//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 2. Sorozatok és sorok

2.4. Számsorozatok határértékének meghatározása 2.

Tanulási cél: Módszer megismerése a típusú sorozatok egyik fajtája esetén a határérték meghatározására.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 3.

Elméleti összefoglaló:
Ha egy sorozatot két másik sorozat különbségeként állítunk elő, és mindkét sorozat határértéke végtelen, akkor a különbségként kapott sorozat határértékéről semmit nem tudunk mondani, azaz a típusú határérték kritikus típusú.

Középiskolából ismert a négyzetgyökös kifejezések különbségének gyöktelenítése, akár számlálóban, akár nevezőben. Ilyenkor a négyzetgyökös kifejezések összegével bővítünk. Pl.

a b = ( a b ) ( a + b ) a + b = a b a + b

Mint látható, a számlálóban nincsenek már gyökök, ha a , b ismertek, a kivonás elvégezhető.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat Mi a határértéke az a n = n + 5 n sorozatnak?

Megoldás:
Mindkét négyzetgyökös kifejezés tart végtelenhez, így a sorozat típusa .
Szorozzunk és osszunk is, azaz bővítsünk a gyökös kifejezések összegével, majd végezzük el a számlálóban a kivonást.

lim n ( n + 5 n ) = lim n ( n + 5 n ) ( n + 5 + n ) n + 5 + n

lim n n + 5 n n + 5 + n = lim n 5 n + 5 + n = 0

A határérték így már nem volt kritikus, hiszen a számláló egy véges érték (5), a nevezőben pedig mindkét tag a végtelenhez tart, így összegük is végtelenhez tart. (Két nagyon nagy összege is nagyon nagy.) Ilyen módon végest osztunk végtelenhez tartóval, ami 0-hoz tart. (Kicsi osztva nagyon naggyal, eredményül nagyon kicsit ad.)
2. feladat lim n ( 3 n + 10 2 n + 6 ) = ?

Megoldás:
Vizsgáljuk, mint mindig, a határérték típusát. Mindkét négyzetgyökös kifejezés tart végtelenbe, tehát -t kapunk. Hajtsuk végre az előzőek szerinti bővítést. (Vigyázat, "hosszú" gyök egyben zárójel is!)

lim n ( 3 n + 10 2 n + 6 ) ( 3 n + 10 + 2 n + 6 ) 3 n + 10 + 2 n + 6 = lim n ( 3 n + 10 ) ( 2 n + 6 ) 3 n + 10 + 2 n + 6

Végezzük el a számlálóban a kivonást.

lim n n + 4 3 n + 10 + 2 n + 6

Sajnos most a bővítés után még nem egyértelmű a határérték, hiszen a számláló végtelenhez tart, s a nevező is, mert ott két végtelenhez tartó összege van. Ilyen feladatokkal foglalkoztunk az előző leckében. Egyszerűsíteni kellene, de előtte a nevezőben célszerű kiemelni n -et.

lim n n + 4 n ( 3 + 10 n + 2 + 6 n )

Egyszerűsítsünk n -nel.

lim n n n + 4 n 3 + 10 n + 2 + 6 n = lim n n + 4 n 3 + 10 n + 2 + 6 n =

Az egyszerűsítés után már nem volt gond, a számláló tart végtelenhez, mert első tagja ( n ) tart végtelenbe, míg második része 0-hoz. A nevező első tagja tart 3 -hoz, második tagja pedig 2 -höz, így összegük egy nem 0 véges értékhez. Összességében tehát végtelenhez tartót osztunk véges értékkel (pozitív), így végtelent kapunk.
3. feladat lim n ( 4 n 2 + 9 n 4 n 2 1 ) = ?

Megoldás:
A típus , ezért bővítünk. Ennek leírását már rövidítjük, a számlálóban egyből a gyökök alatti kifejezések különbségét írjuk, majd elvégezzük utána a kivonást is.

lim n ( 4 n 2 + 9 n ) ( 4 n 2 1 ) 4 n 2 + 9 n + 4 n 2 1 = lim n 9 n + 1 4 n 2 + 9 n + 4 n 2 1

Mint az előző feladatban, most is típusú határértéket kaptunk. Az egyszerűsítés előtt, itt is célszerű kiemelni. Mivel a nevezőben a gyökök alatt most n 2 is előfordul, ezért n 2 = n -et ( n > 0 mert természetes szám) célszerű kiemelni. (A kiemelés során az a cél, hogy a gyökök alatt véges, nem 0 értékekhez tartó kifejezések maradjanak.)

lim n 9 n + 1 n ( 4 + 9 n + 4 1 n 2 )

Egyszerűsítsünk n -nel.

lim n 9 + 1 n 4 + 9 n + 4 1 n 2 = 9 4 + 4 = 9 4

A határérték így már egyértelmű lett, hiszen 1 n , 9 n , 1 n 2 mindegyike 0-hoz tart, a többi rész pedig konstans.
4. feladat lim n ( 5 n 2 + 2 n 3 n 2 1 ) = ?

Megoldás: A sorozat típusú, ezért a szokásos módon bővítünk a gyökös kifejezések összegével, majd a kapott tört számlálójában elvégezzük a kivonást.

lim n ( 5 n 2 + 2 n ) ( 3 n 2 1 ) 5 n 2 + 2 n + 3 n 2 1 = lim n 2 n 2 + 2 n + 1 5 n 2 + 2 n + 3 n 2 1

Emeljünk ki a számlálóban és a nevezőben is n -et, majd egyszerűsítsük a törtet.

lim n n ( 2 n + 2 + 1 n ) n ( 5 + 2 n + 3 1 n 2 ) = lim n 2 n + 2 + 1 n 5 + 2 n + 3 1 n 2 =

A számláló végtelenhez tart a 2 n miatt, a nevező pedig 5 + 3 -hoz, ami pozitív, véges érték. Ezzel osztva egy végtelenhez tartót, végtelent kapunk.
5. feladat lim n ( n n ) = ?

Megoldás:
A különbség természetesen most is típusú. Az eddigiekhez képest csak az furcsa, hogy csupán egy gyök van. Bővíteni azonban ekkor is lehet a két kifejezés összegével, tehát n + n -nel.

lim n n 2 n n + n

Most kiemelés nélkül is jól követhető az egyszerűsítés, így rögtön osszuk a számlálót és a nevezőt n -nel.

lim n n 1 1 n n = lim n n 1 1 1 n =

A számláló ezután nyilvánvalóan végtelenhez tart, a nevező pedig 1-hez, maga a tört pedig végtelenhez.
6. feladat lim n 1 n 2 + 5 n n 2 + 1 = ?

Megoldás:
A feladat csak annyiban más, mint az előzőek, hogy most a tört nevezőjében van egy típusú kifejezés, ezért most nem a számlálót gyöktelenítjük, hanem a nevezőt, de ez a bővítést nem befolyásolja.

lim n n 2 + 5 n + n 2 + 1 ( n 2 + 5 n ) ( n 2 + 1 ) = lim n n 2 + 5 n + n 2 + 1 5 n 1

Most a nevezőben tudtuk elvégezni a kivonást, s ezután kaptunk típusú határértéket.

Emeljünk ki a számlálóban n -et majd egyszerűsítsünk is vele.

lim n n ( 1 + 5 n + 1 + 1 n 2 ) 5 n 1 = lim n 1 + 5 n + 1 + 1 n 2 5 1 n = 1 + 1 5 = 2 5

Mint az előzőekben, most is egyértelművé vált a határérték, hiszen a kifejezésben szereplő tagok 0-hoz tartanak, vagy konstansok.
7. feladat lim n 3 n + 7 4 n 2 + 6 n 2 n = ?

Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan, most is a nevezőben van egy típusú kifejezés, s bár ez nem két gyökös kifejezés különbsége, gyökteleníteni most is lehet.

lim n ( 3 n + 7 ) ( 4 n 2 + 6 n + 2 n ) ( 4 n 2 + 6 n ) 4 n 2 = lim n ( 3 n + 7 ) ( 4 n 2 + 6 n + 2 n ) 6 n

Egyszerűsítsünk n -nel.

lim n ( 3 + 7 n ) ( 4 n 2 + 6 n + 2 n ) 6 =

A számlálóban az első tényező határértéke 3 , a másodiké pedig végtelen, ezért a szorzat is végtelenbe tart. Ezt egy pozitív, végessel osztjuk, ezért végtelent kapunk.

Megjegyzés: Ebben a feladatban a gyöktelenítés elkerülhető. Emeljünk ki a számlálóból és a nevezőből is rögtön n -et, majd egyszerűsítsünk.

lim n n ( 3 + 7 n ) n ( 4 + 6 n 2 ) = lim n 3 + 7 n 4 + 6 n 2

A számláló most 3 -hoz tart, a nevező pedig 0 -hoz. Mivel 4 + 6 n > 2 , ezért a nevező pozitív, így a határérték végtelen lesz. (Ha nagyon kicsivel osztunk egy nem nagyon kicsit, akkor az eredmény nagyon nagy lesz.)

Ez a megoldás egyszerűbbnek tűnik, mint az előző, de bizonyos szempontból veszélyesebb. Ha ugyanis a nevező nullához tart, akkor nagyon fontos, hogy ezt hogyan teszi, pozitívan vagy negatívan. Ha ugyanis most a nevező negatív lett volna, akkor a végtelen helyett mínusz végtelen lenne a határérték, ha pedig hol pozitív hol negatív lenne, akkor egyáltalán nem lenne határérték. Ha tehát a nevező nullához tart, akkor nagyon fontos a nevező előjelének vizsgálata, s a határértéket csak ezután lehet megmondani.

Ellenőrző kérdések:

1.kérdés: lim n ( 2 n + 7 n + 1 ) = ?
 
0
 
2
 
6
 
végtelen
 
mínusz végtelen
 

2. kérdés: lim n ( 3 n + 5 3 n 1 ) = ?
 
0
 
3
 
6
 
végtelen
 
mínusz végtelen
 

3.kérdés: lim n ( 5 n 2 + 8 5 n 2 + 2 ) = ?
 
0
 
5
 
8
 
végtelen
 
mínusz végtelen
 

4. kérdés: lim n ( 4 n 2 + 7 n 5 n 2 3 ) = ?
 
0
 
1
 
-1
 
végtelen
 
mínusz végtelen
 

5. kérdés: lim n ( n 2 + 8 n 2 + 2 n ) = ?
 
0
 
1
 
-1
 
végtelen
 
mínusz végtelen
 

6.kérdés: lim n 2 n + 3 4 n 2 1 n 2 + 5 n = ?
 
0
 
1
 
2
 
5
 
végtelen
 

7. kérdés: lim n 5 n 2 3 n 9 n 2 + 4 n = ?
 
5 6
 
1 3
 
5 2
 
végtelen
 
mínusz végtelen