//


KURZUS: Matematika (Analízis)
MODUL: 4. Integrálszámítás

4.11. Improprius integrálok

Tanulási cél: Az improprius integrálok fogalmának megismerése, kiszámítási módjának elsajátítása.

Tananyag:
Tankönyv: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1.
Fejezet: 8.7.

Elméleti összefoglaló:
1. Ha az integrálási intervallum nem korlátos:
Ha az f ( x ) értelmezett az [ a , ) intervallumon, és integrálható minden b > a esetben az [ a , b ] intervallumon, valamint létezik a lim b a b f ( x ) d x határérték, akkor ezt a határértéket az f ( x ) függvény [ a , ) intervallumra vett improprius integráljának nevezzük.

Jelölésben: a f ( x ) d x = lim b a b f ( x ) d x

Szemléletesen az f ( x ) függvény grafikonja és az x -tengely közötti előjeles területet adja meg az [ a , ) intervallumon.



Bár olyan síkidom előjeles területéről van szó, mely az egyik irányban nem véges, ha létezik a határérték, akkor létezik az előjeles terület is.

Hasonlóképpen járunk el, ha ( , b ] intervallumon kell integrálnunk.

Ekkor: b f ( x ) d x = lim a a b f ( x ) d x .



Ha pedig ( , ) az integrálási intervallum, akkor:

f ( x ) d x = lim a b a b f ( x ) d x .



2. Ha a függvény az integrálási intervallumon nem korlátos:
Legyen az f ( x ) függvény értelmezett az ( a , b ] intervallumon és az x = a hely jobboldali környezetében nem korlátos. Ha a függvény integrálható minden [ a + ε , b ] intervallumon és létezik a lim ε 0 a + ε b f ( x ) d x határérték, akkor ezt a határértéket az f ( x ) függvény ( a , b ] intervallumon vett improprius integráljának nevezzük. ( ε > 0 )

Jelölésben: a b f ( x ) d x = lim ε 0 a + ε b f ( x ) d x

Szemléletesen most olyan síkidom előjeles területéről van szó, mely az y -tengely irányában nem véges.



Hasonlóan járunk el, ha a függvény az x = b hely baloldali környezetében nem korlátos.

Ekkor: a b f ( x ) d x = lim δ 0 a b δ f ( x ) d x . ( δ > 0 )



Ha a függvény nem korlátos sem az x = a hely jobboldali, sem az x = b hely baloldali környezetében, akkor:

a b f ( x ) d x = lim ε 0 δ 0 a + ε b δ f ( x ) d x .



Ha a függvény egy, az intervallum belsejében levő x = c hely környezetében nem korlátos, akkor:

a b f ( x ) d x = a c f ( x ) d x + c b f ( x ) d x = lim δ 0 a c δ f ( x ) d x + lim ε 0 c + ε b f ( x ) d .



Mint az eddigiekből látható, az improprius integrálokat határérték kiszámításával kapjuk meg. Ha nincsen véges határérték, akkor azt mondjuk, az improprius integrál divergens.

Felhívjuk a figyelmet arra, ha a függvény nem korlátos az integrálási intervallumon, akkor ez magának az integrál felírásának alakjából, nem egyértelmű. Csak ha megvizsgáljuk, milyen értékeket vesz fel a függvény, akkor derül ki, hogy improprius integrállal állunk szemben. Ha határozott integrál kiszámítása a feladat, akkor először mindig a függvény korlátosságát kell vizsgálnunk az integrálási intervallumon. Nagyon sok esetben azért improprius egy integrál, mert valamilyen tört az integrandus, és nevezőnek zérushelye van az integrálási intervallum belsejében vagy határán. Törtek integrálásakor tehát mindig vizsgáljuk meg, hol van a nevezőnek zérushelye.
Kidolgozott feladatok:

1. feladat 1 1 x . x d x =

Megoldás: Az integrál improprius, hiszen a felső integrálási határ , tehát határértéket kell vennünk.

1 1 x . x d x = lim b 1 b 1 x . x d x

Az ilyen esetekben célszerű külön elvégezni a határozatlan integrálást, hogy az integrandus átalakításai közben ne kelljen mindig írnunk a határértéket is. Járjunk el most is így, és az integrandusban a gyököt írjuk hatványként. Ezután alakítsuk az egész függvényt egyetlen hatvánnyá, és végezzük el az integrálást. Az eredményt ilyenkor érdemes gyökös alakban megadni.

1 x . x d x = 1 x . x 1 2 d x = 1 x 3 2 d x = x 3 2 d x = x 1 2 1 2 + c = 2 1 x 1 2 + c = 2 x + c

A primitív függvénnyel térjünk vissza az eredeti integrálhoz, s helyettesítsünk be a Newton-Leibniz formulába.

1 1 x . x d x = lim b [ 2 x ] 1 b = lim b ( 2 b 2 1 ) = lim b ( 2 2 b ) =

Még a hatérérték meghatározása van hátra. A zárójelben egy függvény áll, melynek b a változója, s ennek a függvénynek keressük a határértékét b esetén. (Ha valakit zavar, hogy most nem x a változó, akkor cserélje ki b -t x -re, s így a lim x ( 2 2 x ) határértéket kapja.)

Mivel lim b b = + , ezért lim b 2 b = 0 lim b ( 2 2 b ) = 2 , s ez egyben a végeredmény is,

azaz 1 1 x . x d x = 2 .
2. feladat 4 1 x d x =

Megoldás: Az integrálás felső határa , megint határértéket kell felírnunk.

4 1 x d x = lim b 4 b 1 x d x =

A határozatlan integrálást végezzük el külön, mint az előző feladatban.

1 x d x = x 1 2 d x = x 1 2 1 2 + c = 2 x + c

A primitív függvény ismeretében helyettesítsük be a határokat, s határozzuk meg a határértéket.

4 1 x d x = lim b [ 2 x ] 4 b = lim b ( 2 b 2 4 ) = lim b ( 2 b 4 ) = 4 =

Mivel most nem kaptunk véges határértéket, így az integrál divergens.
3. feladat 0 e 2 x d x =

Megoldás: Most az alsó integrálási határ nem véges, ezért írunk fel határértéket.

0 e 2 x d x = lim a a 0 e 2 x d x

A határozatlan integrálásnál ne feledkezzünk meg a lineáris belső függvényről, hiszen a kitevőben nem x , hanem 2 x áll.

e 2 x d x = e 2 x 2 + c

Folytassuk az eredeti integrál meghatározását.

0 e 2 x d x = lim a [ e 2 x 2 ] a 0 = lim a ( e 2 . 0 2 e 2 . a 2 ) = lim a ( 1 2 e 2 . a 2 ) = 1 2 0 = 1 2

(Itt felhasználtuk, hogy lim a e 2 . a = 0 , hiszen lim a 2 . a = , valamint lim x e x = 0 .)
4. feladat 1 1 3 x 2 3 d x =

Megoldás: Mivel az alsó integrálási határ ,ezért a következő határértéket kell felírnunk.

1 1 3 x 2 3 d x = lim a a 1 1 3 x 2 3 d x

Most is hajtsuk végre külön a határozatlan integrálást, s ehhez az integrandust írjuk hatványként. A lineáris belső függvényről itt sem szabad megfeledkezni.

1 3 x 2 3 d x = ( 3 x 2 ) 1 3 d x = ( 3 x 2 ) 2 3 2 3 . 3 + c = 1 2 ( 3 x 2 ) 2 3 + c

Folytassuk ezután az improprius integrál kiszámítását.

1 1 3 x 2 3 d x = lim a [ 1 2 ( 3 x 2 ) 2 3 ] a 1 = lim a ( 1 2 ( 3 . 1 2 ) 2 3 1 2 ( 3 . a 2 ) 2 3 ) =

lim a ( 1 2 1 2 ( 3 . a 2 ) 2 3 ) = 1 2 =

(Felhasználtuk, hogy lim a ( 3 . a 2 ) = lim a ( 3 . a 2 ) 2 = lim a ( 3 . a 2 ) 2 3 = .)

Nincs véges határérték, azaz az integrál divergens.
5. feladat 1 x 2 + 6 x + 10 d x =

Megoldás: Egyik határ sem véges, ezért kettős határértéket kell vennünk.

1 x 2 + 6 x + 10 d x = lim a b a b 1 x 2 + 6 x + 10 d x

A határozatlan integráláshoz hajtsunk végre a nevezőben teljes négyzetté alakítást.

1 x 2 + 6 x + 10 d x = 1 ( x + 3 ) 2 + 1 d x = arctg ( x + 3 ) + c

Térjünk vissza az improprius integrálhoz.

1 x 2 + 6 x + 10 d x = lim a b [ arctg ( x + 3 ) ] a b = lim a b ( arctg ( b + 3 ) arctg ( a + 3 ) ) =

= lim b arctg ( b + 3 ) lim a arctg ( a + 3 ) = π 2 ( π 2 ) = π

(Itt azt használtuk fel, hogy lim x arctg x = π 2 , valamint lim x arctg x = π 2 .)
6. feladat 1 x 2 + 4 d x =

Megoldás: Ismét kettős határértéket kell felírnunk, mert az integrálási intervallum egyik irányban sem véges.

1 x 2 + 4 d x = lim a b a b 1 x 2 + 4 d x

A primitív függvény meghatározásához emeljünk ki az integrál elé 1 2 -et, s így a nevezőben a gyök alatt 4 -gyel kell osztanunk. Ezután az x 2 4 -et írjuk ( x 2 ) 2 alakban.

1 x 2 + 4 d x = 1 2 1 x 2 4 + 1 d x = 1 2 1 ( x 2 ) 2 + 1 d x = 1 2 . arsh x 2 1 2 + c = arsh x 2 + c

Folytathatjuk az eredeti feladatot.

1 x 2 + 4 d x = lim a b [ arsh x 2 ] a b = lim a b ( arsh b 2 arsh a 2 ) = lim b arsh b 2 lim a arsh a 2 =

= ( ) =

(Itt arra hivatkoztunk, hogy lim x arsh x = , valamint lim x arsh x = .)

Nem kaptunk véges határértéket, azaz az integrál divergens.
7. feladat 3 6 1 x 2 9 d x =

Megoldás: A határok végesek, de az integrandus nincsen értelmezve az x = 3 helyen, és ezen hely jobboldali környezetében nem korlátos. Az integrál tehát improprius, s a következő határértékkel számolható ki.

3 6 1 x 2 9 d x = lim ε 0 3 + ε 6 1 x 2 9 d x

A határozatlan integrálásnál járjunk el úgy, mint az előző feladatban, csak most 1 3 -ot emelünk ki, s a keletkező x 2 9 helyére írunk ( x 3 ) 2 -t.

1 x 2 9 d x = 1 3 1 x 2 9 1 d x = 1 3 1 ( x 3 ) 2 1 d x = 1 3 . arch x 3 1 3 + c = arch x 3 + c

Miután már ismerjük a primitív függvényt, behelyettesíthetjük a határokat, s a határérték is meghatározható.

3 6 1 x 2 9 d x = lim ε 0 [ arch x 3 ] 3 + ε 6 = lim ε 0 ( arch 6 3 arch 3 + ε 3 ) = arch 2 lim ε 0 arch ( 1 + ε 3 ) =

= arch 2 0 = arch 2 1.32

(Most a lim x 1 arch x = 0 határértékre hivatkoztunk, mert lim ε 0 ( 1 + ε 3 ) = 1 .)
8. feladat 0 1 1 x 2 . x d x =

Megoldás: Az integrandus nincs értelmezve az x = 0 helyen, s ezen hely jobboldali környezetében nem korlátos. Az integrál így határértékkel számolható ki.

0 1 1 x 2 . x d x = lim ε 0 0 + ε 1 1 x 2 . x d x = lim ε 0 ε 1 1 x 2 . x d x

Írjuk az integrandust hatványként.

1 x 2 . x d x = x 5 2 d x = x 3 2 3 2 + c = 2 3 . 1 x . x + c

Helyettesítsük be a határokat, s határozzuk meg a határértéket.

0 1 1 x 2 . x d x = lim ε 0 [ 2 3 . 1 x . x ] ε 1 = lim ε 0 ( 2 3 . 1 1 . 1 ( 2 3 . 1 ε . ε ) ) = 2 3 + 2 3 lim ε 0 1 ε . ε = 2 3 + =

(Itt lim ε 0 1 ε . ε = , hiszen a tört nevezője pozitívan tart 0 -hoz.)

Az integrál tehát divergens, hiszen nincs véges határérték.
9. feladat 1 e 1 1 x . ln x 3 d x =

Megoldás: Az integrál azért improprius, mert ln 1 = 0 , s így az x = 1 helyen nincs értelmezve a függvény, s ezen hely baloldali környezetében nem korlátos. Az integrál meghatározásához a következő határértéket kell felírnunk.

1 e 1 1 x . ln x 3 d x = lim δ 0 1 e 1 δ 1 x . ln x 3 d x

A határozatlan integráláshoz az 1 3 -öt írjuk hatványként, mert így f α ( x ) . f ( x ) típusú lesz az integrandus.

1 x . ln x 3 d x = ( ln x ) 1 3 . 1 x d x = ( ln x ) 1 3 . ( ln x ) d x = ( ln x ) 2 3 2 3 + c = 3 2 ln 2 x 3 + c

Helyettesítsünk a Newton-Leibniz formulába, és határozzuk meg a limeszt.

1 e 1 1 x . ln x 3 d x = lim δ 0 [ 3 2 ln 2 x 3 ] 1 e 1 δ = lim δ 0 ( 3 2 ln 2 ( 1 δ ) 3 3 2 ln 2 1 e 3 ) = 3 2 lim δ 0 ln 2 ( 1 δ ) 3 3 2 ( 1 ) 2 3 =

= 3 2 lim δ 0 ln 2 ( 1 δ ) 3 3 2 = 3 2 . 0 3 2 = 3 2

(Mivel lim δ 0 ln ( 1 δ ) = 0 , ezért négyzete, majd a négyzet köbgyöke is tart zérushoz.)
10. feladat 0 2 x x 2 4 d x =

Megoldás: A függvény nincs értelmezve az x = 2 helyen, és ezen hely baloldali környezetében nem korlátos, ezért

0 2 x x 2 4 d x = lim δ 0 0 2 δ x x 2 4 d x .

A határozatlan integráláshoz a számlálóba írjunk egy 2 -es szorzót, s az integrál elé pedig 1 2 -et, mert így f ( x ) f ( x ) típusú lesz az integrandus.

x x 2 4 d x = 1 2 2 x x 2 4 d x = 1 2 ( x 2 4 ) x 2 4 d x = 1 2 ln | x 2 4 | + c

Végezzük el az integrálási határok behelyettesítését, s számoljuk ki a határértéket.

0 2 x x 2 4 d x = lim δ 0 [ 1 2 ln | x 2 4 | ] 0 2 δ = lim δ 0 ( 1 2 ln | ( 2 δ ) 2 4 | 1 2 ln | 0 2 4 | ) =

= 1 2 lim δ 0 ln | 4 2 δ + δ 2 4 | 1 2 ln 4 = 1 2 lim δ 0 ln | δ 2 2 δ | 1 2 ln 4 = 1 2 ( ) 1 2 ln 4 =

(Mert lim δ 0 ( δ 2 2 δ ) = 0 , és lim x 0 ln x = , ezért lim δ 0 ln | δ 2 2 δ | = .)

Mivel nem kaptunk véges határértéket, ezért az integrál divergens.
11. feladat 4 4 1 16 x 2 d x =

Megoldás: Az integrandus egyik integrálási határnál sincs értelmezve, s ezek megfelelő környezetében nem is korlátos. Ezért kénytelenek vagyunk kettős határértéket venni.

4 4 1 16 x 2 d x = lim ε 0 δ 0 4 + ε 4 δ 1 16 x 2 d x

A primitív függvény meghatározásához, emeljünk ki az integrál elé 1 4 -et, majd az x 2 16 -ot írjuk a gyök alatt inkább ( x 4 ) 2 alakban.

1 16 x 2 d x = 1 4 1 1 x 2 16 d x = 1 4 1 1 ( x 4 ) 2 d x = 1 4 . arcsin x 4 1 4 + c = arcsin x 4 + c

Végezzük el a határok behelyettesítését, határozzuk meg a limeszeket.

4 4 1 16 x 2 d x = lim ε 0 δ 0 [ arcsin x 4 ] 4 + ε 4 δ = lim ε 0 δ 0 ( arcsin 4 δ 4 arcsin 4 + ε 4 ) =

= lim δ 0 arcsin 4 δ 4 lim ε 0 arcsin 4 + ε 4 = π 2 ( π 2 ) = π

(Mivel lim δ 0 4 δ 4 = 1 , és lim x 1 arcsin x = π 2 , ezért lim δ 0 arcsin 4 δ 4 = π 2 . Ugyanígy lim ε 0 4 + ε 4 = 1 , és lim x 1 arcsin x = π 2 , ezért lim ε 0 arcsin 4 + ε 4 = π 2 .)
12. feladat 1 3 1 x 2 4 x + 3 d x =

Megoldás: Határozzuk meg a nevező gyökeit, hogy lássuk van-e zérushelye az integrálási intervallumban, mert a nevező zérushelyeinek környezetében a tört nem korlátos.

x 1,2 = 4 + ( 4 ) 2 4 . 1 . 3 2 = { 1 3

A gyökökből látható, hogy amint az előző feladatban, most sincs értelmezve az integrandus egyik határnál sem, s ezek megfelelő környezetében nem is korlátos, ezért ismét kettős limeszt kell felírnunk.

1 3 1 x 2 4 x + 3 d x = lim ε 0 δ 0 1 + ε 3 δ 1 x 2 4 x + 3 d x

Az integrandus jelen esetben egy racionális tört, ha lehet, fel kell bontani résztörtekre. Ehhez írjuk fel a nevező gyöktényezős alakját. A gyököket már korábban meghatároztuk

x 2 4 x + 3 = ( x 1 ) ( x 3 )

Írjuk fel a megfelelő alakú résztörteket, és hozzunk közös nevezőre.

1 x 2 4 x + 3 = A x 1 + B x 3 = A ( x 3 ) + B ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 3 ) = ( A + B ) x + ( 3 A B ) ( x 1 ) ( x 3 )

A számlálók egyenlőségéből írjuk fel az egyenletrendszert.

0 = A + B (az elsőfokú tagok egyenlőségéből)

1 = 3 A B (a konstansok egyenlőségéből)

Ennek megoldása: A = 1 2 , B = 1 2 1 x 2 4 x + 3 = 1 2 x 1 + 1 2 x 3 = 1 2 ( 1 x 3 1 x 1 ) .

Írjuk be a határozatlan integrálba a függvény résztörtekre bontott alakját, s integráljunk.

1 x 2 4 x + 3 d x = 1 2 ( 1 x 3 1 x 1 ) d x = 1 2 ( ln | x 3 | ln | x 1 | ) + c = 1 2 ln | x 3 x 1 | + c

Helyettesítsük be az integrálási határokat, s számítsuk ki a határértékeket.

1 3 1 x 2 4 x + 3 d x = lim ε 0 δ 0 [ 1 2 ln | x 3 x 1 | ] 1 + ε 3 δ = lim ε 0 δ 0 ( 1 2 ln | 3 δ 3 3 δ 1 | 1 2 ln | 1 + ε 3 1 + ε 1 | ) =

= 1 2 lim δ 0 ln | δ 2 δ | 1 2 lim ε 0 ln | ε 2 ε | = 1 2 ( ) 1 2 =

(Itt lim δ 0 δ 2 δ = 0 , és lim x 0 ln x = miatt lim δ 0 ln | δ 2 δ | = , valamint lim ε 0 ε 2 ε = , és lim x ln x = miatt lim ε 0 ln | ε 2 ε | = .)

Az integrál divergens, mert nincs véges határérték.
13. feladat 1 8 1 x 3 d x =

Megoldás: Az integrandus nincsen értelmezve az x = 0 helyen, s ezen hely környezetében nem is korlátos. Mivel ez a hely az integrálási intervallum belsejében van, ezért két részletben kell integrálnunk. Először 1 -től 0 -ig, majd 0 -tól 8 -ig. Ezek az integrálok külön-külön is impropriusok, így mindegyik esetén limeszt kell venni.

1 8 1 x 3 d x = 1 0 1 x 3 d x + 0 8 1 x 3 d x = lim δ 0 1 δ 1 x 3 d x + lim ε 0 ε 8 1 x 3 d x

Írjuk az integrandust hatványként, s végezzük el a határozatlan integrálást.

1 x 3 d x = x 1 3 d x = x 2 3 2 3 + c = 3 2 x 2 3 + c

Helyettesítsünk a Newton-Leibniz formulába, s határozzuk meg a határértékeket.

1 8 1 x 3 d x = lim δ 0 [ 3 2 x 2 3 ] 1 δ + lim ε 0 [ 3 2 x 2 3 ] ε 8 = 3 2 lim δ 0 ( ( δ ) 2 3 ( 1 ) 2 3 ) + 3 2 lim ε 0 ( 8 2 3 ε 2 3 ) =

= 3 2 ( 0 1 ) + 3 2 ( 4 0 ) = 9 2

(Itt lim δ 0 ( δ ) 2 3 = lim ε 0 ε 2 3 = 0 teljesen nyilvánvaló.)
14. feladat π 2 3 π 2 cos x sin 2 x d x =

Megoldás: Az integrálandó függvény nincs értelmezve az x = π helyen, s e hely környezetében nem korlátos. Ismét két részletben kell integrálni, s mindegyik esetben határértéket kell venni.

π 2 3 π 2 cos x sin 2 x d x = π 2 π cos x sin 2 x d x + π 3 π 2 cos x sin 2 x d x = lim δ 0 π 2 π δ cos x sin 2 x d x + lim ε 0 π + ε 3 π 2 cos x sin 2 x d x =

A határozatlan integráláshoz írjuk az integrandust szorzatként úgy, hogy az egyik tényező sin x hatványa, a másik pedig cos x , mert így f α ( x ) . f ( x ) típusú lesz.

cos x sin 2 x d x = ( sin x ) 2 . cos x d x = ( sin x ) 2 . ( sin x ) d x = ( sin x ) 1 1 + c = 1 sin x + c

A szokásos módon helyettesítsük a határokat, és számoljuk ki a limeszeket.

π 2 3 π 2 cos x sin 2 x d x = lim δ 0 [ 1 sin x ] π 2 π δ + lim ε 0 [ 1 sin x ] π + ε 3 π 2 =

= lim δ 0 ( 1 sin ( π δ ) 1 sin π 2 ) + lim ε 0 ( 1 sin 3 π 2 1 sin ( π + ε ) ) =

= lim δ 0 ( 1 sin ( π δ ) + 1 ) + lim ε 0 ( 1 + 1 sin ( π + ε ) ) = ( + 1 ) + ( 1 ) =

(Itt lim δ 0 1 sin ( π δ ) = , mert a nevező pozitívan tart zérushoz, és lim ε 0 1 sin ( π + ε ) = , mivel a nevező ekkor negatívan tart zérushoz.)

Nem kaptunk véges értéket, tehát az improprius integrál divergens.

Ellenőrző kérdések:

1. kérdés: 3 1 5 x 1 d x =
 
3 5
 
6 5
 
6
 
az integrál divergens
 

2. kérdés:   0 e 5 x d x =
 
1 5
 
1
 
5
 
az integrál divergens
 

3. kérdés: 1 1 x 4 d x =
 
1 4
 
1 3
 
1
 
az integrál divergens
 

4. kérdés: 1 x x 2 + 7 d x =
 
1 2 ln 8
 
ln 8
 
2 ln 8
 
az integrál divergens
 

5. kérdés: 1 4 x 2 + 12 x + 10 d x =
 
π 4
 
π 2
 
π
 
az integrál divergens
 

6. kérdés: 1 3 1 1 9 x 2 1 d x =
 
arch 3 3
 
arch 3
 
3 arch 3
 
az integrál divergens
 

7. kérdés: 0 π 2 tg x d x =
 
1
 
π 2
 
ln π
 
az integrál divergens
 

8. kérdés: 0 1 x 1 x 2 d x =
 
1 4
 
1 2
 
1
 
az integrál divergens
 

9. kérdés: 1 4 1 4 1 1 16 x 2 d x =
 
π 8
 
π 4
 
π
 
az integrál divergens
 

10. kérdés: 2 4 x x 2 4 d x =
 
3
 
2 3
 
3 3
 
az integrál divergens