meghatározásához parciálisan kell integrálnunk. Most először határozatlanul integráljunk, s legyen f ( x ) = x valamint g ( x ) = e x a szereposztás.

Ekkor f ( x ) = ( x ) = 1 és g ( x ) = e x d x = e x .

Helyettesítsük be ezeket a parciális integrálás szabályába, s határozzuk meg a visszamaradó integrált is.

x . e x d x = x . e x 1 . e x d x = x . e x e x + c

Térjünk vissza a határozott integrálhoz, s helyettesítsük be a primitív függvényt, majd az integrálási határokat.

0 1 x . e x d x = [ x . e x e x ] 0 1 = ( 1 . e 1 e 1 ) ( 0 . e 0 e 0 ) = 1
10.feladat 1 2 x 3 . ln x d x =

Megoldás: Ismét olyan szorzatot kell integrálnunk, amelynél parciális integrálásra van szükség, célszerűbb most is külön leírni a határozatlan integrálást. A szereposztás most a következő, f ( x ) = ln x és g ( x ) = x 3 .

Ebből f ( x ) = ( ln x ) = 1 x és g ( x ) = x 3 d x = x 4 4 .

Írjuk be ezeket a parciális integrálás szabályába, a megmaradó integrálon belül egyszerűsítsünk, s végezzük el az integrálást.

x 3 . ln x d x = x 4 4 . ln x x 4 4 . 1 x d x = x 4 4 . ln x x 3 4 d x = x 4 4 . ln x x 4 16 + c

Végezzük el ezután a megfelelő behelyettesítéseket.

1 2 x 3 . ln x d x = [ x 4 4 . ln x x 4 16 ] 1 2 = ( 2 4 4 . ln 2 2 4 16 ) ( 1 4 4 . ln 1 1 4 16 ) = 4 . ln 2 1 + 1 16 1.84
11. feladat 0 5 x 3 x + 1 d x =

Megoldás: Az integrandus olyan tört, melynek nevezőjében egy elsőfokú kifejezés gyöke áll. A primitív függvény előállításához célszerű a gyökös kifejezés helyettesítésével próbálkoznunk. A határozatlan integrálást most is végezzük el külön.

Legyen t = 3 x + 1 , s fejezzük ki ebből x -et.

t 2 = 3 x + 1 3 x = t 2 1 x = t 2 1 3

Deriváljuk mindkét oldalt t szerint.

d x d t = 2 t 3 d x = 2 3 t d t

Végezzük el a helyettesítést az integrandusban, majd egyszerűsítsünk. Hajtsuk végre az integrálást, és helyettesítsük vissza az eredeti változót.

x 3 x + 1 d x = t 2 1 3 t 2 3 t d t = 2 9 ( t 2 1 ) d t = 2 9 ( t 3 3 t ) + c = 2 9 ( ( 3 x + 1 ) 3 3 3 x + 1 ) + c

Most térjünk vissza az eredeti feladathoz, írjuk be a primitív függvényt, s helyettesítsük be a határokat.

0 5 x 3 x + 1 d x = 2 9 [ ( 3 x + 1 ) 3 3 3 x + 1 ] 0 5 = 2 9 ( ( 16 3 3 16 ) ( 1 3 3 1 ) ) = 2 9 ( ( 64 3 4 ) ( 1 3 1 ) ) =

= 2 9 ( 63 3 3 ) = 2 9 . 18 = 4

Megjegyzés: Az olyan feladatokban, melyekben határozott integrál kiszámolásakor helyettesítéssel integrálunk, kétféle módon járhatunk el. Az egyik út az, melyen most jártunk, amikor a primitív függvénybe visszahelyettesítettük az eredeti változót, s így a Newton-Leibniz formulába az eredeti integrálási határokat kellett beírnunk.
A másik esetben nem helyettesítjük vissza az eredeti változót, de ekkor ki kell számolnunk, hogy a helyettesítéssel miként változnak meg az integrálási határok. A helyettesítést most a t = 3 x + 1 egyenlet írta le. Írjuk be itt x helyére először az alsó, majd a felső integrálási határt, s így megkapjuk az új integrálási határokat. (Ezeket jelölje t 1 , t 2 .)

t 1 = 3 . 0 + 1 = 1, t 2 = 3 . 5 + 1 = 4

Ezeket a határokat írjuk a Newton-Leibniz formulában a primitív függvény visszahelyettesítés előtti alakjába, amikor még t a változó.

0 5 x 3 x + 1 d x = 2 9 [ t 3 3 t ] 1 4 = 2 9 ( ( 4 3 3 4 ) ( 1 3 3 1 ) ) = 4

A számolást a végén már nem részleteztük, mert ugyanazokat a lépéseket kell elvégezni, mint a másik úton.
Természetesen mindegy melyik utat választjuk a kettő közül.Fontos azonban, hogy ha egy integrál meghatározása közben helyettesítenünk kell a változót, akkor általában megváltoznak az integrálási határok. A határok mindig csak egy bizonyos változóhoz tartoznak, ha új változóra térünk át, akkor a helyettesítést leíró egyenletből tudjuk kiszámolni az új határokat, amennyiben nem akarjuk visszahelyettesíteni az eredeti változót.
12. feladat 0 1 4 e x + 2 d x =

Megoldás: A primitív függvény meghatározásához most is helyettesítenünk kell, csak ebben az esetben az exponenciális függvény helyére hozunk be új változót.

t = e x x = ln t

Deriváljunk t szerint.

d x d t = 1 t d x = 1 t d t

A helyettesítést végezzük el most is csak a határozatlan integrálás során.

4 e x + 2 d x = 4 t + 2 1 t d t = 4 t . ( t + 2 ) d t =

Egy racionális törtfüggvényt kaptunk, s a nevezőt már nem is kell szorzattá bontanunk. Írjuk fel milyen alakú résztörtekre darabolható az integrandus, és hozzuk közös nevezőre a résztörteket.

4 t . ( t + 2 ) = A t + B t + 2 = A ( t + 2 ) + B t t . ( t + 2 ) = ( A + B ) t + 2 A t . ( t + 2 )

A számlálók egyenlőségéből írjuk fel az egyenletrendszert.

0 = A + B (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

4 = 2 A (a konstansok egyenlőségéből)

Ennek megoldása: A = 2, B = 2 , melyből a résztörtekre bontott alak a következő:

4 t . ( t + 2 ) = 2 t 2 t + 2

Írjuk be ezt az integrandusba.

4 e x + 2 d x = ( 2 t 2 t + 2 ) d t = 2 ( ln | t | ln | t + 2 | ) + c = 2 ( ln ( e x ) ln ( e x + 2 ) ) + c = 2 ( x ln ( e x + 2 ) ) + c

Térjünk vissza a határozott integrálhoz.

0 1 4 e x + 2 d x = 2 [ x ln ( e x + 2 ) ] 0 1 = 2 ( ( 1 ln ( e 1 + 2 ) ) ( 0 ln ( e 0 + 2 ) ) ) = 2 ( 1 ln ( e + 2 ) + ln 3 ) 1.09

Megjegyzés: Ha nem akarunk visszatérni az eredeti változóra, akkor a következő új határokat kapjuk:

t 1 = e 0 = 1, t 2 = e 1 = e .

Ezeket a primitív függvény visszahelyettesítés előtti alakjába kell beírnunk.

0 1 4 e x + 2 d x = 2 [ ln t ln ( t + 2 ) ] 1 e = 2 ( ( ln e ln ( e + 2 ) ) ( ln 1 ln ( 1 + 2 ) ) ) = 2 ( 1 ln ( e + 2 ) + ln 3 )

Az eredmény természetesen azonos az előzővel.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: 0 π sin x d x =
 
0
 
1
 
2
 
π
 

2. kérdés: 0 4 2 x + 1 d x =
 
26 3
 
13
 
52 3
 
104 3
 

3. kérdés: 0 1 e 3 x d x =
 
e 3 1 3
 
e 3 1
 
e 3 + 1 3
 
e 3 + 1
 

4. kérdés: 1 1 x 2 x 3 + 2 d x =
 
ln 3 6
 
ln 3 3
 
ln 3
 
2 ln 3
 

5. kérdés:   0 π 2 cos 3 x . sin x d x =
 
1
 
1 2
 
1 4
 
0
 

6. kérdés: π 2 π 2 x . sin x d x =
 
π 2
 
π
 
1
 
2
 

7. kérdés: 1 8 e x 3 x 2 3 d x =
 
e 2 e 3
 
e 2 e
 
3 ( e 2 e )
 
6 ( e 2 e )
 

8. kérdés: 0 ln 3 e x e 2 x + 1 d x =
 
π 12
 
π 6
 
π 4
 
π 3